Структурная стабильность

В математике , структурная устойчивость является фундаментальным свойством динамической системы что означает, что на качественное поведение траекторий не влияют небольшие возмущения (точнее, C ¹-малые возмущения).

Примерами таких качественных свойств являются количество неподвижных точек и периодических орбит (но не их периодов). В отличие от устойчивости по Ляпунову , которая учитывает возмущения начальных условий фиксированной системы, структурная устойчивость имеет дело с возмущениями самой системы. Варианты этого понятия применимы к системам обыкновенных дифференциальных уравнений , векторным полям на гладких многообразиях и потокам порожденным ими , а также к диффеоморфизмам .

Структурно устойчивые системы были представлены Александром Андроновым и Львом Понтрягиным в 1937 году под названием «systèmes Grossiers», или грубые системы . Они анонсировали характеристику грубых систем на плоскости — критерий Андронова–Понтрягина . В этом случае типичны структурно устойчивые системы , они образуют открытое плотное множество в пространстве всех систем, наделенных соответствующей топологией. В более высоких измерениях это уже не так, что указывает на то, что типичная динамика может быть очень сложной (см. странный аттрактор ). Важный класс структурно устойчивых систем в произвольных размерностях составляют диффеоморфизмы и потоки Аносова . В конце 1950-х и начале 1960-х годов Маурисио Пейшото и Марилия Чавес Пейшото , вдохновленные работами Андронова и Понтрягина, разработали и доказали теорему Пейшото , первую глобальную характеристику структурной устойчивости. ^[1]

Определение

Пусть G — открытая область в R ^н с компактным замыканием и гладкой ( n −1)-мерной границей . Рассмотрим пространство X ¹( G ) состоящий из ограничений на G группы C ¹ векторные поля на R ^н которые трансверсальны границе G и ориентированы внутрь. Это пространство наделено буквой C ¹ метрика обычным способом. Векторное поле F ∈ X ¹( G ) является слабо структурно устойчивым, если для любого достаточно малого возмущения F1 _, соответствующие потоки топологически эквивалентны на G существует гомеоморфизм h : G → G который переводит ориентированные траектории F в ориентированные траектории F1 _: . Если, кроме того, для любого ε > 0 гомеоморфизм h можно выбрать как C ⁰ ε -близко к тождественному отображению, когда F ₁ принадлежит подходящей окрестности F, зависящей от ε , то F называется (сильно) структурно устойчивым . Эти определения непосредственно распространяются на случай n -мерных компактных гладких многообразий с краем. Андронов и Понтрягин изначально считали сильным свойством. Аналогичные определения можно дать для диффеоморфизмов вместо векторных полей и потоков: в этом случае гомеоморфизм h должен быть топологическим сопряжением .

Важно отметить, что топологическая эквивалентность реализуется с потерей гладкости: отображение h , вообще говоря, не может быть диффеоморфизмом. Более того, хотя топологическая эквивалентность учитывает ориентированные траектории, в отличие от топологической сопряженности она несовместима по времени. Таким образом, соответствующее понятие топологической эквивалентности является значительным ослаблением наивного C ¹ сопряженность векторных полей. Без этих ограничений никакая система непрерывного времени с фиксированными точками или периодическими орбитами не могла бы быть структурно стабильной. Слабо структурно устойчивые системы образуют открытое множество в X ¹( G ), но неизвестно, сохраняется ли то же свойство в сильном случае.

Примеры

Необходимые и достаточные условия структурной устойчивости C ¹ векторные поля на единичном круге D , трансверсальные границе, и на двухсфере S ² определены в основополагающей работе Андронова и Понтрягина. Согласно критерию Андронова–Понтрягина , такие поля структурно устойчивы тогда и только тогда, когда они имеют лишь конечное число особых точек ( состояний равновесия ) и периодических траекторий ( предельных циклов ), которые все являются невырожденными (гиперболическими) и не имеют соединения седло-седло. Более того, неблуждающее множество системы представляет собой в точности объединение особых точек и периодических орбит. В частности, структурно устойчивые векторные поля в двух измерениях не могут иметь гомоклинических траекторий, что чрезвычайно усложняет динамику, как обнаружил Анри Пуанкаре .

Структурную устойчивость неособых гладких векторных полей на торе можно исследовать с помощью теории, развитой Пуанкаре и Арно Данжуа . С использованием рекуррентного отображения Пуанкаре вопрос сводится к определению структурной устойчивости диффеоморфизмов окружности . Как следствие теоремы Данжуа , сохраняющая ориентацию C ² диффеоморфизм ƒ круга структурно устойчив тогда и только тогда, когда его вращения рационально, ρ ( ƒ ) = p / q , а периодические траектории, все из которых имеют период q , невырождены: якобиан ƒ число ^д в периодических точках отлично от 1, см. карту круга .

Дмитрий Аносов обнаружил, что гиперболические автоморфизмы тора, такие как отображение кота Арнольда , структурно устойчивы. Затем он обобщил это утверждение на более широкий класс систем, которые с тех пор стали называть диффеоморфизмами Аносова и потоками Аносова. Одним из знаменитых примеров потока Аносова является геодезический поток на поверхности постоянной отрицательной кривизны, см. бильярд Адамара .

История и значение

Структурная устойчивость системы дает основание применять качественную теорию динамических систем к анализу конкретных физических систем. Идея такого качественного анализа восходит к работам Анри Пуанкаре по задаче трёх тел в небесной механике . Примерно в то же время Александр Ляпунов тщательно исследовал устойчивость малых возмущений отдельной системы. На практике закон развития системы (т.е. дифференциальных уравнений) никогда точно не известен из-за наличия различных малых взаимодействий. Поэтому крайне важно знать, что основные черты динамики одинаковы для любого небольшого возмущения «модельной» системы, эволюция которой подчиняется определенному известному физическому закону. Качественный анализ получил дальнейшее развитие Джорджа Биркгофа в 1920-х годах, но впервые был формализован с введением Андроновым и Понтрягиным концепции грубой системы в 1937 году. Это было немедленно применено к анализу физических систем с колебания Андронова, Витта и Хайкина. Термин «структурная устойчивость» принадлежит Соломону Лефшецу , который курировал перевод их монографии на английский язык. Идеи структурной стабильности были подхвачены Стивеном Смейлом и его школой в 1960-х годах в контексте гиперболической динамики. Ранее Марстон Морс и Хасслер Уитни инициировали, а Рене Том разработал параллельную теорию устойчивости дифференцируемых отображений, которая составляет ключевую часть теории особенностей . Том предвидел применение этой теории к биологическим системам. И Смейл, и Том работали в непосредственном контакте с Маурисио Пейшото, который разработал теорему Пейшото в конце 1950-х годов.

Когда Смейл приступил к разработке теории гиперболических динамических систем, он надеялся, что структурно устойчивые системы будут «типичными». Это соответствовало бы ситуации в малых размерностях: вторая размерность для потоков и первая размерность для диффеоморфизмов. Однако вскоре он нашел примеры векторных полей на многообразиях более высокой размерности, которые нельзя сделать структурно устойчивыми сколь угодно малым возмущением (такие примеры позже были построены на многообразиях размерности три). Это означает, что в более высоких измерениях структурно стабильные системы не являются плотными . Кроме того, структурно устойчивая система может иметь трансверсальные гомоклинические траектории гиперболических седловых замкнутых орбит и бесконечное число периодических орбит, даже если фазовое пространство компактно. Ближайшим многомерным аналогом структурно устойчивых систем, рассмотренных Андроновым и Понтрягиным, являются системы Морса–Смейла .

См. также

Ссылки

^ Рахман, Аминур; Блэкмор, Д. (2023). «Одномерная версия теоремы Пейшото о структурной устойчивости: доказательство, основанное на исчислении» . Обзор СИАМ . 65 (3): 869–886. arXiv : 2302.04941 . дои : 10.1137/21M1426572 . ISSN 0036-1445 .

Андронов Александр А. ; Лев С. Понтрягин (1988) [1937]. В.И. Арнольд (ред.). «Наземные системы» [Грубые системы]. Геометрические методы в теории дифференциальных уравнений . Основные доктрины математических наук, 250. Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-96649-8 .
Д. В. Аносов (2001) [1994], «Грубая система» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Чарльз Пью и Маурисио Матос Пейшото (ред.). «Структурная устойчивость» . Схоларпедия .

[1] Рахман, Аминур; Блэкмор, Д. (2023). «Одномерная версия теоремы Пейшото о структурной устойчивости: доказательство, основанное на исчислении» . Обзор СИАМ . 65 (3): 869–886. arXiv : 2302.04941 . дои : 10.1137/21M1426572 . ISSN 0036-1445 .

[1]