Граф групп

В геометрической теории групп граф групп — это объект, состоящий из набора групп, индексированных вершинами и ребрами графа , вместе с семейством мономорфизмов групп ребер в группы вершин.Существует уникальная группа, называемая фундаментальной группой , канонически связанная с каждым конечным связным графом групп. , сохраняющее ориентацию Он допускает действие на дереве : исходный граф групп может быть восстановлен из факторграфа и подгрупп стабилизатора . Эта теория, обычно называемая теорией Басса-Серра , возникла благодаря работам Хаймана Басса и Жан-Пьера Серра .

Определение

Граф групп над графом Y — это сопоставление каждой вершине x группы Y группы G _x и каждому ребру y группы Y группы G _y , а также мономорфизмам φ _{y ,0} и φ _{y ,1,} отображающим G _y на группы, присвоенные вершинам на его концах.

Фундаментальная группа

Пусть T — остовное дерево для Y , и определим фундаментальную группу Γ как группу, порожденную группами вершин G _x и элементами y для каждого ребра Y со следующими соотношениями:

• у = у ⁻¹ если y — ребро y с обратной ориентацией.
• y φ _{y ,0} ( x ) y ⁻¹ = φ _{y ,1} (x) для всех x в G _y .
• y = 1, y — ребро в T. если

Это определение не зависит от выбора T .

Преимущество определения фундаментального группоида графа групп, как показал Хиггинс (1976) , заключается в том, что он определяется независимо от базовой точки или дерева. Также доказана хорошая нормальная форма для элементов фундаментального группоида. Сюда входят теоремы о нормальной форме для свободного продукта со слиянием и для расширения HNN ( Bass 1993 ).

Структурная

Пусть Γ — фундаментальная группа, соответствующая остовному дереву T . Для каждой вершины x и ребра G y x _и G y _можно отождествить со своими образами в Γ . Можно определить граф с вершинами и ребрами как непересекающееся объединение всех смежных пространств Γ/ G _x и Γ/ G _y соответственно. Этот граф представляет собой дерево , называемое универсальным накрывающим деревом , на котором Γ действует . Он допускает граф Y как фундаментальную область . Граф групп, заданный подгруппами стабилизаторов в фундаментальной области, соответствует исходному графу групп.

Примеры

• Граф групп на графе с одним ребром и двумя вершинами соответствует свободному произведению со слиянием .
• Граф групп на одной вершине с петлей соответствует расширению HNN .

Обобщения

Простейшим возможным обобщением графа групп является двумерный комплекс групп . Они моделируются на орбифолдах, возникающих в результате кокомпактных собственно разрывных действий дискретных групп на двумерных симплициальных комплексах , имеющих структуру пространств CAT(0) . Фактор симплициального комплекса имеет конечные группы стабилизаторов, прикрепленные к вершинам, ребрам и треугольникам вместе с мономорфизмами для каждого включения симплексов. Комплекс групп называется развивающимся, если он возникает как фактор симплициального комплекса CAT(0). Развертываемость — это условие неположительной кривизны комплекса групп: его можно проверить локально, проверив, что все цепи, входящие в звенья вершин, имеют длину не менее шести. Такие комплексы групп первоначально возникли в теории двумерных зданий Брюа-Титса ; ихОбщее определение и дальнейшее изучение были вдохновлены идеями Громова .

См. также

• Теория Басса – Серра
• Прямоугольная группа Артина

Ссылки

• Басс, Хайман (1993), «Теория покрытия графов групп», Журнал чистой и прикладной алгебры , 89 (1–2): 3–47, doi : 10.1016/0022-4049(93)90085-8 , MR   1239551 .
• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Фундаментальные принципы математических наук, том. 319, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-64324-9 , МР   1744486 .
• Дикс, Уоррен; Данвуди, MJ (1989), Группы, действующие на графах , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 17, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-23033-0 , МР   1001965 .
• Хефлигер, Андре (1990), «Орби-пространства [Орбипространства]», О гиперболических группах Михаила Громова (Берн, 1988) , Progress in Mathematics (на французском языке), том. 83, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, стр. 203–213, ISBN  0-8176-3508-4 , МР   1086659
• Хиггинс, П.Дж. (1976), «Фундаментальный группоид графа групп», Журнал Лондонского математического общества , 2-я серия, 13 (1): 145–149, doi : 10.1112/jlms/s2-13.1.145 , MR   0401927
• Скотт, Питер ; Уолл, Терри (1979), «Топологические методы в теории групп», Гомологическая теория групп , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 36, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 137–203, ISBN.  0-521-22729-1 , МР   0564422 .
• Серр, Жан-Пьер (2003), Деревья , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-44237-5 , МР   1954121 . Перевод Джона Стиллвелла из «arbres, amalgames, SL ₂ », написанного в сотрудничестве с Хайманом Бассом , 3-е издание, asterisque 46 (1983). См. главу I.5.