JSJ-разложение

В математике , разложение JSJ также известное как торическое разложение , представляет собой топологическую конструкцию, заданную следующей теоремой:

Неприводимые ориентируемые замкнутые (т. е. компактные и без края) 3-многообразия имеют единственный (с точностью до изотопии ) минимальный набор дизъюнктно вложенных несжимаемых торов такой, что каждая компонента 3-многообразия, полученная разрезанием вдоль торов, является либо атороидальной , либо зейфертовской. волокнистый .

Аббревиатура JSJ означает Уильяма Жако , Питера Шалена и Клауса Йохансона . Первые два работали вместе, а третий работал независимо.

Характеристическое подмногообразие

Альтернативная версия разложения JSJ гласит:

Замкнутое неприводимое ориентируемое 3-многообразие M имеет подмногообразие Σ, которое является многообразием Зейферта (возможно, несвязным и с краем), дополнение которого атороидально (и, возможно, несвязно).

с наименьшим числом граничных торов называется характеристическим подмногообразием M Подмногообразие Σ ; он уникален (с точностью до изотопии). Разрезание многообразия по торам, ограничивающим характеристическое подмногообразие, также иногда называют разложением JSJ, хотя оно может иметь больше торов, чем стандартное разложение JSJ.

Граница характеристического подмногообразия Σ представляет собой объединение торов, почти таких же, как торы, возникающие в разложении JSJ. Однако есть тонкое отличие: если один из торов в JSJ-разложении «неразделяющийся», то граница характеристического подмногообразия имеет две его параллельные копии (а область между ними представляет собой многообразие Зейферта, изоморфное произведению тора и единичного интервала).Множество торов, ограничивающих характеристическое подмногообразие, можно охарактеризовать как единственный (с точностью до изотопии ) минимальный набор дизъюнктно вложенных несжимаемых торов такой, что замыкание каждой компоненты 3-многообразия, полученного разрезанием вдоль торов, является либо тороидальным , либо расслоенным Зейфертом. .

Разложение JSJ не совсем то же самое, что разложение в гипотезе геометризации , поскольку некоторые части разложения JSJ могут не иметь геометрических структур конечного объема. Например, тор отображения отображения тора Аносова имеет золь-структуру конечного объема, но его JSJ-разложение разрезает его вдоль одного тора, чтобы получить произведение тора и единичного интервала, и внутренняя часть этого не имеет конечного объема. объемная геометрическая структура.

См. также

Ссылки

Жако, Уильям Х .; Шален, Питер Б. (1979), «Расслоенные пространства Зейферта в трехмерных многообразиях», Мемуары Американского математического общества , 21 (220) .
Жако, Уильям; Шален, Питер Б. Зейферт, расслоенные пространства в 3-многообразиях. Геометрическая топология (Proc. Georgia Topology Conf., Афины, Джорджия, 1977), стр. 91–99, Academic Press, Нью-Йорк-Лондон, 1979.
Жако, Уильям; Шален, Питер Б. Новая теорема о разложении неприводимых достаточно больших 3-многообразий. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Стэнфордский университет, Стэнфорд, Калифорния, 1976), часть 2, стр. 71–84, Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXII, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1978.
Йоханнсон, Клаус, Гомотопические эквивалентности 3-многообразий с границами. Конспекты лекций по математике, 761. Springer, Берлин, 1979. ISBN 3-540-09714-7

Внешние ссылки

Аллен Хэтчер , Заметки по базовой топологии трехмерного многообразия .
Уильям Жако, Алгоритм построения JSJ-разложения трехмерного многообразия . Приведен алгоритм построения JSJ-разложения 3-многообразия и получения инвариантов Зейферта Характеристического подмногообразия.