Обобщенная гипотеза Пуанкаре

В математической области топологии обобщенная гипотеза Пуанкаре представляет собой утверждение о том, что многообразие , являющееся гомотопической сферой является сферой , . Точнее, фиксируется категория многообразий: топологическое ( Top ), кусочно-линейное ( PL ) или дифференцируемое ( Diff ). Тогда утверждение

Каждая гомотопическая сфера (замкнутое n -многообразие, гомотопически эквивалентное n или -сфере) в выбранной категории (т. е. топологические многообразия, PL-многообразия или гладкие многообразия) изоморфна в выбранной категории (т. е. гомеоморфна, PL-изоморфна диффеоморфен) стандартной n -сфере.

Название происходит от гипотезы Пуанкаре , которая была высказана для (топологических или PL)-многообразий размерности 3, где быть гомотопической сферой эквивалентно быть односвязным и замкнутым . Известно, что обобщенная гипотеза Пуанкаре верна или ложна в ряде случаев благодаря работам многих выдающихся топологов, в том числе медали Филдса лауреатов Джона Милнора , Стива Смейла , Майкла Фридмана и Григория Перельмана .

Статус

Вот краткое описание статуса обобщенной гипотезы Пуанкаре в различных условиях.

Вверху : верно во всех измерениях.
PL : верно для размерностей, отличных от 4; неизвестно в размерности 4, где оно эквивалентно Diff.
Разница : как правило, неверно, первый известный контрпример находится в измерении 7. Верно в некоторых измерениях, включая 1, 2, 3, 5, 6, 12, 56 и 61. Случай измерения 4 эквивалентен PL. Предыдущий список включает все нечетные и все четные измерения от 6 до 62, для которых гипотеза верна; это может быть верно для некоторых дополнительных четных измерений $\geq 64$ хотя предполагается, что это не так. ^{[ 1 ]}

Таким образом, достоверность гипотез Пуанкаре меняется в зависимости от того, в какой категории они сформулированы. В более общем плане понятие изоморфизма различается между категориями Top, PL и Diff. То же самое в измерении 3 и ниже. В измерении 4 PL и Diff совпадают, но Top отличается. Размерностями выше 6 они все отличаются. В размерностях 5 и 6 каждое PL-многообразие допускает бесконечно дифференцируемую структуру, так называемую совместимую по Уайтхеду . ^{[ 2 ]}

История

Случаи n = 1 и 2 давно известны из классификации многообразий этих размерностей.

Для PL или гладкой гомотопической n-сферы в 1960 году Стивен Смейл доказал $n\geq 7$ что она гомеоморфна n -сфере, и впоследствии распространил свое доказательство на $n\geq 5$ ; ^{[ 3 ]} он получил медаль Филдса за свою работу в 1966 году. Вскоре после объявления Смейлом доказательства Джон Столлингс дал другое доказательство для измерений не менее 7, что гомотопическая n -сфера PL гомеоморфна n -сфере, используя понятие « поглощающий». ^{[ 4 ]} ЕС Зееман модифицировал конструкцию Столлинга для работы в измерениях 5 и 6. ^{[ 5 ]} В 1962 году Смейл доказал, что PL-гомотопическая n -сфера PL-изоморфна стандартной PL n- сфере для n не менее 5. ^{[ 6 ]} В 1966 году MHA Ньюман расширил поглощение PL на топологическую ситуацию и доказал, что для $n\geq 5$ топологическая гомотопия n -сферы гомеоморфна n -сфере. ^{[ 7 ]}

Майкл Фридман решил топологический случай $n=4$ в 1982 году и получил медаль Филдса в 1986 году. ^{[ 8 ]} Первоначальное доказательство состояло из 50-страничного плана, в котором многие детали отсутствовали. Фридман прочитал тогда серию лекций, убедив экспертов в правильности доказательства. Проект по созданию письменной версии доказательства с указанием предыстории и всех деталей начался в 2013 году при поддержке Фридмана. Результаты проекта под редакцией Стефана Беренса, Болдизара Кальмара, Мин Хуна Кима, Марка Пауэлла и Арунимы Рэй при участии 20 математиков были опубликованы в августе 2021 года в виде 496-страничной книги « Теорема о встраивании диска» . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

Григорий Перельман раскрыл дело $n=3$ (где топологический, PL и дифференцируемый случаи совпадают) в 2003 году в серии из трёх статей. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Ему предложили медаль Филдса в августе 2006 года и премию тысячелетия от Математического института Клея в марте 2010 года, но он отказался от обоих.

Экзотические сферы

Обобщенная гипотеза Пуанкаре топологически верна, но гладко ложна в некоторых измерениях. Это является результатом построения экзотических сфер — многообразий, гомеоморфных, но не диффеоморфных стандартной сфере, которые можно интерпретировать как нестандартные гладкие структуры на стандартной (топологической) сфере.

Таким образом, гомотопические сферы , созданные Джоном Милнором, гомеоморфны (топ-изоморфны и даже кусочно-линейно гомеоморфны) стандартной сфере. $S^{n}$ , но не диффеоморфны (Diff-изоморфны) ему и, таким образом, являются экзотическими сферами : их можно интерпретировать как нестандартные дифференцируемые структуры на стандартной сфере.

Мишель Кервер и Милнор показали, что ориентированная 7-сфера имеет 28 = A001676 (7) различных гладких структур (или 15 без учета ориентации), а в более высоких измерениях на сфере обычно имеется много различных гладких структур. ^{[ 14 ]} Есть подозрение, что некоторые дифференцируемые структуры на 4-сфере, называемые твистами Глюка , не изоморфны стандартной, но на данный момент не существует известного топологического инварианта, способного различать различные гладкие структуры на 4-сфере. ^{[ 15 ]}

ПЛ

Для кусочно-линейных многообразий гипотеза Пуанкаре верна, за исключением, возможно, размерности 4, где ответ неизвестен, и эквивалентна гладкому случаю. Другими словами, любое компактное PL-многообразие размерности, не равной 4, гомотопически эквивалентное сфере, является PL-изоморфным сфере. ^{[ 2 ]}

Ссылки

^ Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017). «Тривиальность 61-стебля в стабильных гомотопических группах сфер». Энн. Математика. (2) . 186 (2): 501–580. arXiv : 1601.02184 . Збл 1376.55013 . См. следствия 1.13 и 1.15 и гипотезу 1.17.
^ Перейти обратно: ^а ^б Видеть Буонкриштиано, Сандро (2003). «Фрагменты геометрической топологии шестидесятых» (PDF) . Монографии по геометрии и топологии . 6 .
^ Смейл, Стивен (1961). «Обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерностях больше четырех». Энн. математики . (2). 74 (2): 391–406. дои : 10.2307/1970239 . JSTOR 1970239 . МР 0137124 .
^ Столлингс, Джон (1960). «Многогранные гомотопические сферы» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (6): 485–488. дои : 10.1090/S0002-9904-1960-10511-3 .
^ Зееман, Эрик Кристофер (1962). «Гипотеза Пуанкаре для n, большего или равного 5». Топология трехмерных многообразий и смежные темы (Труды Института Университета Джорджии, 1961) . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис – Холл: 198–204. МР 0140113 .
^ Смейл, Стивен (1962). «О строении многообразий». амер. Дж. Математика . 84 (3): 387–399. дои : 10.2307/2372978 . JSTOR 2372978 . МР 0153022 .
^ Ньюман, MHA (1966). «Теорема поглощения для топологических многообразий». Анналы математики . (2). 84 (3): 555–571. дои : 10.2307/1970460 . JSTOR 1970460 . МР 0203708 .
^ Фридман, Майкл (1982). «Топология четырехмерных многообразий» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (3): 357–453. дои : 10.4310/jdg/1214437136 . МР 0679066 .
^ Хартнетт, Кевин (9 сентября 2021 г.). «Новая книга по математике спасает знаковое доказательство топологии» . Журнал Кванта.
^ Теорема о вложении диска
^ Перельман, Григорий (11 ноября 2002 г.). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math.DG/0211159 .
^ Перельман, Григорий (10 марта 2003 г.). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math.DG/0303109 .
^ Перельман, Григорий (17 июля 2003 г.). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math.DG/0307245 .
^ Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1963). «Группы гомотопических сфер: I». Анналы математики . 2-й сер. 77 (3): 504–537. дои : 10.2307/1970128 . JSTOR 1970128 . МР 0148075 . В данной работе рассчитывается структура группы гладких структур на n-сфере для $n>4$ .
^ Глюк, Герман (1962). «Вложение двух сфер в четырехсферу» . Пер. амер. Математика. Соц . 104 (2): 308–333. дои : 10.2307/1993581 . JSTOR 1993581 .

[1] Ван, Гочжэнь; Сюй, Чжоули (2017). «Тривиальность 61-стебля в стабильных гомотопических группах сфер». Энн. Математика. (2) . 186 (2): 501–580. arXiv : 1601.02184 . Збл 1376.55013 . См. следствия 1.13 и 1.15 и гипотезу 1.17.

[msp.warwick.ac.uk-2] Перейти обратно: ^а ^б Видеть Буонкриштиано, Сандро (2003). «Фрагменты геометрической топологии шестидесятых» (PDF) . Монографии по геометрии и топологии . 6 .

[3] Смейл, Стивен (1961). «Обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерностях больше четырех». Энн. математики . (2). 74 (2): 391–406. дои : 10.2307/1970239 . JSTOR 1970239 . МР 0137124 .

[4] Столлингс, Джон (1960). «Многогранные гомотопические сферы» . Бюллетень Американского математического общества . 66 (6): 485–488. дои : 10.1090/S0002-9904-1960-10511-3 .

[5] Зееман, Эрик Кристофер (1962). «Гипотеза Пуанкаре для n, большего или равного 5». Топология трехмерных многообразий и смежные темы (Труды Института Университета Джорджии, 1961) . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис – Холл: 198–204. МР 0140113 .

[6] Смейл, Стивен (1962). «О строении многообразий». амер. Дж. Математика . 84 (3): 387–399. дои : 10.2307/2372978 . JSTOR 2372978 . МР 0153022 .

[7] Ньюман, MHA (1966). «Теорема поглощения для топологических многообразий». Анналы математики . (2). 84 (3): 555–571. дои : 10.2307/1970460 . JSTOR 1970460 . МР 0203708 .

[8] Фридман, Майкл (1982). «Топология четырехмерных многообразий» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (3): 357–453. дои : 10.4310/jdg/1214437136 . МР 0679066 .

[quanta-9] Хартнетт, Кевин (9 сентября 2021 г.). «Новая книга по математике спасает знаковое доказательство топологии» . Журнал Кванта.

[10] Теорема о вложении диска

[perelman200211-11] Перельман, Григорий (11 ноября 2002 г.). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math.DG/0211159 .

[perelman200303-12] Перельман, Григорий (10 марта 2003 г.). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math.DG/0303109 .

[perelman200307-13] Перельман, Григорий (17 июля 2003 г.). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math.DG/0307245 .

[14] Кервер, Мишель А .; Милнор, Джон В. (1963). «Группы гомотопических сфер: I». Анналы математики . 2-й сер. 77 (3): 504–537. дои : 10.2307/1970128 . JSTOR 1970128 . МР 0148075 . В данной работе рассчитывается структура группы гладких структур на n-сфере для $n>4$ .

[15] Глюк, Герман (1962). «Вложение двух сфер в четырехсферу» . Пер. амер. Математика. Соц . 104 (2): 308–333. дои : 10.2307/1993581 . JSTOR 1993581 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]