Динамическая система Адамара

В физике и математике ( динамическая система Адамара также называемая биллиардом Адамара или моделью Адамара-Гуцвиллера). ) — хаотическая динамическая система , разновидность динамического бильярда . Представлен Жаком Адамаром в 1898 году. и изучен Мартином Гуцвиллером в 1980-х годах, которой доказана это первая динамическая система, хаотичность .

Система рассматривает движение свободной ( без трения ) частицы по поверхности Больца , т. е. двумерной поверхности рода два (бублик с двумя отверстиями) и постоянной отрицательной кривизны ; это компактная риманова поверхность . Адамару удалось показать, что траектория каждой частицы удаляется друг от друга: что все траектории имеют положительный показатель Ляпунова .

Франк Штайнер утверждает, что исследование Адамара следует рассматривать как первое в истории исследование хаотической динамической системы и что Адамара следует считать первым открывшим хаос. Он указывает, что исследование получило широкое распространение, и рассматривает влияние идей на мышление Альберта Эйнштейна и Эрнста Маха .

Система особенно важна тем, что в 1963 году Яков Синай , изучая синайский бильярд как модель классического ансамбля газа Больцмана-Гиббса, смог показать, что движение атомов в газе следует траекториям в адамаровском пространстве. динамическая система.

Экспозиция

Изучаемое движение представляет собой движение свободной частицы, скользящей без трения по поверхности, а именно движение, имеющее гамильтониан

$H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)$

где m — масса частицы, $q^{i}$, $i=1,2$ – координаты на многообразии, $p_{i}$ являются сопряженными импульсами :

$p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}$

и

$ds^{2}=g_{ij}(q)dq^{i}dq^{j}\,$

— метрический тензор на многообразии. Поскольку это гамильтониан свободных частиц, решение уравнений движения Гамильтона – Якоби просто задается геодезическими на многообразии.

Адамар смог показать, что все геодезические неустойчивы, поскольку все они экспоненциально расходятся друг от друга, как $e^{\lambda t}$ с положительным показателем Ляпунова

$\lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}$

где E - энергия траектории, а $K=-1/R^{2}$ постоянная отрицательная кривизна поверхности.