Линейная стабильность

В математике, в теории дифференциальных уравнений и динамических систем , то или иное стационарное или квазистационарное решение нелинейной системы называется линейно неустойчивым, если линеаризация уравнения на этом решении имеет вид $dr/dt=Ar$, где r — возмущение установившегося состояния, A — линейный оператор которого , спектр содержит собственные значения с положительной вещественной частью. Если все собственные значения имеют отрицательную действительную часть, то решение называется линейно устойчивым . Другие названия линейной устойчивости включают экспоненциальную устойчивость или устойчивость в первом приближении . Если существует собственное значение с нулевой вещественной частью, то вопрос об устойчивости не может быть решен в первом приближении и мы приближаемся к так называемой «проблеме центра и фокуса».

Примеры

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение $${\frac {dx}{dt}}=x-x^{2}$$имеет два стационарных (не зависящих от времени) решения: x = 0 и x = 1.Линеаризация при x = 0 имеет вид ${\frac {dx}{dt}}=x$. Линеаризованный оператор — A ₀ = 1. Единственное собственное значение — это $\lambda =1$. Решения этого уравнения растут экспоненциально; стационарная точка x = 0 линейно неустойчива.

Чтобы получить линеаризацию при x = 1 , пишут ${\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}$, где р знак равно Икс - 1 . Тогда линеаризованное уравнение имеет вид ${\frac {dr}{dt}}=-r$; линеаризованный оператор равен A ₁ = −1 , единственное собственное значение — это $\lambda =-1$, следовательно, эта стационарная точка линейно устойчива.

Нелинейное уравнение Шредингера

Нелинейное уравнение Шрёдингера $$i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,$$ где u ( x , t ) ∈ C и k > 0 , имеет уединенные волновые решения вида $\phi (x)e^{-i\omega t}$. Для получения линеаризации на уединенной волне рассматривается решение в виде $u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}$. Линеаризованное уравнение на $r(x,t)$ дается $${\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},$$где $$A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},$$с $$L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega$$и $$L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega$$the differential operators .According to Vakhitov–Kolokolov stability criterion , когда k > 2 , спектр A имеет положительные точечные собственные значения, так что линеаризованное уравнение линейно (экспоненциально) неустойчиво; при 0 < k ≤ 2 спектр A чисто мнимый, так что соответствующие уединенные волны линейно устойчивы.

Следует отметить, что линейная стабильность не означает автоматически стабильность;в частности, при k = 2 уединенные волны неустойчивы. С другой стороны, при 0 < k < 2 уединенные волны не только линейно устойчивы, но и орбитально устойчивы .

См. также

• Асимптотическая устойчивость
• Линеаризация (анализ устойчивости)
• Ляпуновская устойчивость
• Орбитальная стабильность
• Теория стабильности
• Vakhitov–Kolokolov stability criterion