Изопериметрическое соотношение
В аналитической геометрии изопериметрическим отношением простой замкнутой кривой в евклидовой плоскости называется отношение L 2 / A , где L — длина кривой, а A — ее площадь . Это безразмерная величина , инвариантная относительно преобразований подобия кривой.
Согласно изопериметрическому неравенству изопериметрическое соотношение имеет минимальное значение 4 π для окружности ; любая другая кривая имеет большее значение. [1] Таким образом, изопериметрическое соотношение можно использовать для измерения того, насколько далека форма от круглой.
Поток , сокращающий кривую, уменьшает изопериметрическое отношение любой гладкой выпуклой кривой так, что в пределе, когда кривая сжимается до точки, отношение становится 4 π . [2]
Для тел более высоких размерностей размером d изопериметрическое соотношение можно аналогичным образом определить как B д / V д - 1 где B — площадь поверхности тела (мера его границы), а V — его объем (мера его внутренней части). [3] Другие связанные величины включают константу Чигера и риманова многообразия константу Чигера (определенную по-другому) графа . [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Бергер, Марсель (2010), Раскрытая геометрия: лестница Иакова к современной высшей геометрии , Springer-Verlag, стр. 295–296, ISBN 9783540709978 .
- ^ Гейдж, Мэн (1984), «Сокращение кривой делает выпуклые кривые круглыми», Inventiones Mathematicae , 76 (2): 357–364, doi : 10.1007/BF01388602 , MR 0742856 .
- ^ Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн (2004), Поток Риччи: Введение , Математические обзоры и монографии, том. 110, Американское математическое общество, с. 157, ISBN 9780821835159 .
- ^ Грейди, Лео Дж.; Полимени, Джонатан (2010), Дискретное исчисление: прикладной анализ графов для вычислительной науки , Springer-Verlag, стр. 275, ISBN 9781849962902 .