Тест Шапиро-Уилка

Тест Шапиро-Уилка — это тест на нормальность . Он был опубликован в 1965 году Сэмюэлем Сэнфордом Шапиро и Мартином Уилком . ^{[ 1 ]}

Теория

Тест Шапиро-Уилка проверяет нулевую гипотезу о том, что выборка x ₁ , ..., x _n принадлежит нормально распределенной популяции. Статистика теста

W={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}},

где

$x_{(i)}$ в круглых скобках заключен индекс индекса i — i -го статистика порядка , т. е. i -е наименьшее число в выборке (не путать с $x_{i}$ ).
${\overline {x}}=\left(x_{1}+\cdots +x_{n}\right)/n$ – выборочное среднее.

Коэффициенты $a_{i}$ даны: ^{[ 1 ]}

(a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\mathsf {T}}V^{-1} \over C},

где C — векторная норма : ^{[ 2 ]}

C=\|V^{-1}m\|=(m^{\mathsf {T}}V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}

и вектор m ,

m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\mathsf {T}}\,

состоит из ожидаемых значений порядковой статистики независимых и одинаково распределенных случайных величин, выбранных из стандартного нормального распределения; окончательно, $V$ — это ковариационная матрица этой статистики нормального порядка. ^{[ 3 ]}

Не существует названия для распространения $W$ . Значения отсечения для статистики рассчитываются посредством моделирования Монте-Карло. ^{[ 2 ]}

Интерпретация

Нулевая гипотеза этого теста состоит в том, что популяция распределена нормально. Таким образом, если p значение меньше выбранного альфа-уровня , то нулевая гипотеза отклоняется и имеется свидетельство того, что проверенные данные не имеют нормального распределения. С другой стороны, если значение p больше выбранного альфа-уровня, то нулевую гипотезу (о том, что данные получены из нормально распределенной совокупности) нельзя отвергнуть (например, для альфа-уровня 0,05 набор данных со значением p менее 0,05 отвергает нулевую гипотезу о том, что данные взяты из нормально распределенной совокупности. Следовательно, набор данных со значением p , превышающим значение альфа 0,05, не может отвергнуть нулевую гипотезу о том, что данные взяты из нормально распределенная популяция). ^{[ 4 ]}

Как и большинство тестов статистической значимости , если размер выборки достаточно велик, этот тест может обнаружить даже тривиальные отклонения от нулевой гипотезы (т. е., хотя некоторый статистически значимый эффект может иметь место , он может быть слишком мал, чтобы иметь какое-либо практическое значение); дополнительное исследование величины эффекта таким образом, обычно рекомендуется , например, в этом случае график Q-Q . ^{[ 5 ]}

Анализ мощности

Моделирование Монте-Карло показало, что Шапиро-Уилк имеет лучшую степень для заданной значимости , за ним следует Андерсон-Дарлинг при сравнении Шапиро-Уилка, Колмогорова-Смирнова и Лиллиефорса . ^{[ 6 ]}

Приближение

Ройстон предложил альтернативный метод расчета вектора коэффициентов, предоставив алгоритм расчета значений, который увеличил размер выборки с 50 до 2000. ^{[ 7 ]} Этот метод используется в нескольких пакетах программного обеспечения, включая GraphPad Prism , Stata, ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} СПСС и САС. ^{[ 10 ]} Рахман и Говидараджулу увеличили размер выборки до 5000 человек. ^{[ 11 ]}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Шапиро, СС; Уилк, МБ (1965). «Анализ дисперсионного теста на нормальность (полные выборки)». Биометрика . 52 (3–4): 591–611. дои : 10.1093/biomet/52.3-4.591 . JSTOR 2333709 . МР 0205384 . п. 593
^ Jump up to: ^а ^б Ричард М. Дадли (2015). «Тест Шапиро-Уилка и связанные с ним тесты на нормальность» (PDF) . Проверено 16 июня 2022 г.
^ Дэвис, CS; Стивенс, Массачусетс (1978). Ковариационная матрица статистики нормального порядка (PDF) (Технический отчет). Статистический факультет Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния. Технический отчет № 14 . Проверено 17 июня 2022 г.
^ «Как мне интерпретировать тест Шапиро-Уилка на нормальность?» . ДМП . 2004 . Проверено 24 марта 2012 г.
^ Филд, Энди (2009). Обнаружение статистики с помощью SPSS (3-е изд.). Лос-Анджелес [т.е. Таузенд-Оукс, Калифорния]: Публикации SAGE. п. 143. ИСБН 978-1-84787-906-6 .
^ Разали, Норнадия; Вау, Яп Би (2011). «Сравнение мощности тестов Шапиро-Уилка, Колмогорова-Смирнова, Лиллифорса и Андерсона-Дарлинга» . Журнал статистического моделирования и аналитики . 2 (1): 21–33 . Проверено 30 марта 2017 г.
^ Ройстон, Патрик (сентябрь 1992 г.). -критерия Шапиро – Уилка «Аппроксимация W на ненормальность». Статистика и вычисления . 2 (3): 117–119. дои : 10.1007/BF01891203 . S2CID 122446146 .
^ Ройстон, Патрик. «Тесты Шапиро-Уилка и Шапиро-Франсии». Технический бюллетень Stata, StataCorp LP . 1 (3).
^ Критерии Шапиро-Уилка и Шапиро-Франсии на нормальность
^ Пак, Хон Мён (2002–2008). «Одномерный анализ и тест на нормальность с использованием SAS, Stata и SPSS» . [рабочий документ] . Проверено 29 июля 2023 г.
^ Рахман и Говидараджулу (1997). «Модификация теста Шапиро и Уилка на нормальность». Журнал прикладной статистики . 24 (2): 219–236. дои : 10.1080/02664769723828 .

Внешние ссылки

[Shapiro–Wilk-1] Jump up to: ^а ^б Шапиро, СС; Уилк, МБ (1965). «Анализ дисперсионного теста на нормальность (полные выборки)». Биометрика . 52 (3–4): 591–611. дои : 10.1093/biomet/52.3-4.591 . JSTOR 2333709 . МР 0205384 . п. 593

[mit-2] Jump up to: ^а ^б Ричард М. Дадли (2015). «Тест Шапиро-Уилка и связанные с ним тесты на нормальность» (PDF) . Проверено 16 июня 2022 г.

[DavisStephens1978-3] Дэвис, CS; Стивенс, Массачусетс (1978). Ковариационная матрица статистики нормального порядка (PDF) (Технический отчет). Статистический факультет Стэнфордского университета, Стэнфорд, Калифорния. Технический отчет № 14 . Проверено 17 июня 2022 г.

[4] «Как мне интерпретировать тест Шапиро-Уилка на нормальность?» . ДМП . 2004 . Проверено 24 марта 2012 г.

[5] Филд, Энди (2009). Обнаружение статистики с помощью SPSS (3-е изд.). Лос-Анджелес [т.е. Таузенд-Оукс, Калифорния]: Публикации SAGE. п. 143. ИСБН 978-1-84787-906-6 .

[6] Разали, Норнадия; Вау, Яп Би (2011). «Сравнение мощности тестов Шапиро-Уилка, Колмогорова-Смирнова, Лиллифорса и Андерсона-Дарлинга» . Журнал статистического моделирования и аналитики . 2 (1): 21–33 . Проверено 30 марта 2017 г.

[7] Ройстон, Патрик (сентябрь 1992 г.). -критерия Шапиро – Уилка «Аппроксимация W на ненормальность». Статистика и вычисления . 2 (3): 117–119. дои : 10.1007/BF01891203 . S2CID 122446146 .

[8] Ройстон, Патрик. «Тесты Шапиро-Уилка и Шапиро-Франсии». Технический бюллетень Stata, StataCorp LP . 1 (3).

[9] Критерии Шапиро-Уилка и Шапиро-Франсии на нормальность

[10] Пак, Хон Мён (2002–2008). «Одномерный анализ и тест на нормальность с использованием SAS, Stata и SPSS» . [рабочий документ] . Проверено 29 июля 2023 г.

[11] Рахман и Говидараджулу (1997). «Модификация теста Шапиро и Уилка на нормальность». Журнал прикладной статистики . 24 (2): 219–236. дои : 10.1080/02664769723828 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]