Карта Псевдо-Аносова

В математике , в частности в , псевдоаносовское отображение — разновидность диффеоморфизма или гомеоморфизма поверхности топологии . Это обобщение линейного Аносова тора диффеоморфизма . Его определение основано на понятии мерного слоения, введенном Уильямом Терстоном , который также ввел термин «псевдоаносовский диффеоморфизм», когда доказал свою классификацию диффеоморфизмов поверхности .

Определение измеренного слоения

Измеренное слоение F на замкнутой поверхности S — это геометрическая структура на S , состоящая из особого слоения и меры в поперечном направлении. В некоторой окрестности регулярной точки F существует «коробка потока» φ : U → R ² который отправляет листья F на горизонтальные линии в R ² . Если две такие окрестности U _i и U _j перекрываются, то существует функция перехода φ _ij, определенная на φ _j ( U _j ), со стандартным свойством

$\phi _{ij}\circ \phi _{j}=\phi _{i},$

который должен иметь вид

$\phi (x,y)=(f(x,y),c\pm y)$

для некоторой постоянной c . Это гарантирует, что вдоль простой кривой изменение координаты y геометрической величиной (т.е. независимой от карты) и позволяет определить общее изменение вдоль простой замкнутой кривой на S. , измеренное локально на каждой карте, является Допускается конечное число особенностей F типа « p -зубчатого седла», p ≥3. В такой особой точке дифференцируемая структура поверхности изменяется, превращая точку в коническую точку с полным углом πp . Понятие диффеоморфизма S переопределено относительно этой модифицированной дифференцируемой структуры. С некоторыми техническими изменениями эти определения распространяются и на случай поверхности с границей.

Определение псевдоаносовского отображения.

Гомеоморфизм

$f:S\to S$

замкнутой поверхности S называется псевдоаносовым, если существует трансверсальная пара измеренных слоений на S , F ^с (стабильный) и F ^в (нестабильный) и действительное число λ > 1 такое, что слоения сохраняются по f , а их поперечные меры умножаются на 1/ λ и λ . Число λ называется растяжения или расширением f . коэффициентом

Значение

Терстон построил компактификацию пространства Тейхмюллера T ( S ) поверхности S такую, что действие, индуцированное на T ( S ) любым диффеоморфизмом f поверхности S, продолжается до гомеоморфизма компактификации Терстона. Динамика этого гомеоморфизма наиболее проста, когда f — псевдоаносовское отображение: в этом случае на границе Терстона имеются две неподвижные точки: одна притягивающая, другая отталкивающая, и гомеоморфизм ведет себя аналогично гиперболическому автоморфизму половины Пуанкаре . -самолет . «Общий» диффеоморфизм поверхности рода не ниже двух изотопен псевдоаносовскому диффеоморфизму.

Обобщение

С помощью теории железнодорожных путей понятие псевдоаносовского отображения было распространено на самоотображения графов (с топологической стороны) и внешние автоморфизмы свободных групп (с алгебраической стороны). Это приводит к аналогу классификации Терстона для случая автоморфизмов свободных групп, развитой Бествиной и Генделем.

Ссылки

• А. Кассон, С. Блейлер, «Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону», (Студенческие тексты Лондонского математического общества 9), (1988).
• А. Фатхи, Ф. Лауденбах и В. Поэнару , «Работа Терстона над поверхностями», Asterisk, Vols. 66 и 67 (1979).
• Р. К. Пеннер. «Конструкция псевдоаносовских гомеоморфизмов», Пер. амер. Математика. Соц., 310 (1988) № 1, 179–197.
• Терстон, Уильям П. (1988), «О геометрии и динамике диффеоморфизмов поверхностей», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 19 (2): 417–431, номер документа : 10.1090/S0273-0979-1988- 15685-6 , ISSN   0002-9904 , МР   0956596