Аносовский диффеоморфизм

В математике , особенно в области динамических систем и геометрической топологии , отображение Аносова на многообразии М представляет собой определенный тип отображения М в себя с довольно четко выраженными локальными направлениями «расширения» и «сжатия». Системы Аносова являются частным случаем Аксиомы А. систем

Диффеоморфизмы Аносова были введены Дмитрием Викторовичем Аносовым , который доказал, что их поведение было в соответствующем смысле родовым (если они вообще существуют). ^[1]

Обзор

Следует различать три тесно связанных определения:

Если дифференцируемое отображение f на M имеет гиперболическую структуру на касательном расслоении , то оно называется отображением Аносова . Примеры включают карту Бернулли и карту кошки Арнольда .
Если отображение является диффеоморфизмом , то оно называется диффеоморфизмом Аносова .
Если поток на многообразии разбивает касательное расслоение на три инвариантных подрасслоения , одно из которых экспоненциально сжимается, другое экспоненциально расширяется, а также третье, нерасширяющееся, несжимающееся одномерное подрасслоение (натянутое на направление потока), то поток называется потоком Аносова .

Классическим примером диффеоморфизма Аносова является отображение кота Арнольда .

Аносов доказал, что диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы и образуют открытое подмножество отображений (потоков) с C ¹ топология.

Не каждое многообразие допускает диффеоморфизм Аносова; таких диффеоморфизмов нет например, на сфере . Простейшими примерами допускающих их компактных многообразий являются торы: они допускают так называемые линейные диффеоморфизмы Аносова , которые представляют собой изоморфизмы, не имеющие собственного значения модуля 1. Было доказано, что любой другой диффеоморфизм Аносова на торе топологически сопряжен одному из этих добрый.

Проблема классификации многообразий, допускающих диффеоморфизмы Аносова, оказалась очень сложной, и по состоянию на 2023 г. ^[update] не имеет ответа для размерности больше 3. Единственными известными примерами являются инфранилмногообразия , и предполагается, что они единственные.

Достаточным условием транзитивности является то, что все точки неблуждающие: $\Omega (f)=M$ . Это, в свою очередь, справедливо для диффеоморфизмов Аносова коразмерности один (т. е. тех, у которых сжимающееся или расширяющееся подрасслоение одномерно) ^[2] а для коразмерности один Аносов течет на многообразиях размерности больше трех ^[3] а также потоки Аносова, мазеровский спектр которых содержится в двух достаточно тонких кольцах. ^[4] Неизвестно, являются ли диффеоморфизмы Аносова транзитивными (за исключением инфранильных многообразий), но потоки Аносова не обязательно должны быть топологически транзитивными. ^[5]

Кроме того, неизвестно, каждый ли $C^{1}$ сохраняющий объем диффеоморфизм Аносова эргодичен. Аносов доказал это под $C^{2}$ предположение. Это также верно для $C^{1+\alpha }$ сохраняющие объем диффеоморфизмы Аносова.

Для $C^{2}$ транзитивный диффеоморфизм Аносова $f\colon M\to M$ существует уникальная мера SRB (аббревиатура означает Синай, Рюэль и Боуэн) $\mu _{f}$ поддерживается на $M$ такой, что его бассейн $B(\mu _{f})$ имеет полный объем, где

B(\mu _{f})=\left\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\right\}.

Течение Аносова на (касательных расслоениях) римановых поверхностей

В качестве примера в этом разделе развивается случай течения Аносова на касательном расслоении римановой поверхности отрицательной кривизны . Этот поток можно понимать как поток на касательном расслоении модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии. Римановы поверхности отрицательной кривизны можно определить как фуксовы модели , то есть как факторы верхней полуплоскости и фуксовой группы . Для дальнейшего пусть H — верхняя полуплоскость; пусть Γ — фуксова группа; пусть M = H /Γ — риманова поверхность отрицательной кривизны как фактор «M» по действию группы Γ, и пусть $T^{1}M$ — касательное расслоение векторов единичной длины на многообразии M и пусть $T^{1}H$ — касательное расслоение векторов единичной длины на H . Обратите внимание, что расслоение векторов единичной длины на поверхности является основным расслоением комплексного линейного расслоения .

Векторные поля лжи

Начнем с того, что отметим, что $T^{1}H$ изоморфна группе Ли PSL(2, R ) . Эта группа представляет собой группу сохраняющих ориентацию изометрий верхней полуплоскости. Алгеброй Ли PSL(2, R ) является sl(2, R ) и она представлена матрицами

J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}}\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}

которые имеют алгебру

[J,X]=X\qquad [J,Y]=-Y\qquad [X,Y]=2J

Экспоненциальные карты

g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}

определяют правоинвариантные потоки на многообразии $T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )$ , и аналогично на $T^{1}M$ . Определение $P=T^{1}H$ и $Q=T^{1}M$ эти потоки определяют векторные поля на P и Q , векторы которых лежат в TP и TQ . Это всего лишь стандартные, обычные векторные поля Ли на многообразии группы Ли, а приведенное выше представление представляет собой стандартное изложение векторного поля Ли.

Аносовский поток

Подключение к потоку Аносова происходит от осознания того, что $g_{t}$ — геодезический поток на P и Q . Поля векторов Ли (по определению) инвариантны слева относительно действия элемента группы, то есть эти поля инвариантны слева относительно конкретных элементов. $g_{t}$ геодезического потока. Другими словами, пространства TP и TQ разбиваются на три одномерных пространства или подрасслоения , каждое из которых инвариантно относительно геодезического потока. Последний шаг — заметить, что векторные поля в одном подрасслоении расширяются (и расширяются экспоненциально), в другом — не изменяются, а в третьем — сжимаются (и делают это экспоненциально).

Точнее, касательное расслоение TQ можно записать в виде прямой суммы

TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}

или в какой-то момент $g\cdot e=q\in Q$ , прямая сумма

T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}

соответствующие генераторам алгебры Ли Y , J и X соответственно, переносимые левым действием элемента группы g из начала координат e в точку q . То есть у человека есть $E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J$ и $E_{e}^{-}=X$ . Каждое из этих пространств является подрасслоением и сохраняется (инвариантно) под действием геодезического потока ; то есть под действием групповых элементов $g=g_{t}$ .

Чтобы сравнить длины векторов в $T_{q}Q$ в разных точках q нужна метрика. Любой внутренний продукт в $T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )$ продолжается до левоинвариантной римановой метрики на P и, следовательно, до римановой метрики на Q . Длина вектора $v\in E_{q}^{+}$ экспоненциально расширяется как exp(t) под действием $g_{t}$ . Длина вектора $v\in E_{q}^{-}$ экспоненциально сжимается как exp(-t) под действием $g_{t}$ . Векторы в $E_{q}^{0}$ неизменны. В этом можно убедиться, рассмотрев, как коммутируют элементы группы. Геодезический поток инвариантен,

g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}

но два других сжимаются и расширяются:

g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}

и

g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}

где мы напомним, что касательный вектор в $E_{q}^{+}$ задается производной по t кривой $h_{t}$ , обстановка $t=0$ .

Геометрическая интерпретация течения Аносова

Когда действую в точку $z=i$ верхней полуплоскости, $g_{t}$ соответствует геодезической на верхней полуплоскости, проходящей через точку $z=i$ . Действие представляет собой стандартное преобразования Мёбиуса действие SL(2, R ) на верхней полуплоскости, так что

g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)

Общая геодезическая определяется выражением

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}

с a , b , c и d действительными, с $ad-bc=1$ . Кривые $h_{t}^{*}$ и $h_{t}$ называются орициклами . Гороциклы соответствуют движению нормальных векторов орисферы в верхней полуплоскости.

См. также

Примечания

^ Дмитрий В. Аносов , Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны , (1967) Proc. Стеклова. Математика. 90 .
^ Ньюхаус, Шелдон Э. (1970). «О диффеоморфизмах Аносова коразмерности один» . Американский журнал математики . 92 : 761–770. дои : 10.2307/2373372 .
^ Верёвский, Альберто (1974). «Коразмерность один Аносов течет». Бюллетень Мексиканского математического общества. Вторая серия . 19 (2): 49–77.
^ Брин, Мичиган (1977). «Неблуждающие точки диффеоморфизмов Аносова». Астериск . 49 : 11–18.
^ Беген, Франсуа; Бонатти, Кристиан; Ю, Бин (2017). «Построение потоков Аносова на 3-многообразиях» . Геометрия и топология . 21 (3): 1837–1930. дои : 10.2140/gt.2017.21.1837 .

Ссылки

«Y-система, U-система, C-система» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Энтони Мэннинг, Динамика геодезических и орициклических потоков на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (1991), появляется в главе 3 в книге «Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства» , Тим Бедфорд, Майкл Кин и Кэролайн Ряд, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (содержит пояснительное введение в поток Аносова на SL (2, R ).)
Эта статья включает в себя материал из диффеоморфизма Аносова на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
Тошиказу Сунада , Магнитные потоки на римановой поверхности , Тр. КАИСТ Математика. Мастерская (1993), 93–108.

[1] Дмитрий В. Аносов , Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны , (1967) Proc. Стеклова. Математика. 90 .

[2] Ньюхаус, Шелдон Э. (1970). «О диффеоморфизмах Аносова коразмерности один» . Американский журнал математики . 92 : 761–770. дои : 10.2307/2373372 .

[3] Верёвский, Альберто (1974). «Коразмерность один Аносов течет». Бюллетень Мексиканского математического общества. Вторая серия . 19 (2): 49–77.

[4] Брин, Мичиган (1977). «Неблуждающие точки диффеоморфизмов Аносова». Астериск . 49 : 11–18.

[5] Беген, Франсуа; Бонатти, Кристиан; Ю, Бин (2017). «Построение потоков Аносова на 3-многообразиях» . Геометрия и топология . 21 (3): 1837–1930. дои : 10.2140/gt.2017.21.1837 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]