Разложение многообразия
 |
В топологии , разделе математики , многообразие М можно разложить или разделить, записав М как комбинацию меньших частей. При этом необходимо указать, что представляют собой эти части и как они соединяются, чтобы M. сформировать
Декомпозиция многообразия работает в двух направлениях: можно начать с меньших частей и построить многообразие или начать с большого многообразия и разложить его. Последнее оказалось очень полезным способом изучения многообразий: без таких инструментов, как декомпозиция, иногда очень трудно понять многообразие. В частности, он оказался полезен при попытках классифицировать 3-многообразия о многомерности , а также при доказательстве гипотезы Пуанкаре .
В таблице ниже приведено краткое описание различных методов разложения на многообразие. Столбец с надписью « M » указывает, какой тип многообразия можно разложить; столбец с надписью «Как разлагается» указывает, как, начиная с многообразия, можно разложить его на более мелкие части; столбец с надписью «Фрагменты» указывает, какими могут быть фигуры; а столбец с надписью «Как они комбинируются» показывает, как меньшие части объединяются в большое многообразие.
 |
| Тип разложения | М | Как он разлагается | Кусочки | Как они сочетаются |
|---|---|---|---|---|
| Триангуляция | Зависит от размерности. В размерности 3 теорема Эдвина Э. Мойза показывает, что каждое 3-многообразие имеет уникальную триангуляцию, уникальную с точностью до общего подразделения. В размерности 4 не все многообразия триангулируемы. Для более высоких измерений общее существование триангуляций неизвестно. | Они просты | Склейте вместе пары граней коразмерности один. | |
| Разложение тора Жако-Шалена/Йохансона | Нередуцируемые , регулируемые , компактные трехблочные коллекторы | Разрезать по вложенным торам | Атороидальные или с волокнами Зейферта трехмерные многообразия | Объединение вдоль их границы с помощью тривиального гомеоморфизма |
| Простое разложение | По существу поверхности и 3-многообразия . Разложение единственно, если многообразие ориентируемо. | Разрезать по вложенным сферам ; затем объединение тривиальным гомеоморфизмом по полученным границам с непересекающимися шарами . | Первичные коллекторы | Связная сумма |
| Расщепление Хегора | Закрытые ориентируемые . трехмерные многообразия | Две рукоятки одинакового рода | Объединение по границе некоторым гомеоморфизмом | |
| Разложение ручки | Любое компактное ( гладкое ) n-многообразие (причём разложение никогда не является единственным) | С помощью функций Морзе связывается дескриптор с каждой критической точкой . | Шарики (называемые ручками ) | Объединение по подмножеству границ . Обратите внимание, что дескрипторы обычно необходимо добавлять в определенном порядке. |
| Иерархия вязания крючком | Любое многообразие Хакена | Разрезать по последовательности несжимаемых поверхностей | 3 мяча | |
| Разложение диска | Некоторые компактные . ориентируемые трехмерные многообразия | Зашейте коллектор, затем разрежьте по специальным поверхностям (условие на граничных кривых и швах...) | 3 мяча | |
| Разложение открытой книги | Любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие | Звено . и семейство двумерных многообразий , имеющих общую границу с этим звеном | ||
| Тригениус | Компактные , закрытые трехблочные коллекторы | Операции | Три ориентируемых корпуса ручки | Соединения вдоль внутренних поверхностей на границах корпусов ручек |