Точка равновесия (математика)

«Точка равновесия» перенаправляется сюда. Не путать с Точкой равновесия (механика) .

Диаграмма устойчивости, классифицирующая карты Пуанкаре линейной автономной системы $x'=Ax,$ как стабильные или нестабильные в зависимости от их особенностей. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. Некоторые сток, источник или узел являются точками равновесия.

В математике , особенно в дифференциальных уравнениях , точка равновесия — это постоянное решение дифференциального уравнения.

Формальное определение

Суть ${\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ является точкой равновесия для дифференциального уравнения

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )$

если $\mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0}$ для всех $t$.

Аналогично, точка ${\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ — точка равновесия (или неподвижная точка ) для разностного уравнения

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

если $\mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}$ для $k=0,1,2,\ldots$.

Равновесия можно классифицировать, глядя на знаки собственных значений линеаризации уравнений равновесия. Другими словами, оценивая матрицу Якоби в каждой из точек равновесия системы, а затем находя полученные собственные значения, можно классифицировать равновесия. Тогда поведение системы в окрестности каждой точки равновесия можно определить качественно (или в некоторых случаях даже определить количественно), найдя собственный вектор(ы), связанный с каждым собственным значением.

Точка равновесия называется гиперболической , если ни одно из собственных значений не имеет нулевой вещественной части. Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, точка устойчива . Если хотя бы одна имеет положительную действительную часть, точка неустойчива . Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является седловой точкой и неустойчиво. Если все собственные значения вещественны и имеют одинаковый знак, то точка называется узлом .

См. также

• Автономное уравнение
• Критическая точка
• Устойчивое состояние

Дальнейшее чтение

• Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-470-45831-0 .
• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (3-е изд.). Спрингер. стр. 102–104. ISBN  1-4613-0003-7 .