Критерий Андронова–Понтрягина

Критерий Андронова–Понтрягина является необходимым и достаточным условием устойчивости динамических систем на плоскости. Его вывели Александр Андронов и Лев Понтрягин в 1937 году.

Заявление

Динамическая система

{\dot {x}}=v(x),

где $v$ это $C^{1}$ - векторное поле на плоскости , $x\in \mathbb {R} ^{2}$ , тогда орбитально топологически устойчив и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

Все точки равновесия и орбиты гиперболичны периодические .
нет Седловых соединений .

То же утверждение справедливо, если векторное поле $v$ определена на единичном круге и трансверсальна границе.

Разъяснения

Орбитальная топологическая устойчивость динамической системы означает, что при любом достаточно малом возмущении (в C ¹-метрика), существует гомеоморфизм, близкий к тождественному отображению, переводящий орбиты исходной динамической системы в орбиты возмущенной системы (ср. структурная устойчивость ).

Первое условие теоремы известно как глобальная гиперболичность . Нуль векторного поля v , т.е. точка x0 _, где v ( x0 _{является} )=0, называется гиперболическим , если ни одно из собственных значений линеаризации v в точке не _x0 чисто мнимым. Периодическая орбита потока называется гиперболической, если ни одно из собственных значений отображения возврата Пуанкаре в точке орбиты не имеет абсолютного значения, равного единице.

Наконец, под седловой связностью понимается ситуация, когда орбита из одной седловой точки входит в ту же или другую седловую точку, т. е. неустойчивая и устойчивая сепаратрисы связаны (ср. гомоклиническая орбита и гетероклиническая орбита ).

См. также

Теорема Пейшото

Ссылки

Андронов Александр Александрович ; Лев Сергеевич Понтрягин (1937). «Грубые системы» [Грубые системы]. Доклады Академии наук СССР . 14 (5): 247–250. Цитируется по Кузнецову (2004) .
Кузнецов, Юрий А. (2004). Элементы прикладной теории бифуркаций . Спрингер. ISBN 978-0-387-21906-6 . . См. теорему 2.5.