Теория Басса – Серра

Теория Басса–Серра — часть математического предмета теории групп , которая занимается анализом алгебраической структуры групп, действующих автоморфизмами на симплициальных деревьях . Теория связывает групповые действия на деревьях с разлагающимися группами как итерационные применения операций свободного произведения со слиянием и расширением HNN через понятие фундаментальной группы графа групп . Теорию Басса-Серра можно рассматривать как одномерную версию теории орбифолда .

История

Теория Басса-Серра была разработана Жан-Пьером Серром в 1970-х годах и формализована в «Деревьях» , монографии Серра 1977 года (разработанной в сотрудничестве с Хайманом Бассом ) по этому вопросу. Первоначальная мотивация Серра заключалась в том, чтобы понять структуру некоторых алгебраических групп , чьи здания Брюа-Титса представляют собой деревья. Однако теория быстро стала стандартным инструментом геометрической теории групп и геометрической топологии , особенно изучения трёхмерных многообразий . Последующие работы Басса внес существенный вклад в формализацию и развитие основных инструментов теории, и в настоящее время для описания предмета широко используется термин «теория Басса – Серра».

Математически теория Басса-Серра основана на использовании и обобщении свойств двух старых теоретико-групповых конструкций: свободного продукта со слиянием и расширения HNN . Однако, в отличие от традиционного алгебраического изучения этих двух конструкций, теория Басса–Серра использует геометрический язык теории накрытия и фундаментальных групп . Графы групп , являющиеся основными объектами теории Басса–Серра, можно рассматривать как одномерные версии орбифолдов .

Помимо книги Серра, базовое рассмотрение теории Басса – Серра доступно в статье Басса, статья Дж. Питера Скотта и CTC Wall и книги Аллена Хэтчера , Гилберт Баумслаг , Уоррен Дикс и Мартин Данвуди и Дэниел Э. Коэн.

Базовая настройка

Графы в смысле Серра

Серра Формализм графов немного отличается от стандартного формализма теории графов . Здесь граф A состоит из множества вершин V , множества ребер E и обращения ребер. карты $E\to E,\ e\mapsto {\overline {e}}$ такой, что e ≠ e и ${\overline {\overline {e}}}=e$ для каждого e в E и начальную карту вершин $o\colon E\to V$. Таким образом, в A каждое ребро e снабжено своим формальным обратным e . Вершина o ( e ) называется началом координат или начальной вершиной e , а вершина o ( e ) называется конечной точкой e и обозначается t ( e ). как петлевые ребра (то есть ребра e такие, что o ( e ) = t ( e )) и кратные ребра Разрешены . Ориентация — на A это разбиение E на объединение двух непересекающихся подмножеств E ⁺ и Е ⁻ так что для каждого ребра e ровно одно из ребер из пары e , e принадлежит E ⁺ а другой принадлежит E ⁻ .

Графы групп

Граф групп А состоит из следующих данных:

• Связный граф A ;
• Присвоение группы вершин A _v каждой вершине v из A .
• Присвоение группы ребер A _e каждому ребру e из A так, чтобы мы имели $A_{e}=A_{\overline {e}}$ для каждого e ∈ E .
• Граничные мономорфизмы $\alpha _{e}:A_{e}\to A_{o(e)}$ для всех ребер e из A , так что каждое $\alpha _{e}$ является инъективным групповым гомоморфизмом .

Для каждого $e\in E$ карта $\alpha _{\overline {e}}\colon A_{e}\to A_{t(e)}$ также обозначается $\omega _{e}$.

Фундаментальная группа графа групп

Существуют два эквивалентных определения понятия фундаментальной группы графа групп: первое — это прямое алгебраическое определение посредством явного представления группы (как некое итерированное применение объединенных свободных произведений и расширений HNN ), а второе — с использованием язык группоидов .

Алгебраическое определение проще сформулировать:

Сначала выберите остовное дерево T в A . Фундаментальная группа A относительно T , обозначаемая π ₁ ( A , T ), определяется как фактор свободного произведения

$(\ast _{v\in V}A_{v})\ast F(E)$

где F ( E ) — свободная группа со свободным базисом E , подчиняющаяся следующим соотношениям:

• ${\overline {e}}\alpha _{e}(g)e=\alpha _{\overline {e}}(g)$ для каждого e в E и каждого $g\in A_{e}$. (Так называемое соотношение Басса–Серра .)
• е е знак равно 1 для каждого е в E .
• e = 1 для каждого ребра e остовного дерева T .

Существует также понятие фундаментальной группы A относительно базовой вершины v в V , обозначаемой π ₁ ( A , v ), которая определяется с использованием формализма группоидов . Оказывается, что для любого выбора базовой вершины v и любого остовного дерева T в A группы π ₁ ( A , T ) и π ₁ ( A , v ) естественно изоморфны .

Фундаментальная группа графа групп также имеет естественную топологическую интерпретацию: это фундаментальная группа графа пространств , пространства вершин и пространства ребер которого имеют фундаментальные группы групп вершин и групп ребер соответственно и чьи карты склейки индуцируют гомоморфизмы групп ребер в группы вершин. Следовательно, это можно рассматривать как третье определение фундаментальной группы графа групп.

Фундаментальные группы графов групп как итерации объединенных произведений и HNN-расширений

Группа G = π1 ₍ A , T ) , определенная выше, допускает алгебраическое описание в терминах итерированных объединенных свободных произведений и расширений HNN . Сначала сформируйте группу B как частное свободного произведения

$(\ast _{v\in V}A_{v})*F(E^{+}T)$

в зависимости от отношений

• и ⁻¹ α _e ( g ) e знак равно ω _e ( g ) для каждого e в E ⁺ Т и каждый $g\in A_{e}$.
• e = 1 для каждого e в E ⁺ Т. ​

Это представление можно переписать как

$B=\ast _{v\in V}A_{v}/{\rm {ncl}}\{\alpha _{e}(g)=\omega _{e}(g),{\text{ where }}e\in E^{+}T,g\in G_{e}\}$

который показывает, что B является итерированным объединенным свободным произведением групп вершин A _v .

Тогда группа G = π ₁ ( A , T ) имеет представление

$\langle B,E^{+}(A-T)|e^{-1}\alpha _{e}(g)e=\omega _{e}(g){\text{ where }}e\in E^{+}(A-T),g\in G_{e}\rangle ,$

показывает, что G = π ₁ ( A , T ) является кратным HNN-расширением B который со стабильными буквами $\{e|e\in E^{+}(A-T)\}$.

Расколы

Изоморфизм между группой G группой графа групп называется расщеплением G и фундаментальной . Если группы ребер в расщеплении происходят из определенного класса групп (например, конечных, циклических, абелевых и т. д.), то расщепление называется расщеплением по этому классу. Таким образом, расщепление, при котором все реберные группы конечны, называется расщеплением по конечным группам.

Алгебраически расщепление G с тривиальными реберными группами соответствует разложению свободного произведения

$G=(\ast A_{v})\ast F(X)$

где F ( X ) — свободная группа со свободным базисом X = E ⁺ ( A − T ), состоящий из всех положительно ориентированных ребер (относительно некоторой ориентации на A ) в дополнении некоторого остовного дерева T дерева A .

Теорема о нормальных формах

Пусть g будет элементом G = π ₁ ( A , T ), представленным как произведение вида

$g=a_{0}e_{1}a_{1}\dots e_{n}a_{n},$

где e ₁ , ..., en _- замкнутый реберный путь в A с последовательностью вершин v ₀ , v ₁ , ..., v _n = v ₀ (т. е. v ₀ = o ( e ₁ ), v _n = t ( e _n ) и v _i = t ( e _i ) = o ( e _{i +1} ) для 0 < i < n ) и где $a_{i}\in A_{v_{i}}$ для i = 0, ..., n .

Предположим, что = 1 в G. g Затем

• либо n = 0 и a ₀ = 1 в $A_{v_{0}}$,
• или n > 0 и существует некоторое 0 < i < n такое, что e _{i +1} = e _i и $a_{i}\in \omega _{e_{i}}(A_{e_{i}})$.

Из теоремы о нормальных формах немедленно следует, что канонические гомоморфизмы A _v → π ₁ ( A , T ) инъективны, так что мы можем думать о группах вершин A _v как подгруппах группы G .

Хиггинс дал хорошую версию нормальной формы, используя фундаментальный группоид графа групп. Это позволяет избежать выбора базовой точки или дерева и было использовано Муром.

Бас-Серр, покрывающий деревья

Каждому графу групп A с заданным выбором базовой вершины можно сопоставить накрывающее дерево Басса–Серра. ${\tilde {\mathbf {A} }}$, которое представляет собой дерево, оснащенное естественным групповым действием фундаментальной группы π ₁ ( A , v ) без инверсий ребер. Более того, факторграф ${\tilde {\mathbf {A} }}/\pi _{1}(\mathbf {A} ,v)$ изоморфен A .

Аналогично, если и каждого g в G мы G — группа, действующая на дереве X без инверсий ребер (то есть так, что для каждого ребра e X имеем ge ≠ e ) , можно определить естественное понятие факторграфа групп А. ​Базовый граф A для A является факторграфом X/G . Группы вершин A изоморфны стабилизаторам вершин в G вершин X , а группы ребер A изоморфны стабилизаторам ребер в G ребер X .

Более того, если X было деревом, покрывающим Басса–Серра графа групп A , и если G = π ₁ ( A , v ), то факторграф групп для действия G на X можно выбрать так, чтобы он был естественно изоморфен A .

Основная теорема теории Басса – Серра

Пусть G — группа, действующая на дереве X без инверсий. Пусть A — факторграф групп а v — базовая вершина в A. , Тогда G изоморфна группе π ₁ ( A , v ) и существует эквивариантный изоморфизм между деревом X и накрывающим деревом Басса–Серра ${\tilde {\mathbf {A} }}$. Точнее, существует групповой изоморфизм σ: G → π ₁ ( A , v ) и изоморфизм графов $j:X\to {\tilde {\mathbf {A} }}$ такой, что для каждого g в G , для каждой вершины x графа X и для каждого ребра e графа X имеем j ( gx ) = g j ( x ) и j ( ge ) = g j ( e ).

Этот результат также известен как структурная теорема .

Одним из непосредственных следствий является классическая теорема Куроша о подгруппах, описывающая алгебраическую структуру подгрупп свободных произведений .

Примеры

Объединенный бесплатный продукт

Рассмотрим граф групп A, состоящий из одного непетлевого ребра e (вместе с его формальным обратным e ) с двумя различными концевыми вершинами u = o ( e ) и v = t ( e ), групп вершин H = A _u , K = A _v , группа ребер C = A _e и граничные мономорфизмы $\alpha =\alpha _{e}:C\to H,\omega =\omega _{e}:C\to K$. Тогда T = A является остовным деревом в A и фундаментальная группа π ₁ ( A , T ) изоморфна объединенному свободному произведению

$G=H\ast _{C}K=H\ast K/{\rm {ncl}}\{\alpha (c)=\omega (c),c\in C\}.$

В этом случае дерево Басса–Серра $X={\tilde {\mathbf {A} }}$ можно описать следующим образом. Набор вершин X - это набор смежных классов

$VX=\{gK:g\in G\}\sqcup \{gH:g\in G\}.$

Две вершины gK и fH смежны в X , если существует k ∈ K такой, что fH = gkH (или, что то же самое, когда существует h ∈ H такой, что gK = fhK ).

-стабилизатор G каждой вершины X типа gK равен gKg ⁻¹ и G -стабилизатор каждой вершины X типа gH равен gHg ⁻¹ . Для ребра [ gH , ghK ] множества X его G -стабилизатор равен gh α( C ) h ⁻¹ г ⁻¹ .

Для каждых c ∈ C и h ∈ ' k ∈ K' ребра [ gH , ghK ] и [ gH, gh α( c ) K ] равны, а степень вершины gH в X равна индексу [ H : α( С )]. Аналогично, каждая вершина типа gK имеет степень [ K :ω( C )] в X .

расширение HNN

Пусть A — граф групп, состоящий из одного петлевого ребра e (вместе с его формальным обратным e ), одной вершины v = o ( e ) = t ( e ), группы вершин B = A _v , группы ребер C = A _e и граничные мономорфизмы $\alpha =\alpha _{e}:C\to B,\omega =\omega _{e}:C\to B$. Тогда T = v является остовным деревом в A и фундаментальная группа π ₁ ( A , T ) изоморфна расширению HNN.

$G=\langle B,e|e^{-1}\alpha (c)e=\omega (c),c\in C\rangle .$

с базовой группой B , стабильной буквой e и связанными с ней подгруппами H = α( C ), K = ω( C ) в B . Состав $\phi =\omega \circ \alpha ^{-1}:H\to K$ является изоморфизмом, и приведенное выше представление G в виде HNN-расширения можно переписать как

$G=\langle B,e|e^{-1}he=\phi (h),h\in H\rangle .\,$

В этом случае дерево Басса–Серра $X={\tilde {\mathbf {A} }}$ можно описать следующим образом. Множество вершин X — это множество смежных классов VX = { gB : g ∈ G }.

Две вершины gB и fB смежны в X, если существует b в B такая, что либо fB = gbeB , либо fB = gbe. ⁻¹ Б. ​ -стабилизатор G каждой вершины X сопряжен с B в G , а стабилизатор каждого ребра X сопряжен с H в G . Каждая вершина X имеет степень, равную [ B : H ] + [ B : K ].

Граф с тривиальным графом структуры групп

Пусть A — граф групп, лежащий в основе графа A, такой, что все группы вершин и ребер в A тривиальны. Пусть v — базовая вершина в A . Тогда π ₁ ( A , v ) равно фундаментальной группе π ₁ ( A , v ) основного графа A в стандартном смысле алгебраической топологии и накрывающего дерева Басса–Серра. ${\tilde {\mathbf {A} }}$ равно стандартному универсальному накрытию ${\tilde {A}}$ А. ​ ​Более того, действие π ₁ ( A , v ) на ${\tilde {\mathbf {A} }}$ это в точности стандартное действие π ₁ ( A , v ) на ${\tilde {A}}$ путем трансформаций колоды .

Основные факты и свойства

• Если A — граф групп с остовным деревом T и если G = π ₁ ( A , T ), то для каждой вершины v группы A канонический гомоморфизм из A _v в G инъективен.
• Если g ∈ G — элемент конечного порядка, то g сопряжен в G элементу конечного порядка в некоторой группе вершин A _v .
• Если F ⩽ G — конечная подгруппа, то F сопряжена в G подгруппе некоторой группы вершин A _v .
• Если граф A конечен и все группы вершин A _v конечны, то группа G , практически свободна т. е. G содержит свободную подгруппу конечного индекса.
• Если A конечен и все группы вершин A _v то конечно порождены, G конечно порождена.
• Если A конечен и все группы вершин A _v конечно представимы , а все группы ребер A _e конечно порождены, то G конечно представима.

Тривиальные и нетривиальные действия

Граф групп A называется тривиальным , если A = T уже является деревом и существует некоторая вершина v группы A такая, что A _v = π ₁ ( A , A ). Это эквивалентно условию, что A является деревом и что для каждого ребра e = [ u , z ] дерева A (при o ( e ) = u , t ( e ) = z ) такого, что u ближе к v, чем z мы имеем [ A _z : ω _e ( A _e )] = 1, то есть A _z = ω _e ( A _e ).

Действие группы G на дереве X без обращения ребер называется тривиальным, если существует вершина x дерева X , фиксированная G , то есть такая, что Gx = x . Известно, что действие группы G на X тривиально тогда и только тогда, когда факторграф групп для этого действия тривиален.

Обычно в теории Басса–Серра изучаются только нетривиальные действия на деревьях, поскольку тривиальные графы групп не несут никакой интересной алгебраической информации, хотя тривиальные действия в указанном выше смысле (например, действия групп автоморфизмами на корневых деревьях) также могут быть интересны для другие математические причины.

Одним из классических и до сих пор важных результатов теории является теорема Столлингса о концах групп. Теорема утверждает, что конечно порожденная группа имеет более одного конца тогда и только тогда, когда эта группа допускает нетривиальное расщепление по конечным подгруппам, то есть тогда и только тогда, когда группа допускает нетривиальное действие без инверсий на дереве с конечными стабилизаторами ребер.

Важный общий результат теории гласит, что если G — группа со свойством Каждана (T), то G не допускает никакого нетривиального расщепления, то есть любое действие G на дереве X без обращения ребер имеет глобальную фиксированную вершину. .

Функции гиперболической длины

Пусть G — группа, действующая на дереве X без обращения ребер.

Для каждого g ∈ G положим

$\ell _{X}(g)=\min\{d(x,gx)|x\in VX\}.$

Тогда ℓ _X ( g называется трансляции g ) на X. длиной

Функция

$\ell _{X}:G\to \mathbf {Z} ,\quad g\in G\mapsto \ell _{X}(g)$

называется функцией гиперболической длины или функцией длины сдвига для действия G на X .

Основные факты о гиперболических функциях длины

• Для g ∈ G имеет место ровно одно из следующих:

(a) ℓ _X ( g ) = 0 и g фиксирует вершину G . В этом случае g называется эллиптическим элементом G .

(б) ℓ _X ( g существует единственная бибесконечная вложенная прямая в X , называемая осью g ) > 0 и и обозначаемая L _g , которая является g -инвариантной. В этом случае g действует на L _g путем перевода величины ℓ _X ( g ), и элемент g ∈ G называется гиперболическим .

• Если ℓ _X ( G то существует единственное минимальное G -инвариантное поддерево X _G дерева X. ) ≠ 0 , Более того, X _G равен объединению осей гиперболических элементов G .

Функция длины ℓ _X : G → Z называется абелевой , если она является групповым гомоморфизмом из G в Z , и неабелевой в противном случае. Аналогично, действие G на X называется абелевым, если соответствующая гиперболическая функция длины абелева, и в противном случае называется неабелевой .

В общем, действие G на дереве X без инверсий ребер называется минимальным нет собственных G -инвариантных поддеревьев , если в X .

Важный факт теории гласит, что минимальные неабелевы действия деревьев однозначно определяются их гиперболическими функциями длины:

Теорема единственности

Пусть G группа с двумя неабелевыми минимальными действиями без инверсий ребер на деревьях X и Y . что гиперболические функции длины ℓ _X и ℓ _Y на G равны, то есть ℓ _X ( g ) = ℓ _Y ( g ) для каждого g ∈ G. Предположим , Тогда действия G на X и Y равны в том смысле, что существует изоморфизм графов f : X → Y , который G -эквивариантен, то есть f ( gx ) = g f ( x ) для каждого g ∈ G и каждого Икс € VX .

Важные события в теории Басса – Серра

Важные события в теории Басса-Серра за последние 30 лет включают:

• Различные результаты о доступности для конечно представленных групп , ограничивающие сложность (то есть количество ребер) в графе разложения групп конечно представленной группы, где накладываются некоторые алгебраические или геометрические ограничения на типы рассматриваемых групп. Эти результаты включают в себя:
  • Данвуди Теорема о достижимости конечно представленных групп утверждая, что для любой конечно представленной группы G существует оценка сложности расщеплений G по конечным подгруппам (расщепления должны удовлетворять техническому предположению о «редуцированности»);
  • о доступности Бествины – Фейна Обобщенная теорема утверждая, что для любой конечно представленной группы G существует оценка сложности приведенных расщеплений G по малым подгруппам (к классу малых групп относятся, в частности, все группы, не содержащие неабелевых свободных подгрупп);
  • Результаты ацилиндрической доступности для конечно представленных (Sela, Дельзант ) и конечно порожденный (Вайдман ) группы, которые ограничивают сложность так называемых цилиндрических расщеплений, то есть расщеплений, для которых для их накрывающих деревьев Басса–Серра диаметры фиксированных подмножеств нетривиальных элементов из G равномерно ограничены.
• Теория JSJ-разложений конечно определенных групп. Эта теория была мотивирована классическим представлением о разложении JSJ в топологии трехмерного многообразия и была инициирована в контексте словесно-гиперболических групп работой Селы. JSJ-разложения — это расщепления конечно представленных групп по некоторым классам малых подгрупп (циклических, абелевых, нётеровых и т. д., в зависимости от версии теории), которые обеспечивают каноническое описание в терминах некоторых стандартных ходов всех расщеплений группы. группировать по подгруппам класса. Существует несколько версий теорий JSJ-разложения:
  • Начальная версия Sela для циклических расщеплений словесных гиперболических групп без кручения .
  • Боудича для словесно-гиперболических групп (с возможным кручением), кодирующая их расщепления по практически циклическим подгруппам. Версия теории JSJ
  • Версия Рипса и Селы JSJ-разложений конечно определенных групп без кручения, кодирующая их расщепления по свободным абелевым подгруппам .
  • Версия Данвуди и Сагеева JSJ-разложений конечно определенных групп по нётеровым подгруппам.
  • Версия Фудзивары и Папасоглу, а также JSJ-разложений конечно представленных групп по нетеровым подгруппам .
  • Версия теории разложения JSJ для конечно представленных групп, разработанная Скоттом и Сварупом.
• Теория решеток в группах автоморфизмов деревьев. Теорию древесных решеток разработали Басс, Кулкарни и Любоцкий. по аналогии с теорией решеток в группах Ли (т.е. дискретных подгрупп групп Ли конечного кообъема). Для дискретной подгруппы G группы автоморфизмов локально конечного дерева можно определить естественное понятие объема факторграфа A групп X как

$vol(\mathbf {A} )=\sum _{v\in V}{\frac {1}{|A_{v}|}}.$

Группа G называется X-решеткой , если vol( A )< ∞. Теория древесных решеток оказывается полезной при изучении дискретных подгрупп алгебраических групп над неархимедовыми локальными полями и при изучении групп Каца–Муди .

• Разработка складок и методов Нильсена для аппроксимации групповых действий на деревьях и анализа их подгрупповой структуры.
• Теория концов и относительных концов групп, в частности различные обобщения теоремы Столлингса о группах с более чем одним концом.
• Результаты о квазиизометрической жесткости для групп, действующих на деревьях.

Обобщения

Было несколько обобщений теории Басса – Серра:

• Теория комплексов групп (см. Хефлигер, Корсон Бридсон-Хефлигер ) обеспечивает многомерное обобщение теории Басса – Серра. Понятие графа групп заменяется понятием комплекса групп , где каждой ячейке симплициального комплекса присваиваются группы вместе с мономорфизмами между этими группами, соответствующими включениям граней (эти мономорфизмы необходимы для удовлетворения определенных условий совместимости). . Тогда можно определить аналог фундаментальной группы графа групп для комплекса групп. Однако для того, чтобы это понятие имело хорошие алгебраические свойства (такие как вложимость в него групп вершин) и чтобы в этом контексте существовал хороший аналог понятия накрывающего дерева Басса–Серра, необходимо потребовать своего рода условие «неположительной кривизны» рассматриваемого комплекса групп (см., например, ).
• Теория действий изометрических групп на вещественных деревьях (или R -деревьях), которые являются метрическими пространствами , обобщающими теоретико-графовое понятие дерева (теория графов) . Теория была развита в основном в 1990-е годы, когда машина Рипса Элияху Рипса по структурной теории действий стабильных групп на R -деревьях (см. ключевую роль сыграла ). Эта структурная теория приписывает стабильному изометрическому действию конечно порожденной группы G определенную аппроксимацию этого действия в «нормальной форме» стабильным действием G на симплициальном дереве и, следовательно, расщепление G в смысле теории Басса – Серра. Групповые действия на реальных деревьях естественным образом возникают в нескольких контекстах геометрической топологии : например, в качестве граничных точек пространства Тейхмюллера. (каждая точка на границе Терстона пространства Тейхмюллера представлена ​​измеренным геодезическим слоем на поверхности; этот слой поднимается до универсальной оболочки поверхности, а естественным двойственным объектом этому подъему является R -дерево, наделенное изометрическим действием фундаментальной группы поверхности), как пределы Громова-Хаусдорфа соответственно масштабированных клейнианской группы , действий и так далее. Использование механизма R -деревьев существенно упрощает современные доказательства теоремы Тёрстона о гиперболизации для 3-многообразий Хакена . Точно так же R -деревья играют ключевую роль в исследовании « Каллера - Фогтмана. Космического пространства» а также в других областях геометрической теории групп ; например, асимптотические конусы групп часто имеют древовидную структуру и порождают групповые действия на реальных деревьях . Использование R -деревьев вместе с теорией Басса-Серра является ключевым инструментом в работе Села по решению проблемы изоморфизма для словесно-гиперболических групп (без кручения) , версии Села теории JSJ-разложения и работы Селы о гипотезе Тарского для свободных групп и теории предельных групп .
• Теория действий групп на Λ-деревьях , где Λ — упорядоченная абелева группа (такая как R или Z ), дает дальнейшее обобщение как теории Басса–Серра, так и теории действий групп на R -деревьях (см. Морган, Альперин-Басс, Чизуэлл ).

См. также

• Геометрическая теория групп