Расщепление Хегора
В математической области геометрической топологии Хегора расщепление ( Датский: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ) — это разложение компактного ориентированного 3-многообразия , возникающее в результате его разделения на два тела-ручки .
Определения
[ редактировать ]Пусть V и W — тела-ручки рода g пусть ƒ — гомеоморфизм обращающий ориентацию, от границы V , и к границе W. , Приклеивая V к W вдоль ƒ, получаем компактное ориентированное 3-многообразие
Таким образом можно получить любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие; о триангуляции трехмерных многообразий это следует из глубоких результатов Мойзе . Это сильно контрастирует с многообразиями более высокой размерности, которые не обязательно допускают гладкие или кусочно-линейные структуры. В предположении гладкости существование расщепления Хегора также следует из работы Смейла о ручочных разложениях из теории Морса.
Разложение M на два тела-ручки называется расщеплением Хегора , а их общая граница H называется Хегора поверхностью расщепления . Расщепления рассматриваются с точностью до изотопии .
Отображение склейки ƒ необходимо указать только до принятия двойного класса в группе классов отображения H смежного . Эту связь с группой картографических классов впервые установил WBR Ликориш .
Расщепления Хигора также можно определить для компактных трехмерных многообразий с краем, заменив тела-ручки телами сжатия . Карта склейки находится между положительными границами тел сжатия.
Замкнутая кривая называется существенной, если она не гомотопна точке, проколу или граничной компоненте. [1]
Расщепление Хигора приводимо , если существует существенная простая замкнутая кривая на H, который ограничивает диск как в V , так и в W . Расщепление неприводимо, если оно неприводимо. следует Из леммы Хакена , что в приводимом многообразии каждое расщепление приводимо.
Расщепление Хигора стабилизируется , если существуют существенные простые замкнутые кривые и на H , где ограничивает диск в V , ограничивает диск в W и и пересекаются ровно один раз. следует Из теоремы Вальдхаузена , что всякое приводимое расщепление неприводимого многообразия стабилизировано.
Расщепление Хегора слабо приводимо , если существуют непересекающиеся существенные простые замкнутые кривые и на H , где ограничивает диск в V и ограничивает диск в W . Расщепление является сильно неприводимым , если оно не является слабо приводимым.
Расщепление Хегора является минимальным или минимальным родом, если не существует другого расщепления объемлющего трехмногообразия нижнего рода . Минимальное значение g поверхности расщепления является Хегора родом M .
Обобщенные расщепления Хигора
[ редактировать ]Обобщенное расщепление Хигора M представляет собой разложение на тела сжатия. и поверхности такой, что и . Внутренности тел сжатия должны быть попарно непересекающимися, а их объединение должно быть полностью . Поверхность образует поверхность Хегора для подмногообразия из . что здесь каждый Vi (Обратите внимание , и Wi может иметь более одного компонента.)
Обобщенное расщепление Хигора называется сильно неприводимым, если каждое сильно неприводима.
Существует аналогичное понятие тонкого положения , определенное для узлов, для расщеплений Хегора. Сложность связной поверхности S , c(S) определяется как ; сложность несвязной поверхности равна сумме сложностей ее компонентов. Сложность обобщенного расщепления Хегора - это мультимножество. , где индекс пробегает поверхности Хегора в обобщенном расщеплении. Эти мультимножества можно хорошо упорядочить с помощью лексикографического порядка (монотонно убывающего). Обобщенное расщепление Хегора является тонким , если его сложность минимальна.
Примеры
[ редактировать ]- Трехсферный
- Трехсфера представляет собой набор векторов в с длиной один. Пересекая это с гиперплоскость дает две сферы . Это стандартное разбиение по роду на ноль. . И наоборот, по трюку Александера все многообразия, допускающие расщепление рода нуль гомеоморфны , . При обычном обозначении с мы можем просмотреть как жить в . Тогда множество точек, в которых каждая координата имеет норму образует тор Клиффорда , . Это стандартное разбиение на один род. . (См. также обсуждение в связке Хопфа .)
- Стабилизация
- Учитывая расщепление Хигора H в M, формируется взятия путем стабилизация H связной суммы пары с парой . Легко показать, что процедура стабилизации приводит к стабилизированным расщеплениям. Индуктивно расщепление является стандартным , если оно является стабилизацией стандартного расщепления.
- Пространства линз
- Все имеют стандартное разделение на первый род. Это образ тора Клиффорда в под картой частных, используемой для определения рассматриваемого пространства линзы. Из структуры группы классов отображений двухтора следует , что только линзовые пространства имеют расщепления рода один.
- Трехторный
- Напомним, что трехтор является декартовым произведением трех копий ( круги ). Позволять быть точкой и рассмотрим график . Легко показать, что V — регулярная окрестность , представляет собой корпус ручки как есть . Таким образом, граница V в является расщеплением Хегора, и это стандартное расщепление . доказали Чарльз Фроман и Джоэл Хасс , что любое другое расщепление Хигора трехтора по роду 3 топологически эквивалентно этому. Мишель Буало и Жан-Пьер Оталь доказали, что в общем случае любое расщепление Хигора трехтора эквивалентно результату стабилизации этого примера.
Теоремы
[ редактировать ]- Лемма Александра
- С точностью до изотопии имеет место однозначное ( кусочно-линейное ) вложение двухсферы в трехсферу. (В более высоких измерениях это известно как теорема Шенфлиса . В измерении два это теорема Жордановой кривой .) Это можно переформулировать следующим образом: расщепление по роду нуль является уникальным.
- Теорема Вальдхаузена
- Каждое расщепление получается путем стабилизации однозначного расщепления нулевого рода.
Предположим теперь, что M — замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие.
- Теорема Райдемейстера – Зингера
- Для любой пары разбиений и в M есть третье расщепление в M, что является стабилизацией обоих.
- Лемма Хакена
- Предположим, что является существенной двусферой в M и H является расщеплением Хегора. Тогда существует существенная двусфера в M встречается с H по одной кривой.
Классификации
[ редактировать ]Существует несколько классов трехмерных многообразий, в которых набор расщеплений Хигора полностью известен. Например, теорема Вальдхаузена показывает, что все расщепления являются стандартными. То же самое справедливо и для линзовых пространств (как доказали Фрэнсис Бонахон и Отал).
Расщепления расслоений Зейферта более тонкие. Здесь все расщепления могут быть изотопированы как вертикальные или горизонтальные (как доказали Йоав Мориа и Дженнифер Шультенс ).
Купер и Шарлеманн (1999) классифицировали расщепления расслоений торов (которые включают все трехмерные многообразия с геометрией Солнца ). Из их работы следует, что все расслоения торов имеют единственное расщепление минимального рода. Все остальные расщепления расслоения тора являются стабилизациями минимального рода.
В статье Кобаяши (2001) классифицируются расщепления Хигора гиперболических трехмерных многообразий, которые являются дополнениями к узлам с двумя мостами.
Вычислительные методы можно использовать для определения или аппроксимации рода Хигора трехмерного многообразия. Программное обеспечение Джона Берджа Heegaard изучает расщепления Хигора, порожденные фундаментальной группой многообразия.
Приложения и подключения
[ редактировать ]Минимальные поверхности
[ редактировать ]Расщепления Хегора появились в теории минимальных поверхностей впервые в работе Блейна Лоусона , который доказал, что вложенные минимальные поверхности в компактных многообразиях положительной секционной кривизны являются расщеплениями Хегора. Этот результат был распространен Уильямом Миксом на плоские многообразия, за исключением того, что он доказывает, что вложенная минимальная поверхность в плоском трехмерном многообразии является либо поверхностью Хигора, либо полностью геодезической .
Микс и Шинг-Тунг Яу продолжили использовать результаты Вальдхаузена для доказательства результатов о топологической единственности минимальных поверхностей конечного рода в . Окончательная топологическая классификация вложенных минимальных поверхностей в было дано Миксом и Фроманом. Результат во многом основывался на методах, разработанных для изучения топологии расщеплений Хигора.
Гомологии Хегорада Флоера
[ редактировать ]Диаграммы Хигора, которые представляют собой простые комбинаторные описания расщеплений Хигора, широко использовались для построения инвариантов трехмерных многообразий. Самым последним примером этого является гомология Хегаарда Флоера Питера Озсвата и Золтана Сабо . В теории используется симметричное произведение поверхности Хигора как окружающего пространства и торов, построенных на границах меридианных дисков для двух ручек как лагранжевых подмногообразий .
История
[ редактировать ]Идея расщепления Хигора была предложена Полом Хигором ( 1898 ). Хотя расщепления Хигора широко изучались такими математиками, как Вольфганг Хакен и Фридхельм Вальдхаузен в 1960-х годах, только несколько десятилетий спустя эта область была обновлена Эндрю Кассоном и Кэмероном Гордоном ( 1987 ), в первую очередь благодаря их концепции сильной неприводимости .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Фарб, Б.; Маргалит, Д. Букварь по картированию групп классов . Издательство Принстонского университета. п. 22.
- Фарб, Бенсон ; Маргалит, Дэн, Учебник по картированию классовых групп , Princeton University Press
- Кассон, Эндрю Дж .; Гордон, Кэмерон МакА. (1987), «Уменьшение расщеплений Хигора», Топология и ее приложения , 27 (3): 275–283, doi : 10.1016/0166-8641(87)90092-7 , ISSN 0166-8641 , MR 0918537
- Купер, Дэрил; Шарлеманн, Мартин (1999), «Структура расщепления Хегора солвмногообразия» , Turkish Journal of Mathematics , 23 (1): 1–18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , заархивировано из оригинала 22 августа 2011 г. , получено 11 января 2020 г.
- Хегор, Пол (1898), Предварительные сведения к топологической теории соединения алгебраических поверхностей (PDF) , Диссертация (на датском языке), JFM 29.0417.02
- Хемпель, Джон (1976), 3-многообразия , Анналы математических исследований, том. 86, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-8218-3695-8 , МР 0415619
- Кобаяши, Цуёси (2001), «Расщепление Хигора экстерьеров двух мостовых узлов» , Геометрия и топология , 5 (2): 609–650, arXiv : math/0101148 , doi : 10.2140/gt.2001.5.609 , S2CID 13991798