Гиперболический набор

В теории динамических систем говорят , что подмножество Λ гладкого многообразия M имеет гиперболическую структуру относительно гладкого отображения f, если его касательное расслоение можно разбить на два инвариантных подрасслоения , одно из которых сжимается, а другое расширяется при f относительно некоторой метрики на M. римановой Аналогичное определение применимо и к случаю потоков .

В частном случае, когда все многообразие M гиперболично, отображение f называется диффеоморфизмом Аносова . Динамика f на гиперболическом множестве, или гиперболическая динамика , демонстрирует черты локальной структурной устойчивости и хорошо изучена, ср. Аксиома А.

Определение

Пусть M — компактное гладкое , f : M → M диффеоморфизм — и Df : TM → TM дифференциал — f . многообразие -инвариантное подмножество F Λ в M называется гиперболическим или имеет гиперболическую структуру , если ограничение на Λ касательного расслоения к M допускает расщепление в сумму Уитни двух Df -инвариантных подрасслоений, называемых стабильным расслоением. и нестабильное расслоение и обозначили E ^с и Е ^в . По отношению к некоторой римановой метрике на M ограничение Df на E ^с должно быть сокращение и ограничение Df до E ^в должно быть расширение. Таким образом, существуют константы 0< λ <1 и c >0 такие, что

$T_{\Lambda }M=E^{s}\oplus E^{u}$

и

$(Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}$ и $(Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}$ для всех $x\in \Lambda$

и

$\|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|$ для всех $v\in E^{s}$ и $n>0$

и

$\|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|$ для всех $v\in E^{u}$ и $n>0$.

Если Л гиперболическая, то существует риманова метрика, для которой с = 1 — такая метрика называется адаптированной .

Примеры

• Гиперболическая точка равновесия p — это фиксированная точка или точка равновесия функции f , такая, что ( Df ) _p не имеет собственного значения с абсолютным значением 1. В этом случае Λ = { p }.
• В более общем смысле, периодическая орбита f Df с периодом n является гиперболической тогда и только тогда, когда ^н в любой точке орбиты не имеет собственного значения с абсолютным значением 1, и достаточно проверить это условие в одной точке орбиты.

Ссылки

• Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Чтение Массы: Бенджамин/Каммингс. ISBN  0-8053-0102-Х .
• Брин, Майкл; Застрял, Гаррет (2002). Введение в динамические системы . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80841-3 .

Эта статья включает в себя материал из Hyperbolic Set на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .