✖


Jump to content

Джон Р. Столлингс

Джон Р. Столлингс
Фотография Столлингса, 2006 г.
Рожденный ( 1935-07-22 ) 22 июля 1935 г.
Моррилтон, Арканзас , США
Умер 24 ноября 2008 г. ( 73 года) ( 24 ноября 2008 г. )
Беркли, Калифорния , США
Альма-матер Университет Арканзаса
Принстонский университет
Известный доказательство гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести ; Теорема Столлингса о концах групп ; Графы Столлингса и автоматы
Награды Премия Фрэнка Нельсона Коула по алгебре (1971)
Научная карьера
Поля Математика
Учреждения Калифорнийский университет в Беркли
Докторантура Ральф Фокс
Докторанты Марк Каллер
Стивен М. Герстен
Дж. Хайам Рубинштейн

Джон Роберт Столлингс-младший (22 июля 1935 – 24 ноября 2008) был математиком , известным своим плодотворным вкладом в геометрическую теорию групп и топологию трехмерного многообразия . Столлингс был почетным профессором кафедры математики Калифорнийского университета в Беркли. [1] где он работал преподавателем с 1967 года. [1] Он опубликовал более 50 статей, преимущественно в области геометрической теории групп и топологии трехмерных многообразий . Наиболее важные вклады Столлингса включают доказательство в статье 1960 года гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести и доказательство в статье 1971 года теоремы Столлингса о концах групп .

Биография

[ редактировать ]

Джон Столлингс родился 22 июля 1935 года в Моррилтоне, штат Арканзас . [1]

Столлингс получил степень бакалавра наук. из Университета Арканзаса в 1956 году (где он был одним из первых двух выпускников университетской программы с отличием) [2] и он получил докторскую степень. Степень бакалавра математики в Принстонском университете в 1959 году под руководством Ральфа Фокса . [1]

После получения докторской степени Столлингс занимал ряд постдокторских и преподавательских должностей, в том числе был постдокторантом NSF в Оксфордском университете , а также работал инструктором и работал преподавателем в Принстоне. Столлингс поступил на работу в Калифорнийский университет в Беркли в качестве преподавателя в 1967 году, где оставался до выхода на пенсию в 1994 году. [1] Даже после выхода на пенсию Столлингс продолжал руководить аспирантами Калифорнийского университета в Беркли до 2005 года. [3] Столлингс был научным сотрудником Альфреда П. Слоана с 1962 по 1965 год и научным сотрудником Института Миллера с 1972 по 1973 год. [1] За свою карьеру у Столлингса было 22 докторанта, включая Марка Каллера , Стивена М. Герстена и Дж. Хайама Рубинштейна , а также 100 потомков докторантов. Он опубликовал более 50 статей, преимущественно в области геометрической теории групп и топологии трехмерных многообразий .

Столлингс выступил с приглашенной речью на Международном конгрессе математиков в Ницце в 1970 году. [4] и лекция Джеймса К. Уитмора в Йельском университете в 1969 году. [5]

Столлингс получил премию Фрэнка Нельсона Коула по алгебре от Американского математического общества в 1970 году. [6]

Конференция «Геометрические и топологические аспекты теории групп», состоявшаяся в Научно-исследовательском институте математических наук в Беркли в мае 2000 года, была посвящена 65-летию Столлингса. [7] В 2002 году Столлингсу был посвящен специальный выпуск журнала Geometriae Dedicata по случаю его 65-летия. [8] Столлингс умер от рака простаты 24 ноября 2008 года. [3] [9]

Математический вклад

[ редактировать ]

Большая часть математического вклада Столлингса приходится на области геометрической теории групп и низкоразмерной топологии (особенно топологии трехмерных многообразий ), а также на взаимодействие между этими двумя областями.

Одним из первых значительных результатов Столлингса является его доказательство 1960 года. [10] гипотезы Пуанкаре в размерностях больше шести . (Доказательство Столлингса было получено независимо и вскоре после другого доказательства Стивена Смейла , который установил тот же результат в размерностях, больших четырех. [11] ).

Используя методы «поглощения», подобные тем, которые использовались в его доказательстве гипотезы Пуанкаре для n > 6, Столлингс доказал, что обычное евклидово n -мерное пространство имеет уникальную кусочно-линейную, а значит, и гладкую структуру, если n не равно 4. Это приобрело дополнительное значение, когда в результате работы Майкла Фридмана и Саймона Дональдсона в 1982 году было показано, что 4-пространство имеет экзотические гладкие структуры , на самом деле таких бесчисленное множество.

В статье 1963 года [12] Столлингс построил пример конечно определенной группы с бесконечно порожденной трехмерной целочисленной группой гомологий , причем не типа , т. е. не допускающий классифицирующего пространства с конечным 3-остовом. Этот пример стал называться группой Столлингса и является ключевым примером в изучении свойств гомологической конечности групп. Роберт Бьери позже показал [13] что группа Столлингса является в точности ядром гомоморфизма прямого произведения трех копий свободной группы. в аддитивную группу целых чисел, которые отправляются в шесть элементов, возникающих в результате выбора свободных баз для трех копий . Биери также показал, что группа Столлингса вписывается в последовательность примеров групп типа но не типа . Группа Столлингса — ключевой объект в версии дискретной теории Морса для кубических комплексов, разработанной Младеном Бествиной и Ноэлем Брейди. [14] и при изучении подгрупп прямых произведений предельных групп . [15] [16] [17]

Самая известная теорема Столлингса в теории групп — это алгебраическая характеристика групп с более чем одним концом (то есть с более чем одним «компонентом связности на бесконечности»), которая теперь известна как теорема Столлингса о концах групп . Столлингс доказал, что конечно порожденная группа G имеет более одного конца тогда и только тогда, когда эта группа допускает нетривиальное расщепление как объединенное свободное произведение или как расширение HNN над конечной группой (т. е. в терминах теории Басса–Серра , если и только если группа допускает нетривиальное действие на дереве с конечными стабилизаторами ребер). Точнее, теорема утверждает, что конечно порожденная группа G имеет более одного конца тогда и только тогда, когда либо G допускает расщепление как объединенное свободное произведение , где группа C конечна и , , или G допускает расщепление как расширение HNN где являются конечными подгруппами группы H .

Столлингс доказал этот результат в серии работ, сначала рассматривая случай без кручения (т. е. группу без нетривиальных элементов конечного порядка ). [18] а затем с общим случаем. [5] [19] Теорема Столлинга дала положительное решение давней открытой проблемы о характеризации конечно порожденных групп когомологической размерности один как в точности свободных групп . [20] Теорема Столлингса о концах групп считается одним из первых результатов собственно геометрической теории групп , поскольку она связывает геометрическое свойство группы (имеющей более одного конца) с ее алгебраической структурой (допускающей расщепление по конечной подгруппе). Теорема Столлингса породила множество последующих альтернативных доказательств других математиков (например, [21] [22] ), а также многие приложения (например, [23] ). Теорема также послужила причиной нескольких обобщений и относительных версий результата Столлингса для других контекстов, таких как изучение понятия относительных концов группы по отношению к подгруппе. [24] [25] [26] включая связь с кубическими комплексами CAT(0) . [27] Подробный обзор, в котором обсуждаются, в частности, многочисленные приложения и обобщения теоремы Столлингса, дан в статье CTC Wall за 2003 год . [28]

Еще одна влиятельная статья Столлингса - его статья 1983 года «Топология конечных графов». [29] Традиционно алгебраическая структура подгрупп свободных групп изучалась в комбинаторной теории групп с использованием комбинаторных методов, таких как метод переписывания Шрайера и преобразования Нильсена . [30] В статье Столлингса предложен топологический подход, основанный на методах покрытия теории пространства , который также использует простую структуру теории графов . В статье было введено понятие того, что сейчас обычно называют графом подгрупп Столлингса для описания подгрупп свободных групп, а также введена техника сверток (используемая для аппроксимации и алгоритмического получения графов подгрупп) и понятие того, что теперь известно как Столлинги складные . Большинство классических результатов о подгруппах свободных групп получили простые и понятные доказательства в этой постановке, а метод Столлингса стал стандартным инструментом в теории для изучения структуры подгрупп свободных групп, включая как алгебраические, так и алгоритмические вопросы (см. [31] ). В частности, графы подгрупп Столлингса и складки Столлингса использовались в качестве ключевых инструментов во многих попытках приблизиться к гипотезе Ханны Нейман . [32] [33] [34] [35]

Графы подгрупп Столлингса также можно рассматривать как конечные автоматы. [31] они также нашли применение в полугрупп теории и информатике . [36] [37] [38] [39]

Метод складок Столлингса был обобщен и применен к другим контекстам, особенно в теории Басса-Серра для аппроксимации групповых действий на деревьях и изучения структуры подгрупп фундаментальных групп графов групп . Первую работу в этом направлении написал сам Столлингс. [40] с несколькими последующими обобщениями методов складывания Столлингса в контексте теории Басса – Серра другими математиками. [41] [42] [43] [44]

Статья Столлингса 1991 года «Треугольники групп неположительной кривизны» [45] ввел и изучил понятие треугольника групп . Это понятие стало отправной точкой для теории комплексов групп (многомерного аналога теории Басса – Серра ), разработанной Андре Хефлигером . [46] и другие. [47] [48] Работа Столлингса указала на важность наложения своего рода условий «неположительной кривизны» на комплексы групп, чтобы теория работала хорошо; такие ограничения не являются необходимыми в одномерном случае теории Басса–Серра.

Среди вкладов Столлингса в топологию трехмерного многообразия наиболее известным является теорема Столлингса о расслоениях . [49] Теорема утверждает, что если M — компактное неприводимое 3-многообразие которого , фундаментальная группа содержит нормальную подгруппу , такую, что эта подгруппа конечно порождена и такая, что факторгруппа по этой подгруппе является бесконечной циклической , то M расслояется над кругом. Это важный структурный результат в теории многообразий Хакена , который породил множество альтернативных доказательств, обобщений и приложений (например, [50] [51] [52] [53] ), включая многомерный аналог. [54]

Статья Столлингса 1965 года «Как не доказывать гипотезу Пуанкаре». [55] дал теоретико-групповую переформулировку знаменитой гипотезы Пуанкаре . Статья начиналась с юмористического признания: «Я совершил грех, ложно доказав гипотезу Пуанкаре. Но это было в другой стране, и, кроме того, до сих пор о ней никто не знал». [1] [55] Несмотря на ироничное название, статья Столлингса послужила основой для многих последующих исследований по изучению алгебраических аспектов гипотезы Пуанкаре (см., например, [56] [57] [58] [59] ).

Столлингс также интересовался языками и написал одну из очень немногих математических исследовательских работ на искусственном языке Интерлингва . [60] [61]

Избранные работы

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б с д и ж г Математик Джон Столлингс умер в прошлом году в возрасте 73 лет. Пресс-релиз Калифорнийского университета в Беркли , 12 января 2009 г. По состоянию на 26 января 2009 г.
  2. ^ Все академическое. Том 3, Выпуск 4; Ноябрь 2002 г.
  3. ^ Jump up to: а б Чанг, Кеннет (18 января 2009 г.), «Джон Р. Столлингс-младший, 73 года, калифорнийский математик, мертв» , The New York Times . По состоянию на 26 января 2009 г.
  4. ^ Джон Р. Столлингс. Теория групп и 3-многообразия. Труды Международного конгресса математиков (Ницца, 1970), том 2, стр. 165–167. Готье-Виллар, Париж, 1971 год.
  5. ^ Jump up to: а б Джон Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия. Лекция Джеймса К. Уитмора по математике, прочитанная в Йельском университете, 1969. Йельские математические монографии, 4. Издательство Йельского университета , Нью-Хейвен, Коннектикут – Лондон, 1971.
  6. ^ Премия Фрэнка Нельсона Коула по алгебре. Американское математическое общество .
  7. ^ Геометрические и топологические аспекты теории групп, анонс конференции. Архивировано 6 сентября 2008 г. на Wayback Machine , atlas-conferences.com.
  8. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Джон Столлингс» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
  9. ↑ Умер почетный профессор Джон Столлингс с математического факультета Калифорнийского университета в Беркли. Архивировано 28 декабря 2008 г. в объявлении Wayback Machine на веб-сайте математического факультета Калифорнийского университета в Беркли . По состоянию на 4 декабря 2008 г.
  10. ^ Джон Столлингс. Полиэдральные гомотопические сферы. Бюллетень Американского математического общества , вып. 66 (1960), стр. 485–488.
  11. ^ Стивен Смейл . Обобщенная гипотеза Пуанкаре в размерностях больше четырех . Анналы математики (2-я сер.), т. 1, с. 74 (1961), вып. 2, стр. 391–406.
  12. ^ Столлингс, Джон (1963). «Конечно представленная группа, трехмерные целые гомологии которой не являются конечно порожденными». Американский журнал математики . 85 (4): 541–543. дои : 10.2307/2373106 . JSTOR   2373106 .
  13. ^ Роберт Бьери. «Гомологическая размерность дискретных групп». Математические заметки Колледжа Королевы Марии . Колледж Королевы Марии , факультет чистой математики, Лондон, 1976.
  14. ^ Бествина, Младен ; Брэди, Ноэль (1997), «Теория Морса и свойства конечности групп», Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode : 1997InMat.129..445B , doi : 10.1007/s002220050168 , MR   1465330 , S2CID   1204 22255
  15. ^ Мартин Р. Бридсон , Джеймс Хоуи, Чарльз Ф. Миллер и Хэмиш Шорт. «Подгруппы прямых произведений поверхностных групп». Geometriae Dedicata , vol. 92 (2002), стр. 95–103.
  16. ^ Мартин Р. Бридсон и Джеймс Хоуи. «Подгруппы прямых произведений элементарно свободных групп». Геометрический и функциональный анализ , вып. 17 (2007), вып. 2, стр. 385–403.
  17. ^ Мартин Р. Бридсон и Джеймс Хоуи. Подгруппы прямых произведений двух предельных групп. Архивировано 5 июля 2008 г. в Wayback Machine Mathematical Research Letters , vol. 14 (2007), вып. 4, 547–558.
  18. ^ Джон Р. Столлингс. О группах без кручения с бесконечным числом концов. Анналы математики (2), вып. 88 (1968), стр. 312–334.
  19. ^ Джон Столлингс. «Группы когомологической размерности один». Приложения категориальной алгебры (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, Нью-Йорк, 1968), стр. 124–128. Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1970.
  20. ^ Джон Р. Столлингс. Группы размерности 1 локально свободны. Бюллетень Американского математического общества, том. 74 (1968), стр. 361–364.
  21. ^ Мартин Дж. Данвуди . «Разрезание графиков». Комбинаторика 2 (1982), вып. 1, стр. 15–23.
  22. ^ Уоррен Дикс и Мартин Дж. Данвуди . Группы, действующие на графах. Кембриджские исследования по высшей математике, 17. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1989. ISBN   0-521-23033-0
  23. ^ Питер Скотт. «Новое доказательство теорем об кольце и торе». Американский журнал математики , том. 102 (1980), вып. 2, стр. 241–277.
  24. ^ Гадде А. Сваруп. «Относительная версия теоремы Столлингса». Журнал чистой и прикладной алгебры , том. 11 (1977/78), вып. 1–3, стр. 75–82.
  25. ^ Мартин Дж. Данвуди и Э. Л. Свенсон. «Алгебраическая теорема о торе». Inventiones Mathematicae , том. 140 (2000), вып. 3, стр. 605–637.
  26. ^ Г. Питер Скотт и Гадде А. Сваруп. Алгебраическая теорема о кольце. Архивировано 15 июля 2007 г. в Wayback Machine Тихоокеанском математическом журнале , vol. 196 (2000), вып. 2, стр. 461–506.
  27. ^ Миха Сагеев. «Концы пар групп и комплексы кубов неположительной кривизны». Труды Лондонского математического общества (3), том. 71 (1995), вып. 3, стр. 585–617.
  28. ^ Уолл, CTC (2003). «Геометрия абстрактных групп и их расщепления». Revista Matemática Complutense . 16 (1): 5–101.
  29. ^ Джон Р. Столлингс. «Топология конечных графов». Inventiones Mathematicae , том. 71 (1983), вып. 3, стр. 551–565.
  30. ^ Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 2001. Серия «Классика математики», переиздание издания 1977 года. ISBN   978-3-540-41158-1
  31. ^ Jump up to: а б Илья Капович и Алексей Мясников. «Складчатые стеллы и подгруппы свободных групп». Журнал алгебры , вып. 248 (2002), вып. 2, 608–668
  32. ^ Дж. Микин и П. Вейль. Подгруппы свободных групп: вклад в гипотезу Ханны Нейман. Материалы конференции по геометрической и комбинаторной теории групп, часть I (Хайфа, 2000). Geometriae Dedicata , vol. 94 (2002), стр. 33–43.
  33. ^ Дикс, Уоррен (1994). «Эквивалентность усиленной гипотезы Ханны Нейман и гипотезы об объединенном графе». Математические изобретения . 117 (3): 373–389. Бибкод : 1994InMat.117..373D . дои : 10.1007/BF01232249 . S2CID   121902432 .
  34. ^ Дикс, Уоррен; Форманек, Эдвард В. (2001). «Случай третьего ранга гипотезы Ханны Нейман». Журнал теории групп . 4 (2): 113–151. дои : 10.1515/jgth.2001.012 .
  35. ^ Билал Хан. Положительно порожденные подгруппы свободных групп и гипотеза Ханны Нейман. Комбинаторная и геометрическая теория групп (Нью-Йорк, 2000 г./Хобокен, Нью-Джерси, 2001 г.), стр. 155–170, Contemp. Math., 296, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 2002; ISBN   0-8218-2822-3
  36. ^ Жан-Камиль Бирже и Стюарт В. Марголис. Двухбуквенные групповые коды, сохраняющие апериодичность обратных конечных автоматов. Полугрупповой форум , вып. 76 (2008), вып. 1, стр. 159–168.
  37. ^ Д.С. Ананичев, А. Керубини, М.В. Волков. Изображение сокращения слов и подгрупп свободных групп. Теоретическая информатика, том. 307 (2003), вып. 1, стр. 77–92.
  38. ^ Дж. Алмейда и М.В. Волков. «Подсловная сложность проконечных слов и подгрупп свободных проконечных полугрупп». Международный журнал алгебры и вычислений , том. 16 (2006), вып. 2, стр. 221–258.
  39. ^ Бенджамин Стейнберг. «Топологический подход к обратным и регулярным полугруппам». Тихоокеанский математический журнал , вып. 208 (2003), вып. 2, стр. 367–396.
  40. ^ Джон Р. Столлингс. «Складки G-деревьев». Теория древесных групп (Беркли, Калифорния, 1988), стр. 355–368, Math. наук. Рез. Инст. Publ., 19, Спрингер, Нью-Йорк, 1991; ISBN   0-387-97518-7
  41. ^ Младен Бествина и Марк Фейн. «Ограничение сложности симплициальных групповых действий на деревьях», Inventiones Mathematicae , vol. 103 (1991), вып. 3, стр. 449–469.
  42. ^ Мартин Данвуди , Последовательности складывания , День рождения Эпштейна, стр. 139–158, Монографии по геометрии и топологии , 1, Геом. Тополь. Публикация, Ковентри, 1998.
  43. ^ Илья Капович, Рихард Вайдманн и Алексей Мясников. «Свертки, графы групп и проблема принадлежности». Международный журнал алгебры и вычислений , том. 15 (2005), вып. 1, стр. 95–128.
  44. ^ Юрий Гуревич и Пол Шупп , «Проблема членства в модульной группе», SIAM Journal on Computing , vol. 37 (2007), вып. 2, стр. 425–459.
  45. ^ Джон Р. Столлингс. «Неположительно изогнутые треугольники групп». Теория групп с геометрической точки зрения (Триест, 1990), стр. 491–503, World Sci. Публикация, Ривер Эдж, Нью-Джерси, 1991; ISBN   981-02-0442-6
  46. ^ Андре Хэфлигер . «Комплексы групп и орбиэдров» в: Теория групп с геометрической точки зрения (Триест, 1990)», стр. 504–540, World Sci. Publ., Ривер Эдж, Нью-Джерси, 1991. ISBN   981-02-0442-6
  47. ^ Джон Корсон. «Комплексы групп». Труды Лондонского математического общества (3) 65 (1992), вып. 1, стр. 199–224.
  48. ^ Мартин Р. Бридсон и Андре Хефлигер. «Метрические пространства неположительной кривизны». Фундаментальные принципы математических наук , 319. Springer-Verlag, Берлин, 1999. ISBN   3-540-64324-9
  49. ^ Джон Р. Столлингс. «О расслоении некоторых трехмерных многообразий». 1962 Топология трехмерных многообразий и смежные темы (Труды Института Университета Джорджии, 1961), стр. 95–100. Прентис-Холл, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси
  50. ^ Джон Хемпель и Уильям Жако . 3-многообразия, расслоенные по поверхности. Американский журнал математики , том. 94 (1972), стр. 189–205.
  51. ^ Алоис Шарф. «О расслоении графеновых многообразий». (на немецком языке) Математические летописи , вып. 215 (1975), стр. 35–45.
  52. ^ Луи Зулли. «Полурасслоения трехмерных многообразий и скрученная кофундаментальная группа». Топология и ее приложения , вып. 79 (1997), вып. 2, стр. 159–172.
  53. ^ Натан М. Данфилд и Дилан П. Терстон. «Случайный туннель номер один в 3-многообразии не расслояется по кругу». Геометрия и топология , том. 10 (2006), стр. 2431–2499.
  54. ^ Уильям Браудер и Джером Левин . 2Расслоение многообразий над окружностью». Commentarii Mathematici Helvetici , т. 40 (1966), стр. 153–160.
  55. ^ Jump up to: а б Джон Р. Столлингс. Семинар по топологии, Висконсин, 1965 г.Под редакцией Р. Х. Бинга и Р. Дж. Бина. Анналы математических исследований, № 60. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1966.
  56. ^ Роберт Майерс. «Расщепляющиеся гомоморфизмы и гипотеза геометризации». Математические труды Кембриджского философского общества , вып. 129 (2000), вып. 2, стр. 291–300.
  57. ^ Туллий Чеккерини-Зильберштейн. «О гипотезе Григорчука – Курчанова». Математические рукописи 107 (2002), вып. 4, с. 451–461
  58. ^ V. N. Berestovskii. "Poincaré's conjecture and related statements." (in Russian) Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii. Matematika. vol. 51 (2000), no. 9, pp. 3–41; translation in Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), vol. 51 (2007), no. 9, 1–36
  59. ^ Валентин Поэнару . «Вокруг гипотезы Пуанкаре». в: Геометрия в XX веке, 1930–2000: история и горизонты . Монреаль, Presses International Polytechnique, 2005. ISBN   2-553-01399-X , 9782553013997.
  60. ^ «Математик Джон Столлингс умер в прошлом году в возрасте 73 лет» . 12 января 2009 г.
  61. ^ Столлингс, Джон Р. (16 июня 1993 г.). «Об обобщении понятия свободного произведения объединения групп». arXiv : математика/9306203 .
[ редактировать ]
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=John_R._Stallings&oldid=1230535094"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f9ca222208f3ef134fa27531f15c0efe__1719120720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f9/fe/f9ca222208f3ef134fa27531f15c0efe.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
John R. Stallings - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)