Центральный коллектор

В математике развивающихся систем концепция центрального многообразия изначально была разработана для определения устойчивости вырожденных состояний равновесия. Впоследствии концепция центральных многообразий стала фундаментальной для математического моделирования .

Центральные многообразия играют важную роль в теории бифуркаций , поскольку интересное поведение имеет место в центральном многообразии, а также в многомасштабной математике , поскольку долговременная динамика микромасштаба часто привлекается к относительно простому центральному многообразию, включающему переменные грубого масштаба.

Неофициальное описание [ править ]

Кольца Сатурна отражают большую часть геометрии центра многообразия. Частицы пыли в кольцах подвержены приливным силам , которые действуют, как правило, «сжимая и растягивая». Силы сжимают орбиты частиц в кольца, растягивают частицы вдоль колец и игнорируют небольшие сдвиги радиуса колец. Направление сжатия определяет стабильное многообразие , направление растяжения определяет нестабильное многообразие , а нейтральное направление — центральное многообразие.

Несмотря на геометрическую точность, одно важное отличие отличает кольца Сатурна от многообразия с физическим центром. Как и большинство динамических систем, частицы в кольцах подчиняются законам второго порядка . Понимание траекторий требует моделирования положения и переменной скорости/импульса, чтобы создать структуру касательного многообразия, называемую фазовым пространством . С физической точки зрения стабильное, нестабильное и нейтральное многообразия кольцевой системы Сатурна не разделяют координатное пространство положения частицы; Вместо этого они аналогичным образом делят фазовое пространство.

Центральное многообразие обычно ведет себя как расширенный набор седловых точек . Некоторые пары положение-скорость направляются к центральному многообразию, а другие отбрасываются от него. Небольшие возмущения, которые обычно беспорядочно толкают их и часто выталкивают из центрального многообразия. Однако существуют драматические контрпримеры нестабильности в центральном многообразии, называемые лагранжевыми когерентными структурами . Вся непринудительная динамика твердого тела шара представляет собой центральное многообразие. ^[1]

Гораздо более сложный пример — поток Аносова на касательных расслоениях римановых поверхностей. В этом случае касательное пространство очень явно и точно разбивается на три части: неустойчивое и стабильное расслоения, между которыми вклинивается нейтральное многообразие.

Определение [ править ]

Случайно выбранные точки двумерного фазового пространства экспоненциально сходятся к одномерному центральному многообразию, на котором динамика медленная (неэкспоненциальная). Изучение динамики центрального многообразия определяет устойчивость негиперболической неподвижной точки в начале координат.

Центральное многообразие основано динамической системы на точке равновесия этой системы. Центральное многообразие равновесия тогда состоит из тех близлежащих орбит , которые не затухают и не растут экспоненциально быстро.

С математической точки зрения первым шагом при изучении точек равновесия динамических систем является линеаризация системы, а затем вычисление ее собственных значений и собственных векторов . Собственные векторы (и обобщенные собственные векторы, если они встречаются), соответствующие собственным значениям с отрицательной вещественной частью, образуют основу стабильного собственного пространства . (Обобщенные) собственные векторы, соответствующие собственным значениям с положительной вещественной частью, образуют неустойчивое собственное пространство.

Алгебраически, пусть ${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx ({\mathcal {D}}\mathbf {f} )(\mathbf {x} ^{*})\mathbf {x}$ быть динамической системой , линеаризованной относительно точки равновесия $x *$ . Матрица Якобиана $(D f)(x *)$ определяет три основных подпространства:

центральное подпространство, натянутое обобщенными собственными векторами, собственные значения которых $\lambda$ удовлетворить $\operatorname {Re} \lambda =0$ (в более общем смысле, ^[2] $|\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha$ );
стабильное подпространство, натянутое обобщенными собственными векторами, собственные значения которых $\lambda$ удовлетворить $\operatorname {Re} \lambda <0$ (в более общем смысле, $\operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha$ );
нестабильное подпространство, натянутое обобщенными собственными векторами, собственные значения которых $\lambda$ удовлетворить $\operatorname {Re} \lambda >0$ (в более общем смысле, $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ ).

В зависимости от применения могут представлять интерес другие инвариантные подпространства линеаризованного уравнения, включая стабильные по центру, неустойчивые по центру, субцентральные, медленные и быстрые подпространства.

Если точка равновесия гиперболическая (т. е. все собственные значения линеаризации имеют ненулевую действительную часть), то теорема Хартмана-Гробмана гарантирует, что эти собственные значения и собственные векторы полностью характеризуют динамику системы вблизи состояния равновесия. Однако если равновесие имеет собственные значения, действительная часть которых равна нулю, то соответствующие (обобщенные) собственные векторы образуют центральное собственное пространство . Выходя за рамки линеаризации, когда мы учитываем возмущения, вызванные нелинейностью или воздействием в динамической системе, центральное собственное пространство деформируется в близлежащее центральное многообразие. ^[3]

Если собственные значения равны нулю (как для шара), а не просто равна нулю действительная часть, то соответствующее собственное пространство, более конкретно, приводит к медленному многообразию . Поведение на центральном (медленном) многообразии обычно не определяется линеаризацией и поэтому его может быть сложно построить.

Аналогично, нелинейность или воздействие в системе возмущают стабильные и нестабильные собственные пространства в соседнем стабильном многообразии и соседнем нестабильном многообразии . ^[4]Эти три типа многообразий представляют собой три случая инвариантного многообразия .

Нелинейная система, соответствующая линеаризованной системе, имеет инвариантные многообразия , каждое из которых состоит из наборов орбит нелинейной системы. ^[5]

Инвариантное многообразие, касающееся стабильного подпространства и имеющей ту же размерность, является стабильным многообразием .
Неустойчивое многообразие имеет ту же размерность и касается неустойчивого подпространства.
Центральное многообразие имеет ту же размерность и касается центрального подпространства. Если, как обычно, все собственные значения центрального подпространства равны нулю, а не просто нулевой вещественной части, то центральное многообразие часто называют медленным многообразием .

центральном многообразии о Теоремы

Теорема существования центрального многообразия утверждает, что если правая функция ${\textbf {f}}({\textbf {x}})$ является $C^{r}$ ( $r$ раз непрерывно дифференцируемы), то в каждой точке равновесия существует окрестность некоторого конечного размера, в которой существует хотя бы один из ^[6]

уникальный $C^{r}$ стабильный коллектор ,
уникальный $C^{r}$ нестабильное многообразие ,
и (не обязательно уникальный) $C^{r-1}$ центральный коллектор.

В примерах приложений нелинейное преобразование координат к нормальной форме может четко разделить эти три многообразия. ^[7]

В случае, когда неустойчивое многообразие не существует, центральные многообразия часто имеют отношение к моделированию. Теорема о возникновении центрального многообразия тогда гласит, что окрестность может быть выбрана так, чтобы все решения системы, находящиеся в ней, экспоненциально быстро стремились к некоторому решению. ${\textbf {y}}(t)$ на центральном коллекторе; в формулах, $\mathbf {x} (t)=\mathbf {y} (t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta t})\quad {\text{ as }}\quad t\to \infty$ для некоторой скорости $β$ . ^[8] Эта теорема утверждает, что для широкого спектра начальных условий решения полной системы экспоненциально быстро затухают до решения на центральном многообразии относительно низкой размерности.

Третья теорема, теорема аппроксимации, утверждает, что если приближенное выражение для таких инвариантных многообразий, скажем, ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ , удовлетворяет дифференциальному уравнению системы с невязками ${\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})$ как ${\textbf {s}}\to {\textbf {0}}$ , то инвариантное многообразие аппроксимируется формулой ${\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})$ к ошибке того же порядка, а именно ${\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})$ .

бесконечномерных или неавтономных Центральные многообразия систем

Однако для некоторых применений, например для диспергирования в трубках или каналах, требуется бесконечномерное центральное многообразие. ^[9]Наиболее общую и мощную теорию разработали Аульбах и Ваннер. ^[10]^[11]^[12] Они обратились к неавтономным динамическим системам. ${\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)$ в бесконечных измерениях, с потенциально бесконечномерными стабильными, неустойчивыми и центральными многообразиями. Кроме того, они с пользой обобщили определение многообразий, так что центральному многообразию соответствуют такие собственные значения, что $|\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha$ , устойчивое многообразие с собственными значениями $\operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha$ и неустойчивое многообразие с собственными значениями $\operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha$ . Они доказали существование этих многообразий и появление центрального многообразия посредством нелинейных преобразований координат.

Поцше и Расмуссен установили соответствующую аппроксимационную теорему для таких бесконечномерных неавтономных систем. ^[13]

обратная Альтернативная теория

Вся существующая теория, упомянутая выше, стремится установить свойства инвариантного многообразия конкретной заданной проблемы. В частности, строится многообразие, аппроксимирующее инвариантное многообразие данной системы. Альтернативный подход состоит в построении точных инвариантных многообразий для системы, аппроксимирующей данную систему, называемой обратной теорией. Цель состоит в том, чтобы с пользой применить теорию к более широкому кругу систем, а также оценить ошибки и размеры области применимости. ^[14]^[15]

Этот подход родственен хорошо известному обратному анализу ошибок в численном моделировании.

Центральное многообразие и анализ нелинейных систем [ править ]

Поскольку устойчивость равновесия коррелирует со «стабильностью» его многообразий, существование центрального многообразия поднимает вопрос о динамике центрального многообразия. Это анализируется с помощью редукции центрального многообразия , что в сочетании с некоторым параметром системы ц приводит к понятиям бифуркаций .

Примеры [ править ]

Статья в Википедии о медленных многообразиях дает больше примеров.

Простой пример [ править ]

Рассмотрим систему

{\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.

Нестабильное многообразие в начале координат — это ось y , а стабильное многообразие — это тривиальное множество {(0, 0)}. Любая орбита, не принадлежащая устойчивому многообразию, удовлетворяет уравнению вида $y=Ae^{-1/x}$ для некоторой действительной A. константы Отсюда следует, что для любого действительного A мы можем создать центральное многообразие, сложив кривую воедино. $y=Ae^{-1/x}$ для x > 0 с отрицательной осью x (включая начало координат). ^[16] Более того, все центральные многообразия обладают этой потенциальной неединственностью, хотя часто неединственность возникает только в нефизических комплексных значениях переменных.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием часто имеют Хопфа . бифуркации

Другой пример показывает, как центральное многообразие моделирует бифуркацию Хопфа , возникающую для параметра $a\approx 4$ в дифференциальном уравнении с запаздыванием ${dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}$ . Строго говоря, задержка делает это DE бесконечномерным.

К счастью, мы можем аппроксимировать такие задержки с помощью следующего трюка, который сохраняет размерность конечной.Определять $u_{1}(t)=x(t)$ и аппроксимируем переменную с задержкой, $x(t-1)\approx u_{3}(t)$ , используя посредников ${du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})$ и ${du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})$ .

Для параметра рядомкритический, $a=4+\alpha$ тогда дифференциальное уравнение с запаздыванием аппроксимируется системой

{\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].

По комплексной амплитуде $s(t)$ и его комплексно-сопряженный ${\bar {s}}(t)$ , центральное многообразие

{\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})

и эволюция на центральном многообразии равна

{\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})

Эта эволюция показывает, что происхождение линейно нестабильно для $\alpha >0\ (a>4)$ , но кубическая нелинейность затем стабилизирует близлежащие предельные циклы, как в классической бифуркации Хопфа .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Робертс, Эй Джей (1993). «Инвариантное многообразие деформаций балки. Часть 1: простой круглый стержень». Дж. Эласт . 30 :1–54. дои : 10.1007/BF00041769 . S2CID 123743932 .
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
^ Карр, Джек (1981). Приложения теории центрального многообразия . Прикладные математические науки. Том. 35. Шпрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-1-4612-5929-9 . ISBN 978-0-387-90577-8 .
^ Келли, А. (1967). «Устойчивые, центрально-стабильные, центральные, центрально-неустойчивые и неустойчивые многообразия» . Дж. Дифференциальные уравнения . 3 (4): 546–570. Бибкод : 1967JDE.....3..546K . дои : 10.1016/0022-0396(67)90016-2 .
^ Гукенхаймер и Холмс (1997) , раздел 3.2.
^ Гукенхаймер и Холмс (1997) , Теорема 3.2.1
^ Мердок, Джеймс (2003). Нормальные формы и развертки локальных динамических систем . Спрингер-Верлаг .
^ Иосс, Г.; Адельмейер, М. (1992). Темы теории бифуркаций . п. 7.
^ Робертс, Эй Джей (1988). «Применение теории центрального многообразия к эволюции систем, медленно меняющихся в пространстве» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . Б. 29 (4): 480–500. дои : 10.1017/S0334270000005968 .
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Аульбахе, Б.; Колониус, Ф. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам . Сингапур: World Scientific. стр. 45 –119. ISBN 9789810225483 .
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1999). «Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Лакшмикантаме, В.; Мартынюк А.А. (ред.). Успехи теории устойчивости в конце XX века . Гордон и Брич.
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
^ Поцше, К.; Расмуссен, М. (2006). «Тейлоровская аппроксимация интегральных многообразий». Журнал динамики и дифференциальных уравнений . 18 (2): 427–460. Бибкод : 2006JDDE...18..427P . дои : 10.1007/s10884-006-9011-8 . S2CID 59366945 .
^ Робертс, Эй Джей (2019). «Обратная теория поддерживает моделирование с помощью инвариантных многообразий для неавтономных динамических систем». arXiv : 1804.06998 [ math.DS ].
^ Хохс, Питер; Робертс, Эй Джей (2019). «Нормальные формы и инвариантные многообразия для нелинейных, неавтономных УЧП, рассматриваемых как ОДУ в бесконечных измерениях». Дж. Дифференциальные уравнения . 267 (12): 7263–7312. arXiv : 1906.04420 . Бибкод : 2019JDE...267.7263H . дои : 10.1016/j.jde.2019.07.021 . S2CID 184487247 .
^ Чиконе 2010 , с. 344.

Дальнейшее чтение [ править ]

Джек Карр (ред.). «Центральный коллектор» . Схоларпедия .
Чиконе, Кармен (2010). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями . Тексты по прикладной математике (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-35794-2 .
Гукенхаймер, Джон; Холмс, Филип (1997), Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей , Прикладные математические науки, том. 42, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90819-9 , исправлено пятое издание .

Внешние ссылки [ править ]

Онлайн-веб-сервисы для извлечения центральных многообразий из указанной системы с помощью компьютерной алгебры:
- Простой сервис по созданию центральных коллекторов для автономных систем.
- Более сложный сервис для преобразования указанной системы ОДУ в нормальную форму.

[Roberts93-1] Робертс, Эй Джей (1993). «Инвариантное многообразие деформаций балки. Часть 1: простой круглый стержень». Дж. Эласт . 30 :1–54. дои : 10.1007/BF00041769 . S2CID 123743932 .

[2] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .

[Carr81-3] Карр, Джек (1981). Приложения теории центрального многообразия . Прикладные математические науки. Том. 35. Шпрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-1-4612-5929-9 . ISBN 978-0-387-90577-8 .

[Kelley67b-4] Келли, А. (1967). «Устойчивые, центрально-стабильные, центральные, центрально-неустойчивые и неустойчивые многообразия» . Дж. Дифференциальные уравнения . 3 (4): 546–570. Бибкод : 1967JDE.....3..546K . дои : 10.1016/0022-0396(67)90016-2 .

[5] Гукенхаймер и Холмс (1997) , раздел 3.2.

[6] Гукенхаймер и Холмс (1997) , Теорема 3.2.1

[7] Мердок, Джеймс (2003). Нормальные формы и развертки локальных динамических систем . Спрингер-Верлаг .

[8] Иосс, Г.; Адельмейер, М. (1992). Темы теории бифуркаций . п. 7.

[9] Робертс, Эй Джей (1988). «Применение теории центрального многообразия к эволюции систем, медленно меняющихся в пространстве» . Дж. Аустрал. Математика. Соц . Б. 29 (4): 480–500. дои : 10.1017/S0334270000005968 .

[10] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Аульбахе, Б.; Колониус, Ф. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам . Сингапур: World Scientific. стр. 45 –119. ISBN 9789810225483 .

[11] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1999). «Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Лакшмикантаме, В.; Мартынюк А.А. (ред.). Успехи теории устойчивости в конце XX века . Гордон и Брич.

[12] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .

[13] Поцше, К.; Расмуссен, М. (2006). «Тейлоровская аппроксимация интегральных многообразий». Журнал динамики и дифференциальных уравнений . 18 (2): 427–460. Бибкод : 2006JDDE...18..427P . дои : 10.1007/s10884-006-9011-8 . S2CID 59366945 .

[Roberts2018a-14] Робертс, Эй Джей (2019). «Обратная теория поддерживает моделирование с помощью инвариантных многообразий для неавтономных динамических систем». arXiv : 1804.06998 [ math.DS ].

[15] Хохс, Питер; Робертс, Эй Джей (2019). «Нормальные формы и инвариантные многообразия для нелинейных, неавтономных УЧП, рассматриваемых как ОДУ в бесконечных измерениях». Дж. Дифференциальные уравнения . 267 (12): 7263–7312. arXiv : 1906.04420 . Бибкод : 2019JDE...267.7263H . дои : 10.1016/j.jde.2019.07.021 . S2CID 184487247 .

[FOOTNOTEChicone2010344-16] Чиконе 2010 , с. 344.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]