Оптимальное решение

Оптимальное решение — это решение, которое приводит как минимум к такому же хорошему известному или ожидаемому результату, как и все другие доступные варианты решения. Это важное понятие в теории принятия решений . Чтобы сравнить различные результаты решений, полезности каждому из них обычно присваивается значение .

Если существует неопределенность относительно того, каким будет результат, но есть знание о распределении неопределенности, то согласно аксиомам фон Неймана-Моргенштерна оптимальное решение максимизирует ожидаемую полезность ( среднее значение полезности, взвешенное по вероятности по всем возможным результатам решения). ). эквивалентная задача минимизации ожидаемой величины потерь , где потеря равна ( –1 Иногда рассматривается )-кратной полезности. Другая аналогичная проблема – минимизация ожидаемого сожаления .

«Полезность» — это всего лишь произвольный термин для количественной оценки желательности конкретного результата решения, который не обязательно связан с «полезностью». Например, для кого-то вполне может быть оптимальным решением купить спортивный автомобиль, а не универсал, если результат по другому критерию (например, влияние на личный имидж) более желателен, даже с учетом более высокой стоимости и отсутствия универсальности спортивного автомобиля.

Проблема поиска оптимального решения является задачей математической оптимизации . На практике лишь немногие люди проверяют, являются ли их решения оптимальными, а вместо этого используют эвристику для принятия «достаточно хороших» решений, то есть они занимаются удовлетворением .

Более формальный подход может использоваться, когда решение достаточно важно, чтобы мотивировать время, необходимое для его анализа, или когда его слишком сложно решить с помощью более простых интуитивных подходов, таких как множество доступных вариантов решения и сложная взаимосвязь между решением и результатом. .

Формальное математическое описание [ править ]

Каждое решение $d$ в наборе $D$ доступных вариантов решения приведет к результату $o=f(d)$ . Все возможные исходы образуют множество $O$ . Назначение утилиты $U_{O}(o)$ для каждого результата мы можем определить полезность конкретного решения $d$ как

U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,

Затем мы можем определить оптимальное решение $d_{\mathrm {opt} }$ как тот, который максимизирует $U_{D}(d)$ :

d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,

Таким образом, решение проблемы можно разделить на три этапа:

прогнозирование результата $o$ для каждого решения $d;$
назначение утилиты $U_{O}(o)$ к каждому результату $o;$
найти решение $d$ это максимизирует $U_{D}(d).$

В условиях неопределенности результата [ править ]

В случае, когда невозможно с уверенностью предсказать, каким будет результат того или иного решения, необходим вероятностный подход. В самом общем виде это можно выразить следующим образом:

Учитывая решение $d$ , мы знаем распределение вероятностей возможных исходов, описываемое условной плотностью вероятности $p(o|d)$ . Учитывая $U_{D}(d)$ как случайная величина (при условии $d$ ), мы можем вычислить ожидаемую полезность решения $d$ как

{\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,

,

где интеграл берется по всему множеству $O$ (ДеГрут, стр. 121).

Оптимальное решение $d_{\mathrm {opt} }$ тогда тот, который максимизирует ${\text{E}}U_{D}(d)$ , как указано выше:

d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,

Примером может служить задача Монти Холла .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Моррис ДеГрут Оптимальные статистические решения . МакГроу-Хилл. Нью-Йорк. 1970. ISBN 0-07-016242-5 .
Джеймс О. Бергер Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ . Второе издание. 1980. Серия Springer по статистике. ISBN 0-387-96098-8 .