Гиперболическая точка равновесия

При изучении динамических систем гиперболическая точка равновесия или гиперболическая неподвижная точка — это неподвижная точка , не имеющая каких-либо центральных многообразий . Вблизи гиперболической точки орбиты двумерной недиссипативной системы напоминают гиперболы. Это не соблюдается в целом. Строгац отмечает, что «гиперболика — неудачное название — оно звучит так, как будто оно должно означать « седловая точка », — но оно стало стандартом». ^[1] В окрестности гиперболической точки сохраняются несколько свойств, в частности ^[2]

Существуют устойчивое многообразие и неустойчивое многообразие.
Происходит затенение ,
Динамика инвариантного множества может быть представлена через символическую динамику :
Естественную меру можно определить,
Система структурно устойчива .

Карты

Если $T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ это буква С ¹ map и p — фиксированная точка , то p называется гиперболической неподвижной точкой, когда матрица Якобиана $\operatorname {D} T(p)$ не имеет собственных значений на комплексной единичной окружности.

Одним из примеров карты , единственная фиксированная точка которой является гиперболической, является карта кошки Арнольда :

{\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}

Поскольку собственные значения определяются выражениями

\lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}

\lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}

Мы знаем, что показатели Ляпунова:

\lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1

\lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1

Следовательно, это седловая точка.

Потоки

Позволять $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ быть C ¹ векторное поле с критической точкой p , т. е. ( p ) = 0, и пусть J обозначает матрицу Якоби F F в точке p . Если матрица J не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью, то p называется гиперболической . Гиперболические неподвижные точки также можно назвать гиперболическими критическими точками или элементарными критическими точками . ^[3]

Теорема Хартмана–Гробмана утверждает, что структура орбиты динамической системы в окрестности гиперболической точки равновесия топологически эквивалентна структуре орбиты линеаризованной динамической системы.

Пример

Рассмотрим нелинейную систему

{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt]{\frac {dy}{dt}}&=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}

(0, 0) — единственная точка равновесия. Матрица Якоби линеаризации в точке равновесия равна

J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].

Собственные значения этой матрицы равны ${\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}$ . Для всех значений α ≠ 0 собственные значения имеют ненулевую действительную часть. Таким образом, эта точка равновесия является гиперболической точкой равновесия. Линеаризованная система будет вести себя аналогично нелинейной системе вблизи (0, 0). Когда α = 0, система имеет негиперболическое равновесие в точке (0, 0).

См. также

Примечания

^ Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос . Вествью Пресс. ISBN 0-7382-0453-6 .
^ Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43799-7 .
^ Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Чтение Массы: Бенджамин/Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х .

Ссылки

Евгений Михайлович Ижикевич (ред.). «Равновесие» . Схоларпедия .

[1] Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос . Вествью Пресс. ISBN 0-7382-0453-6 .

[2] Отт, Эдвард (1994). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43799-7 .

[3] Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Чтение Массы: Бенджамин/Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х .

[1]

[2]

[3]