Линеаризация

Чтобы узнать о линеаризации частичного порядка, см. Линейное расширение . Информацию о линеаризации в параллельных вычислениях см. в разделе Линеаризуемость .

В математике линеаризация — это нахождение линейного приближения функции . в заданной точке Линейное приближение функции — это разложение Тейлора первого порядка вокруг интересующей точки. исследовании динамических систем линеаризация — метод оценки локальной устойчивости точки равновесия системы В нелинейных дифференциальных уравнений или дискретных динамических систем . Этот метод используется в таких областях, как техника , физика , экономика и экология .

Линеаризация функции

Линеаризацией функции являются линии — обычно линии, которые можно использовать для вычислений. Линеаризация - эффективный метод аппроксимации вывода функции. $y=f(x)$ в любом $x=a$ на основе значения и наклона функции при $x=b$, при условии $f(x)$ дифференцируема по $[a,b]$ (или $[b,a]$) и это $a$ близко к $b$. Короче говоря, линеаризация аппроксимирует выход функции вблизи $x=a$.

Например, ${\sqrt {4}}=2$. Однако что было бы хорошим приближением ${\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}$?

Для любой заданной функции $y=f(x)$, $f(x)$ может быть аппроксимирована, если она находится вблизи известной дифференцируемой точки. Самым основным требованием является то, что $L_{a}(a)=f(a)$, где $L_{a}(x)$ это линеаризация $f(x)$ в $x=a$. Форма точечного наклона уравнения образует уравнение прямой по данной точке. $(H,K)$ и наклон $M$. Общий вид этого уравнения: $y-K=M(x-H)$.

Используя точку $(a,f(a))$, $L_{a}(x)$ становится $y=f(a)+M(x-a)$. Поскольку дифференцируемые функции локально линейны , лучшим наклоном для подстановки будет наклон прямой, касательной к $f(x)$ в $x=a$.

Хотя концепция локальной линейности больше всего применима к точкам, сколь угодно близким к $x=a$, те относительно близкие относительно хорошо работают для линейных приближений. Склон $M$ наиболее точно должен быть наклон касательной в точке $x=a$.

Приближение f ( x ) = x ² в ( Икс , ж ( Икс ))

Визуально на прилагаемой диаграмме показана касательная линия $f(x)$ в $x$. В $f(x+h)$, где $h$ любое небольшое положительное или отрицательное значение, $f(x+h)$ очень близко к значению касательной в точке $(x+h,L(x+h))$.

Окончательное уравнение линеаризации функции при $x=a$ является:

$$y=(f(a)+f'(a)(x-a))$$

Для $x=a$, $f(a)=f(x)$. Производная от ​ $f(x)$ является $f'(x)$, и наклон $f(x)$ в $a$ является $f'(a)$.

Пример

Найти ${\sqrt {4.001}}$, мы можем использовать тот факт, что ${\sqrt {4}}=2$. Линеаризация $f(x)={\sqrt {x}}$ в $x=a$ является $y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)$, поскольку функция $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ определяет наклон функции $f(x)={\sqrt {x}}$ в $x$. Подстановка в $a=4$, линеаризация в точке 4 равна $y=2+{\frac {x-4}{4}}$. В этом случае $x=4.001$, так ${\sqrt {4.001}}$ примерно $2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$. Истинное значение близко к 2,00024998, поэтому аппроксимация линеаризации имеет относительную ошибку менее 1 миллионной процента.

Линеаризация функции многих переменных

Смотрите также: Ряд Тейлора § В нескольких переменных

Уравнение линеаризации функции $f(x,y)$ в какой-то момент $p(a,b)$ является:

$f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)$

Общее уравнение линеаризации функции многих переменных $f(\mathbf {x} )$ в какой-то момент $\mathbf {p}$ является:

$f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })$

где $\mathbf {x}$ вектор переменных, ${\nabla f}$ это градиент , и $\mathbf {p}$ представляет собой точку интереса линеаризации.

Использование линеаризации

Линеаризация позволяет использовать инструменты исследования линейных систем для анализа поведения нелинейной функции вблизи заданной точки. Линеаризация функции — это член первого порядка ее разложения Тейлора вокруг интересующей точки. Для системы, определяемой уравнением

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$,

линеаризованную систему можно записать как

${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$

где $\mathbf {x_{0}}$ является предметом интереса и $D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)$ это $\mathbf {x}$- Якобиан ​ $\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ оценивается в $\mathbf {x_{0}}$.

Анализ стабильности

При устойчивости анализе автономных систем можно использовать собственные значения матрицы Якоби, оцененные в точке гиперболического равновесия, чтобы определить природу этого равновесия. В этом состоит содержание теоремы линеаризации . Для нестационарных систем линеаризация требует дополнительного обоснования.

Микроэкономика

В микроэкономике правила принятия решений могут быть аппроксимированы в рамках подхода к линеаризации в пространстве состояний. При таком подходе уравнения Эйлера задачи максимизации полезности линеаризуются вокруг стационарного устойчивого состояния. Затем находится единственное решение полученной системы динамических уравнений.

Оптимизация

При математической оптимизации функции стоимости и нелинейные компоненты внутри них могут быть линеаризованы, чтобы применить линейный метод решения, такой как симплексный алгоритм . Оптимизированный результат достигается гораздо эффективнее и является детерминированным как глобальный оптимум .

Мультифизика

В мультифизических системах — системах, включающих множество физических полей, взаимодействующих друг с другом — может выполняться линеаризация по отношению к каждому из физических полей. Эта линеаризация системы относительно каждого из полей приводит к линеаризованной монолитной системе уравнений, которую можно решить с использованием монолитных итерационных процедур решения, таких как метод Ньютона-Рафсона . Примеры этого включают системы сканирования МРТ , в результате которых создается система электромагнитных, механических и акустических полей.

См. также

• Линейная стабильность
• Касательная матрица жесткости
• Производные стабильности
• Теорема о линеаризации
• Аппроксимация Тейлора
• Функциональное уравнение (L-функция)

Внешние ссылки

Учебники по линеаризации

• Линеаризация для анализа моделей и проектирования систем управления