Трехродный

В маломерной топологии замкнутого тригенус 3 - многообразия является инвариантом, состоящим из упорядоченной тройки $(g_{1},g_{2},g_{3})$. Его получают путем минимизации родов трех ориентируемых тел-ручек — без пересечения их внутренностей — которые разлагают многообразие, поскольку для рода Heegaard требуется только два.

То есть разложение $M=V_{1}\cup V_{2}\cup V_{3}$ с ${\rm {int}}V_{i}\cap {\rm {int}}V_{j}=\varnothing$для $i,j=1,2,3$ и быть $g_{i}$ род $V_{i}$.

Для ориентируемых пространств ${\rm {trig}}(M)=(0,0,h)$,где $h$ является $M$Род Heegaard .

Для неориентируемых пространств ${\rm {trig}}$ имеет форму ${\rm {trig}}(M)=(0,g_{2},g_{3})\quad {\mbox{or}}\quad (1,g_{2},g_{3})$в зависимости отизображение первого характеристического класса Штифеля – Уитни $w_{1}$ при гомоморфизме Бокштейна соответственно для $\beta (w_{1})=0\quad {\mbox{or}}\quad \neq 0.$

Доказано, что число $g_{2}$ имеет отношение к понятию поверхности Штифеля – Уитни , то есть ориентируемой поверхности. $G$ который встроен в $M$, имеет минимальный род и представляет первый класс Штифеля–Уитни при отображении двойственности $D\colon H^{1}(M;{\mathbb {Z} }_{2})\to H_{2}(M;{\mathbb {Z} }_{2}),$, то есть, $Dw_{1}(M)=[G]$. Если $\beta (w_{1})=0\,$ затем ${\rm {trig}}(M)=(0,2g,g_{3})\,$, и если $\beta (w_{1})\neq 0.\,$затем ${\rm {trig}}(M)=(1,2g-1,g_{3})\,$.

Теорема

Многообразие S является поверхностью Штифеля–Уитни в M тогда и только тогда, когда S и M−int(N(S)) ориентируемы.

Ссылки

• Х.К. Гомес Ларраньяга, В. Хайль, В.М. Нуньес. Поверхности Штифеля – Уитни и разложения 3-многообразий на тела-ручки , Прикл. топологии. 60 (1994), 267–280.
• Х.К. Гомес Ларраньяга, В. Хайль, В.М. Нуньес. Поверхности Штифеля-Уитни и трирод неориентируемых трехмерных многообразий , Manuscripta Math. 100 (1999), 405–422.
• «О трироде поверхностных расслоений над $S^{1}$", 2005, Соц. мат. Мех. | pdf