Теорема Хартмана – Гробмана

В математике , при изучении динамических систем , теорема Хартмана-Гробмана или теорема линеаризации — это теорема о локальном поведении динамических систем в окрестности гиперболической точки равновесия . Он утверждает, что линеаризация — естественное упрощение системы — эффективна для прогнозирования качественных моделей поведения. Теорема обязана своим названием Филипу Хартману и Дэвиду М. Гробману .

Теорема утверждает, что поведение динамической системы в области вблизи гиперболической точки равновесия качественно такое же, как и поведение ее линеаризации вблизи этой точки равновесия, где гиперболичность означает, что ни одно собственное значение линеаризации не имеет вещественной части, равной нулю. Поэтому, имея дело с такими динамическими системами, можно использовать более простую линеаризацию системы для анализа ее поведения вокруг равновесий. ^[1]

Основная теорема

Рассмотрим систему, развивающуюся во времени с состоянием $u(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ которое удовлетворяет дифференциальному уравнению $du/dt=f(u)$ для какой-то гладкой карты $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ . Теперь предположим, что карта имеет гиперболическое состояние равновесия. $u^{*}\in \mathbb {R} ^{n}$ : то есть, $f(u^{*})=0$ и матрица Якобиана $A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]$ из $f$ в штате $u^{*}$ не имеет собственного значения с действительной частью, равной нулю. Тогда существует окрестность $N$ равновесия $u^{*}$ и гомеоморфизм $h:N\to \mathbb {R} ^{n}$ ,такой, что $h(u^{*})=0$ и такой, что в окрестностях $N$ поток $du/dt=f(u)$ непрерывным топологически сопряжено отображением $U=h(u)$ к потоку его линеаризации $dU/dt=AU$ . ^[2]^[3]^[4]^[5] Аналогичный результат справедлив для итерированных отображений, а также для неподвижных точек потоков или отображений на многообразиях.

Простое топологическое сопряжение не дает геометрической информации о поведении вблизи равновесия. Действительно, окрестности любых двух равновесий топологически сопряжены, если совпадают размеры сжимающихся направлений (отрицательные собственные значения) и размеры расширяющихся направлений (положительные собственные значения). ^[6] Но топологическая сопряженность в этом контексте дает полную геометрическую картину. По сути, нелинейный фазовый портрет вблизи состояния равновесия представляет собой миниатюру фазового портрета линеаризованной системы. В этом смысл следующих результатов о регулярности, и это иллюстрируется седловым равновесием в приведенном ниже примере.

Даже для бесконечно дифференцируемых отображений $f$ , гомеоморфизм $h$ не обязательно должна быть гладкой или даже локально липшицевой. Однако оно оказывается гельдеровским с показателем, сколь угодно близким к 1. ^[7]^[8]^[9]^[10] Более того, на поверхности, т. е. в размерности 2, линеаризующий гомеоморфизм и обратный ему непрерывно дифференцируемы (причем, как в примере ниже, дифференциал в состоянии равновесия является тождественным) ^[4] но это не обязательно $C^{2}$ . ^[11] И в любом измерении, если $f$ имеет гельдерову непрерывную производную, то линеаризующий гомеоморфизм дифференцируем в равновесии, а его дифференциал в равновесии тождественен. ^[12]^[13]

Теорема Хартмана–Гробмана распространена на бесконечномерные банаховые пространства, неавтономные системы. $du/dt=f(u,t)$ (потенциально стохастический) и учитывать топологические различия, возникающие при наличии собственных значений с нулевой или почти нулевой действительной частью. ^[10]^[8]^[14]^[15]^[16]^[17]

Пример

Алгебра, необходимая для этого примера, легко выполняется с помощью веб-сервиса, который вычисляет преобразования координат в нормальной форме систем дифференциальных уравнений, автономных или неавтономных, детерминированных или стохастических . ^[18]

Рассмотрим 2D-систему в переменных $u=(y,z)$ развивается согласно паре связанных дифференциальных уравнений

{\frac {dy}{dt}}=-3y+yz\quad {\text{and}}\quad {\frac {dz}{dt}}=z+y^{2}.

Непосредственным вычислением можно увидеть, что единственное равновесие этой системы находится в начале координат, т. е. $u^{*}=0$ . Координатное преобразование, $u=h^{-1}(U)$ где $U=(Y,Z)$ , заданный

{\begin{aligned}y&\approx Y+YZ+{\dfrac {1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\approx Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{aligned}}

представляет собой гладкую карту между исходным $u=(y,z)$ и новый $U=(Y,Z)$ координаты, по крайней мере, вблизи равновесия в начале координат. В новых координатах динамическая система переходит к своей линеаризации.

{\frac {dY}{dt}}=-3Y\quad {\text{and}}\quad {\frac {dZ}{dt}}=Z.

То есть искаженная версия линеаризации дает исходную динамику в некоторой конечной окрестности.

См. также

Ссылки

^ Эроусмит, ДК; Плейс, CM (1992). «Теорема линеаризации» . Динамические системы: дифференциальные уравнения, карты и хаотическое поведение . Лондон: Чепмен и Холл. стр. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7 .
^ Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 128 : 880–881.
^ Хартман, Филип (август 1960 г.). «Лемма теории структурной устойчивости дифференциальных уравнений» . Учеб. АМС . 11 (4): 610–620. дои : 10.2307/2034720 . JSTOR 2034720 .
^ Jump up to: ^а ^б Хартман, Филип (1960). «О локальных гомеоморфизмах евклидовых пространств». Бол. Соц. Математика. Мексикана . 5 : 220–241.
^ Чиконе, К. (2006). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями . Тексты по прикладной математике. Том. 34 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-30769-5 .
^ Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1995). Введение в современную теорию динамических систем . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. п. 262. ИСБН 0-521-34187-6 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Белицкий, Генрих; Райскин, Виктория (2011). «О теореме Гробмана–Хартмана в классе α-Гёльдера для банаховых пространств» (PDF) . Рабочий документ .
^ Jump up to: ^а ^б Баррейра, Луис; Вальс, Клаудия (2007). «Линеаризация Гельдера-Гробмана-Хартмана» . Дискретные и непрерывные динамические системы. Серия А. 18 (1): 187–197. дои : 10.3934/dcds.2007.18.187 .
^ Чжан, Вэньмэн; Чжан, Вейниан (2016). «α-Гельдерова линеаризация гиперболических диффеоморфизмов с резонансом» . Эргодическая теория и динамические системы . 36 (1): 310–334. дои : 10.1017/etds.2014.51 .
^ Jump up to: ^а ^б Ньюхаус, Шелдон Э. (2017). «О дифференцируемой теореме линеаризации Филипа Хартмана» . Созерцание Математика . 692 : 209–262. дои : 10.1090/conm/692 .
^ Штернберг, Шломо (1957). «Локальные сокращения и теорема Пуанкаре» . Американский журнал математики . 79 : 809–824. дои : 10.2307/2372437 .
^ Гуйсинский, Миша; Хассельблатт, Борис; Райскин, Виктория (2003). «Дифференцируемость линеаризации Хартмана-Гробмана» . Дискретные и непрерывные динамические системы. Серия А. 9 (4): 979–984. дои : 10.3934/dcds.2003.9.979 .
^ Лу, Кенинг; Чжан, Вейниан; Чжан, Вэньмэн (2017). «Дифференцируемость сопряжения в теореме Хартмана-Гробмана» . Труды Американского математического общества . 369 (7): 4995–5030. дои : 10.1090/tran/6810 .
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Аульбахе, Б.; Колониус, Ф. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам . Сингапур: World Scientific. стр. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3 .
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1999). «Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Лакшмикантаме, В.; Мартынюк А.А. (ред.). Достижения теории стабильности в конце ХХ века . Гордон и Брич. CiteSeerX 10.1.1.45.5229 . ISBN 978-0-415-26962-9 .
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
^ Робертс, Эй Джей (2008). «Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые моды в стохастических динамических системах». Физика А. 387 (1): 12–38. arXiv : math/0701623 . Бибкод : 2008PhyA..387...12R . дои : 10.1016/j.physa.2007.08.023 . S2CID 13521020 .
^ Робертс, Эй Джей (2007). «Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений» . Архивировано из оригинала 9 ноября 2013 года.

Дальнейшее чтение

Ирвин, Майкл С. (2001). «Линеаризация» . Гладкие динамические системы . Всемирная научная. стр. 109–142. ISBN 981-02-4599-8 .
Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 119–127. ISBN 0-387-95116-4 .
Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос . Бока-Ратон: CRC Press. стр. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1 .

Внешние ссылки

Коайла-Теран, Э.; Мохаммед, С.; Руффино, П. (февраль 2007 г.). «Теоремы Хартмана – Гробмана о гиперболических стационарных траекториях» . Дискретные и непрерывные динамические системы . 17 (2): 281–292. дои : 10.3934/dcds.2007.17.281 .
Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .
«Самая захватывающая теорема прикладной математики» . Научный американец .

[1] Эроусмит, ДК; Плейс, CM (1992). «Теорема линеаризации» . Динамические системы: дифференциальные уравнения, карты и хаотическое поведение . Лондон: Чепмен и Холл. стр. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7 .

[2] Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 128 : 880–881.

[3] Хартман, Филип (август 1960 г.). «Лемма теории структурной устойчивости дифференциальных уравнений» . Учеб. АМС . 11 (4): 610–620. дои : 10.2307/2034720 . JSTOR 2034720 .

[HartmanC1-4] Jump up to: ^а ^б Хартман, Филип (1960). «О локальных гомеоморфизмах евклидовых пространств». Бол. Соц. Математика. Мексикана . 5 : 220–241.

[5] Чиконе, К. (2006). Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями . Тексты по прикладной математике. Том. 34 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-30769-5 .

[6] Каток, Анатоль; Хассельблатт, Борис (1995). Введение в современную теорию динамических систем . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. п. 262. ИСБН 0-521-34187-6 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[7] Белицкий, Генрих; Райскин, Виктория (2011). «О теореме Гробмана–Хартмана в классе α-Гёльдера для банаховых пространств» (PDF) . Рабочий документ .

[BarreiraValls-8] Jump up to: ^а ^б Баррейра, Луис; Вальс, Клаудия (2007). «Линеаризация Гельдера-Гробмана-Хартмана» . Дискретные и непрерывные динамические системы. Серия А. 18 (1): 187–197. дои : 10.3934/dcds.2007.18.187 .

[9] Чжан, Вэньмэн; Чжан, Вейниан (2016). «α-Гельдерова линеаризация гиперболических диффеоморфизмов с резонансом» . Эргодическая теория и динамические системы . 36 (1): 310–334. дои : 10.1017/etds.2014.51 .

[Newhouse-10] Jump up to: ^а ^б Ньюхаус, Шелдон Э. (2017). «О дифференцируемой теореме линеаризации Филипа Хартмана» . Созерцание Математика . 692 : 209–262. дои : 10.1090/conm/692 .

[11] Штернберг, Шломо (1957). «Локальные сокращения и теорема Пуанкаре» . Американский журнал математики . 79 : 809–824. дои : 10.2307/2372437 .

[12] Гуйсинский, Миша; Хассельблатт, Борис; Райскин, Виктория (2003). «Дифференцируемость линеаризации Хартмана-Гробмана» . Дискретные и непрерывные динамические системы. Серия А. 9 (4): 979–984. дои : 10.3934/dcds.2003.9.979 .

[13] Лу, Кенинг; Чжан, Вейниан; Чжан, Вэньмэн (2017). «Дифференцируемость сопряжения в теореме Хартмана-Гробмана» . Труды Американского математического общества . 369 (7): 4995–5030. дои : 10.1090/tran/6810 .

[14] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1996). «Интегральные многообразия для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Аульбахе, Б.; Колониус, Ф. (ред.). Шесть лекций по динамическим системам . Сингапур: World Scientific. стр. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3 .

[15] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (1999). «Инвариантные слоения для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». В Лакшмикантаме, В.; Мартынюк А.А. (ред.). Достижения теории стабильности в конце ХХ века . Гордон и Брич. CiteSeerX 10.1.1.45.5229 . ISBN 978-0-415-26962-9 .

[16] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .

[17] Робертс, Эй Джей (2008). «Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые моды в стохастических динамических системах». Физика А. 387 (1): 12–38. arXiv : math/0701623 . Бибкод : 2008PhyA..387...12R . дои : 10.1016/j.physa.2007.08.023 . S2CID 13521020 .

[18] Робертс, Эй Джей (2007). «Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений» . Архивировано из оригинала 9 ноября 2013 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]