Расслоение тора

Расслоение тора в подполе геометрической топологии в математике — это своего рода поверхностное расслоение над кругом , которое, в свою очередь, является классом трехмерных многообразий .

Строительство

Чтобы получить расслоение тора: пусть $f$ — ориентацию сохраняющий гомеоморфизм двумерного тора $T$ самому себе. Тогда трехмерное многообразие $M(f)$ получается путем

• взяв произведение декартово $T$ и единичный интервал и
• склеивание одного компонента границы полученного многообразия с другим компонентом границы через отображение $f$.

Затем $M(f)$ — расслоение тора с монодромией $f$.

Примеры

Например, если $f$ является тождественным отображением (т. е. отображением, которое фиксирует каждую точку тора), тогда результирующее расслоение тора $M(f)$ — это трёхтор : декартово произведение трёх окружностей .

Чтобы увидеть возможные виды расслоений торов более подробно, необходимо понять Уильяма Терстона программу геометризации . Коротко, если $f$ имеет конечный порядок , то многообразие $M(f)$ имеет евклидову геометрию . Если $f$ это сила поворота Дена тогда $M(f)$ имеет нулевую геометрию . Наконец, если $f$ является отображением Аносова , то полученное трехмерное многообразие имеет геометрию Солнца .

Эти три случая в точности соответствуют трем возможностям абсолютной величины следа действия $f$ по гомологии тора: либо меньше двух, либо равно двум, либо больше двух.

Ссылки

• Джеффри Р. Уикс (2002). Форма пространства (второе изд.). Марсель Деккер, Inc. ISBN  978-0824707095 .