Задача максимизации полезности

Менее техническое введение см. в разделе Утилита .

Максимизация полезности была впервые разработана философами-утилитаристами Джереми Бентамом и Джоном Стюартом Миллем . В микроэкономике проблема максимизации полезности — это проблема, с которой сталкиваются потребители : «Как мне следует потратить свои деньги , чтобы максимизировать свою полезность ?» Это тип задачи оптимального решения . Он состоит в выборе того, сколько каждого доступного товара или услуги потреблять, принимая во внимание ограничение на общие расходы (доходы), цены на товары и их предпочтения .

Максимизация полезности является важной концепцией в теории потребителей, поскольку она показывает, как потребители решают распределять свой доход. Поскольку потребители рациональны , они стремятся извлечь для себя наибольшую выгоду. Однако из-за ограниченной рациональности и других предубеждений потребители иногда выбирают наборы, которые не обязательно максимизируют их полезность. Набор максимизации полезности потребителя также не установлен и может меняться с течением времени в зависимости от его индивидуальных предпочтений в отношении товаров, изменения цен и увеличения или уменьшения дохода.

Базовая настройка

Для максимизации полезности существует четыре основных этапа процесса определения потребительского спроса и нахождения пакета потребителей, максимизирующего полезность, с учетом цен, дохода и предпочтений.

1) Проверьте, выполняется ли закон Вальраса.2) «Отличная цена»3) бюджетное ограничение 4) Проверьте наличие негатива

1) Закон Вальраса

Закон Вальраса гласит, что если предпочтения потребителей полны, монотонны и транзитивны, то оптимальный спрос будет лежать на бюджетной линии .

Предпочтения потребителя

Для существования представления полезности предпочтения потребителя должны быть полными и транзитивными (необходимые условия).

Полный

Полнота предпочтений означает, что все наборы потребительского набора могут быть сопоставлены потребителем. Например, если у потребителя есть 3 пакета A, B и C, то;

А $\succcurlyeq$ Б, А $\succcurlyeq$ С, Б $\succcurlyeq$ А, Б $\succcurlyeq$С, С $\succcurlyeq$Б, С $\succcurlyeq$А, А $\succcurlyeq$А, Б $\succcurlyeq$Б, С $\succcurlyeq$C. Таким образом, у потребителя есть полные предпочтения, поскольку он может сравнивать каждый комплект.

Переходный

Транзитивность означает, что предпочтения индивидов одинаковы во всех наборах.

следовательно, если потребитель слабо предпочитает A по сравнению с B (A $\succcurlyeq$ Б) и Б $\succcurlyeq$С это означает, что А $\succcurlyeq$ C (A слабо предпочтительнее C)

Монотонный

Чтобы отношение предпочтений было монотонным, увеличение количества обоих товаров должно привести к строгому улучшению благосостояния потребителя (увеличению их полезности), а увеличение количества одного товара при неизменном количестве другого не должно ухудшать благосостояние потребителя (та же полезность).

Предпочтение $\succcurlyeq$ монотонно тогда и только тогда, когда;

1) $(x+\epsilon ,y)\succcurlyeq (x,y)$

2) $(x,y+\epsilon )\succcurlyeq (x,y)$

3) $(x+\epsilon ,y+\epsilon )\succ (x,y)$

где $\epsilon$ > 0

2) «Отличная цена»

«Отдача за вложенные деньги» — это основная концепция максимизации полезности, которая заключается в том, что потребитель желает получить наилучшее соотношение цены и качества. Если закон Вальраса выполнен, оптимальное решение потребителя находится в точке пересечения бюджетной линии и оптимальной кривой безразличия, это называется условием касания. Чтобы найти эту точку, продифференцируйте функцию полезности по x и y, чтобы найти предельную полезность, а затем разделите ее на соответствующие цены товаров.

$MU_{x}/p_{x}=MU_{y}/p_{y}$

Эту задачу можно решить, чтобы найти оптимальное количество товара x или товара y.

3) Бюджетное ограничение

Базовая установка бюджетного ограничения потребителя такова: $p_{x}x+p_{y}y\leq I$

Поскольку выполняется закон Вальраса: $p_{x}x+p_{y}y=I$

Затем сюда подставляется условие касания, чтобы найти оптимальное количество другого товара.

4) Проверить на негатив

Рисунок 1: Это показывает, где находится пакет, максимизирующий полезность, когда спрос на один товар отрицательный.

Отрицательность необходимо проверять, поскольку задача максимизации полезности может дать ответ, когда оптимальный спрос на товар отрицателен, что в действительности невозможно, поскольку это находится за пределами этой области. Если спрос на один товар отрицательный, оптимальным потребительским набором будет такой, при котором потребляется 0 единиц этого товара, а весь доход тратится на другой товар (угловое решение). На рисунке 1 показан пример, когда спрос на товар x отрицательный.

Техническое представление

Предположим, что потребительский набор или перечисление всех возможных потребительских наборов, которые можно было бы выбрать, если бы существовало бюджетное ограничение.

Установленный расход = $\mathbb {R} _{+}^{n}\ .$ (набор положительных действительных чисел, потребитель не может отдать предпочтение отрицательному количеству товаров).

$x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\ .$

Предположим также, что вектор цен ( p ) n товаров положителен,

Рисунок 2: Здесь показаны оптимальные количества товаров x и y, которые максимизируют полезность при бюджетном ограничении.

$p\in \mathbb {R} _{+}^{n}\ ,$

и что доход потребителя $I$; то набор всех доступных пакетов, бюджетный набор ,

$B(p,I)=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}|\mathbb {\Sigma } _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\leq I\}\ ,$

Потребитель хотел бы купить наиболее доступный пакет товаров.

Предполагается, что потребитель имеет порядковую функцию полезности , называемую u . Это функция с действительным знаком, где домен представляет собой набор всех наборов товаров, или

$u:\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}\ .$

Тогда оптимальный выбор потребителя $x(p,I)$ - это пакет, максимизирующий полезность всех пакетов в бюджетном наборе, если $x\in B(p,I)$ тогда функция оптимального спроса потребителей будет равна:

$x(p,I)=\{x\in B(p,I)|U(x)\geq U(y)\forall y\in B(p,I)\}$

Нахождение $x(p,I)$ Это задача максимизации полезности .

Если и непрерывно и ни один товар не бесплатен, то $x(p,I)$ существует, но оно не обязательно уникально. Если предпочтения потребителя полны, транзитивны и строго выпуклы, то спрос потребителя содержит единственный максимизатор для всех значений параметров цены и богатства. Если это удовлетворено, то $x(p,I)$ называется функцией спроса Маршалла . В противном случае, $x(p,I)$ является многозначным и называется соответствием спроса Маршалла .

Максимизация полезности идеальных дополнений

U = min {x, y}

Рисунок 3: Здесь показана задача максимизации полезности с минимальной функцией полезности.

Для минимальной функции с товарами, которые являются идеальными дополнениями , нельзя предпринять те же шаги, чтобы найти набор, максимизирующий полезность, поскольку это недифференцируемая функция. Поэтому необходимо использовать интуицию. Потребитель максимизирует свою полезность в точке излома самой высокой кривой безразличия, пересекающей бюджетную линию, где x = y. Это интуиция, поскольку потребитель рационален, и нет смысла потреблять больше одного товара, а не другого товара, поскольку его полезность принимается минимальной из двух (от этого он не получит никакой выгоды в полезности и будет тратить свою энергию впустую). доход). См. рисунок 3.

полезности

U = х + у

Для функции полезности с совершенными заменителями набор, максимизирующий полезность, можно найти путем дифференцирования или просто путем проверки. Предположим, потребитель считает прослушивание австралийских рок-групп AC/DC и Tame Impala идеальной заменой. Это означает, что они счастливы провести весь день, слушая только AC/DC, или только Tame Impala, или три четверти AC/DC и одну четверть Tame Impala, или любую комбинацию двух групп в любом количестве. Таким образом, оптимальный выбор потребителя полностью определяется относительными ценами на прослушивание двух исполнителей. Если посещение концерта Tame Impala обходится дешевле, чем посещение концерта AC/DC, потребитель выбирает посещение концерта Tame Impala, и наоборот. Если цены на два концерта одинаковы, потребитель совершенно безразличен и может подбросить монетку, чтобы принять решение. Чтобы увидеть это математически, продифференцируйте функцию полезности и обнаружите, что MRS постоянна – в этом технический смысл идеальных заменителей. В результате решение задачи ограниченной максимизации потребителя не будет (вообще) внутренним решением, и поэтому необходимо проверять уровень полезности в граничных случаях (тратить весь бюджет на товар x, тратить весь бюджет на товар x). y), чтобы увидеть, какое решение. Особым случаем является случай, когда (постоянная) MRS равна соотношению цен (например, оба товара имеют одинаковую цену и одинаковые коэффициенты в функции полезности). В этом случае любое сочетание двух товаров является решением потребительской проблемы.

Реакция на изменение цен

При данном уровне реального богатства для потребителей имеют значение только относительные цены, а не абсолютные цены. Если бы потребители реагировали на изменения номинальных цен и номинального богатства, даже если бы относительные цены и реальное богатство оставались неизменными, это был бы эффект, называемый денежной иллюзией . Математические условия первого порядка для максимума задачи потребителя гарантируют, что спрос на каждый товар однороден нулевой степени как по номинальным ценам, так и по номинальному богатству, поэтому денежной иллюзии не существует.

Когда цены на товары изменяются, оптимальное потребление этих товаров будет зависеть от эффектов замещения и дохода. Эффект замещения гласит, что если спрос на оба товара однороден, то когда цена одного товара снижается (при постоянной цене другого товара), потребитель будет потреблять больше этого товара и меньше другого, поскольку он становится относительно дешевле. То же самое происходит, если цена одного товара увеличивается, потребители будут покупать меньше этого товара и больше другого.

Эффект дохода возникает, когда изменение цен на товары вызывает изменение дохода. Если цена на один товар растет, то доход уменьшается (потребление того же самого набора обходится дороже, чем раньше), то же самое происходит, если цена на товар падает, доход увеличивается (потреблять тот же набор дешевле, поэтому они могут потреблять больше желаемой комбинации товаров).

Реакция на изменение доходов

Рисунок 5: Здесь показано, как меняется оптимальный набор потребителей при увеличении их доходов.

Если доходы потребителей увеличиваются, их бюджетная линия смещается наружу, и теперь у них есть больше дохода, который они могут потратить на товар x, товар y или оба товара, в зависимости от их предпочтений по каждому товару. если бы оба товара x и y были нормальными товарами, то потребление обоих товаров увеличилось бы, и оптимальный набор переместился бы из A в C (см. рисунок 5). Если бы x или y были товарами низшего качества , то спрос на них уменьшался бы по мере роста дохода (оптимальный набор находился бы в точке B или C).

Ограниченная рациональность

дополнительную информацию см.: Ограниченная рациональность.

На практике потребитель не всегда может выбрать оптимальный комплект. Например, это может потребовать слишком много размышлений или слишком много времени. Ограниченная рациональность — это теория, объясняющая такое поведение. Примерами альтернатив максимизации полезности из-за ограниченной рациональности являются; удовлетворение , исключение по аспектам и эвристика мысленного учета.

• Эвристика удовлетворения — это когда потребитель определяет уровень стремления и ищет вариант, удовлетворяющий этому, пока не найдет вариант, он сочтет этот вариант достаточно хорошим и перестанет искать.
• Исключение по аспектам — это определение уровня для каждого аспекта продукта, который они хотят, и исключение всех других вариантов, которые не соответствуют этому требованию, например, цена менее 100 долларов США, цвет и т. д., пока не останется только один продукт, который считается продуктом, который потребитель выберу.
• Эвристика ментального учета . В этой стратегии видно, что люди часто присваивают своим деньгам субъективную ценность в зависимости от своих предпочтений в отношении различных вещей. Человек будет разрабатывать мысленные счета для различных расходов, распределять свой бюджет по ним, а затем пытаться максимизировать их полезность в рамках каждого счета.

Связанные понятия

Связь между функцией полезности и спросом по Маршаллу в задаче максимизации полезности отражает связь между функцией расходов и спросом по Хикси в задаче минимизации расходов . При минимизации расходов задан уровень полезности, а также цены на товары, роль потребителя состоит в том, чтобы найти минимальный уровень расходов, необходимый для достижения этого уровня полезности.

Утилитарное правило социального выбора — это правило, которое гласит, что общество должно выбирать альтернативу, которая максимизирует сумму полезностей. В то время как максимизация полезности осуществляется отдельными людьми, максимизация суммы полезности осуществляется обществом.

См. также

• Максимизация благосостояния
• Максимизация прибыли
• Выбор моделирования
• Задача минимизации расходов
• Оптимальное решение
• Эффект замещения
• Функция полезности
• Закон спроса
• Предельная полезность

Внешние ссылки

• Анатомия функций полезности типа Кобба-Дугласа в 3D
• Правила максимизации полезности за счет обучения люмену
• Пример максимизации полезности
• Определение максимизации полезности с помощью Economics help
• Применение функции полезности от Investopedia
• Определение товаров-заменителей по Investopedia