Константа Чигера

Эта статья об изопериметрической константе Чигера и неравенстве Чигера в римановой геометрии. Для другого использования см. Константу Чигера (теория графов) .

В римановой геометрии изопериметрическая константа Чигера компактного риманова многообразия M представляет собой положительное действительное число h ( M ), определенное в терминах минимальной площади гиперповерхности , которая делит M на две непересекающиеся части. В 1971 году Джефф Чигер доказал неравенство, которое связало первое нетривиальное собственное значение оператора Лапласа–Бельтрами на M с h ( M ). В 1982 году Питер Бузер доказал обратную версию этого неравенства, и два неравенства вместе иногда называют неравенством Чигера-Бьюзера . Эти неравенства оказали большое влияние не только на риманову геометрию и глобальный анализ , но также на теорию цепей Маркова и теорию графов , где они вдохновили на создание аналогичной константы Чигера графа и понятия проводимости .

Определение

Пусть M — n -мерное замкнутое риманово многообразие. Пусть V ( A ) обозначает объем n -мерного подмногообразия A , а S ( E ) обозначает n - 1-мерный объем подмногообразия E (в этом контексте обычно называемого «площадью»). Изопериметрическая константа Чигера M определяется как

$h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min(V(A),V(B))}},$

где нижняя грань берется по всем гладким n −1-мерным подмногообразиям E многообразия M , которые делят его на два непересекающихся подмногообразия A и B . Изопериметрическая константа может быть определена в более общем смысле для некомпактных римановых многообразий конечного объема.

Чигера

Джефф Чигер доказал нижняя граница наименьшего положительного собственного значения ${\lambda _{1}(M)}$ лапласиана на M через то, что сейчас называется изопериметрической константой Чигера h ( M ):

$\lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.$

Это неравенство является оптимальным в следующем смысле: для любых h > 0, натурального числа k и ε > 0 существует двумерное риманово многообразие M с изопериметрической константой h ( M ) = h и такое, что k -е собственное значение лапласиана находится в пределах ε от границы Чигера.

Бьюзера

Питер Бузер доказал верхняя граница наименьшего положительного собственного значения $\lambda _{1}(M)$ лапласиана на M через изопериметрическую константу Чигера h ( M ). Пусть M — n -мерное замкнутое риманово многообразие, кривизна Риччи которого ограничена снизу величиной −( n −1) a ² , где a ≥ 0. Тогда

$\lambda _{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).$

См. также

• Константа Чигера (теория графов)
• Изопериметрическая задача
• Спектральный разрыв

Ссылки

• Бузер, Питер (1978). «О неравенстве Чигера». Математический журнал (на немецком языке). 158 (3): 245–252. дои : 10.1007/BF01214795 . ISSN   0025-5874 .

• Бузер, Питер (1982). «Заметка об изопериметрической константе». Научные анналы Высшей нормальной школы . 15 (2): 213–230. дои : 10.24033/asens.1426 . ISSN   0012-9593 .

• Чигер, Джефф (1971). «Нижняя граница наименьшего собственного значения лапласиана». Проблемы анализа: симпозиум в честь Саломона Бохнера (PMS-31) . Издательство Принстонского университета. стр. 195–200. дои : 10.1515/9781400869312-013 . ISBN  978-1-4008-6931-2 .