Лемма о затенении

В теории динамических систем лемма об отслеживании — лемма, описывающая поведение псевдоорбит вблизи гиперболического инвариантного множества . Неформально теория утверждает, что каждая псевдоорбита (которую можно рассматривать как численно рассчитанную траекторию с ошибками округления на каждом шаге) ^[1]) остается равномерно близким к некоторой истинной траектории (со слегка измененным начальным положением) — другими словами, псевдотраектория «затеняется» истинной. ^[2] Это говорит о том, что численным решениям можно доверять для представления орбит динамической системы. Однако следует проявлять осторожность, поскольку некоторые траектории затенения не всегда могут быть физически реализуемы. ^[3]

Официальное заявление

Учитывая отображение f : X → X метрического пространства ( X , d ) в себя, определите ε-псевдоорбиту (или ε-орбиту ) как последовательность $(x_{n})$ точек таких, что $x_{n+1}$ принадлежит ε-окрестности точки $f(x_{n})$ .

Тогда вблизи гиперболического инвариантного множества справедливо следующее утверждение: ^[4] Пусть Λ — гиперболическое инвариантное множество диффеоморфизма f. Существует окрестность U точки Λ, обладающая следующим свойством: для любого δ > 0 существует ε > 0, такое что любая (конечная или бесконечная) ε-псевдоорбита, остающаяся в U, также остается в δ-окрестности некоторой истинной орбита.

\forall (x_{n}),\,x_{n}\in U,\,d(x_{n+1},f(x_{n}))<\varepsilon \quad \exists (y_{n}),\,\,y_{n+1}=f(y_{n}),\quad {\text{such that}}\,\,\forall n\,\,x_{n}\in U_{\delta }(y_{n}).

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема тени» . Математический мир .
^ Хаммель, Стефан М; Йорк, Джеймс А; Гребоги, Селсо (1988). «Численные орбиты хаотических процессов представляют собой истинные орбиты» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 19 (2): 465–469. дои : 10.1090/S0273-0979-1988-15701-1 .
^ Чандрамурти, Ниша; Ван, Цици (2021). «О вероятности нахождения нефизических решений путем слежения» . Журнал вычислительной физики . 440 : 110389. arXiv : 2010.13768 . Бибкод : 2021JCoPh.44010389C . дои : 10.1016/j.jcp.2021.110389 . S2CID 225075706 .
^ Каток, А.; Хассельблатт, Б. (1995). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Теорема 18.1.2. ISBN 0-521-34187-6 .

Внешние ссылки

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Теорема тени» . Математический мир .

[2] Хаммель, Стефан М; Йорк, Джеймс А; Гребоги, Селсо (1988). «Численные орбиты хаотических процессов представляют собой истинные орбиты» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 19 (2): 465–469. дои : 10.1090/S0273-0979-1988-15701-1 .

[3] Чандрамурти, Ниша; Ван, Цици (2021). «О вероятности нахождения нефизических решений путем слежения» . Журнал вычислительной физики . 440 : 110389. arXiv : 2010.13768 . Бибкод : 2021JCoPh.44010389C . дои : 10.1016/j.jcp.2021.110389 . S2CID 225075706 .

[4] Каток, А.; Хассельблатт, Б. (1995). Введение в современную теорию динамических систем . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Теорема 18.1.2. ISBN 0-521-34187-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]