тест Макнемара

Тест Макнемара — это статистический тест , используемый для парных номинальных данных . Он применяется к таблицам сопряженности 2 × 2 с дихотомическим признаком и с совпадающими парами субъектов, чтобы определить, равны ли крайние частоты строк и столбцов (то есть существует ли «предельная однородность »). Он назван в честь Куинна Макнемара , который представил его в 1947 году. Применением теста в генетике является тест на неравновесие передачи для обнаружения неравновесия по сцеплению .

Обычно используемыми параметрами для оценки диагностических тестов в медицинских науках являются чувствительность и специфичность . Чувствительность (или отзыв) — это способность теста правильно идентифицировать людей с заболеванием. Специфичность – это способность теста правильно идентифицировать людей, у которых нет заболевания.

Теперь предположим, что на одной и той же группе пациентов проводятся два теста. А также предположим, что эти тесты имеют одинаковую чувствительность и специфичность. В этой ситуации человек увлекается этими выводами и предполагает, что оба теста эквивалентны. Однако это может быть не так. Для этого нам необходимо изучить пациентов с заболеванием и пациентов без заболевания (с помощью эталонного теста). Нам также предстоит выяснить, в чем эти два теста расходятся друг с другом. Именно на этом основан тест Макнемара. Этот тест сравнивает чувствительность и специфичность двух диагностических тестов на одной и той же группе пациентов.

Определение

Тест применяется к таблице непредвиденных обстоятельств 2 × 2, в которой сведены результаты двух тестов на выборке из N субъектов следующим образом.

	Тест 2 положительный	Тест 2 отрицательный	Итого по строке
Тест 1 положительный	а	б	а + б
Тест 1 отрицательный	с	д	в + д
Итого по столбцу	а + с	б + д	Н

Нулевая гипотеза предельной однородности утверждает, что две предельные вероятности для каждого результата одинаковы, т.е. p _a + p _b = p _a + p _c и p _c + p _d = p _b + p _d .

Таким образом, нулевая и альтернативная гипотезы

${\begin{aligned}H_{0}&:~p_{b}=p_{c}\\H_{1}&:~p_{b}\neq p_{c}\end{aligned}}$

Здесь p _a и т. д. обозначают теоретическую вероятность появления в ячейках с соответствующей меткой.

Макнемара Статистика теста :

$\chi ^{2}={(b-c)^{2} \over b+c}.$

При нулевой гипотезе при достаточно большом числе дискордантов (ячейки b и c) $\chi ^{2}$ имеет распределение хи-квадрат с 1 степенью свободы . Если $\chi ^{2}$ Результат значителен , это дает достаточные доказательства, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы, что p _b ≠ p _c , что будет означать, что предельные пропорции значительно отличаются друг от друга.

Вариации

Если либо b, либо c малы ( b + c < 25), то $\chi ^{2}$ не очень хорошо аппроксимируется распределением хи-квадрат. Затем можно использовать точный биномиальный тест, где b сравнивается с биномиальным распределением с параметром размера n = b + c и p = 0,5. По сути, точный биномиальный тест оценивает дисбаланс дискордантов b и c . Чтобы получить двустороннее значение P, значение P крайнего хвоста следует умножить на 2. Для b ≥ c :

${\text{exact-P-value}}=2\sum _{i=b}^{n}{n \choose i}0.5^{i}(1-0.5)^{n-i},$

что просто в два раза превышает кумулятивную функцию распределения биномиального распределения с p = 0,5 и n = b + c .

Эдвардс предложил следующую версию теста Макнемара с поправкой на непрерывность для аппроксимации биномиального точного значения P:

$\chi ^{2}={(|b-c|-1)^{2} \over b+c}.$

Тест Макнемара Mid-P (биномиальный тест Mid-P) рассчитывается путем вычитания половины вероятности наблюдаемого b из точного значения. одностороннее значение P, затем удвойте его, чтобы получить двустороннее среднее значение P:

${\text{mid-p-value}}=2\left(\sum _{i=b}^{n}{n \choose i}0.5^{i}(1-0.5)^{n-i}-0.5{n \choose b}0.5^{b}(1-0.5)^{n-b}\right)$

Это эквивалентно:

${\text{mid-p-value}}={\text{exact-p-value}}-{n \choose b}0.5^{b}(1-0.5)^{n-b}$

где второй член — это функция массы вероятности биномиального распределения , а n = b + c . Функции биномиального распределения легко доступны в обычных пакетах программного обеспечения, и можно легко рассчитать средний P-критерий Макнемара.

Традиционный совет заключался в использовании точного биномиального теста, когда b + c < 25. Однако моделирование показало, что как точный биномиальный тест, так и тест Макнемара с коррекцией непрерывности являются чрезмерно консервативными. Когда b + c < 6, точное значение P всегда превышает общий уровень значимости 0,05. Первоначальный тест Макнемара был самым мощным, но зачастую несколько либеральным. Версия среднего P была почти такой же мощной, как асимптотический тест Макнемара, и не превышала номинальный уровень значимости.

Примеры

В первом примере исследователь пытается определить, оказывает ли лекарство влияние на конкретное заболевание. Всего 314 пациентов, и диагнозы у них установлены (заболевание: есть или отсутствует ) до и после применения препарата, то есть каждый образец можно описать с помощью 1 из 4 комбинаций. Число лиц приведено в таблице, причем диагноз (заболевание: присутствует или отсутствует ) до лечения указан в строках, а диагноз после лечения - в столбцах. Тест требует, чтобы одни и те же испытуемые были включены в измерения «до» и «после» (совпадающие пары).

	После: настоящее время	После: отсутствует	Итого по строке
До: настоящее время	101	121	222
До: отсутствует	59	33	92
Итого по столбцу	160	154	314

В этом примере нулевая гипотеза «предельной однородности» будет означать отсутствие эффекта от лечения. Из приведенных выше данных статистика теста Макнемара:

$\chi ^{2}={(121-59)^{2} \over {121+59}}$

имеет значение 21,35, что крайне маловероятно для формирования распределения, подразумеваемого нулевой гипотезой ( p <0,001). Таким образом, тест предоставляет убедительные доказательства, позволяющие отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии эффекта лечения.

Второй пример иллюстрирует различия между асимптотическим тестом Макнемара и альтернативами. Таблица данных отформатирована, как и раньше, с разными числами в ячейках:

	После: настоящее время	После: отсутствует	Итого по строке
До: настоящее время	59	6	65
До: отсутствует	16	80	96
Итого по столбцу	75	86	161

Учитывая эти данные, размер выборки (161 пациент) немаленький, однако результаты теста Макнемара и других версий различаются. Точный биномиальный тест дает p = 0,053, а тест Макнемара с поправкой на непрерывность дает $\chi ^{2}$ = 3,68 и р = 0,055. Асимптотический тест Макнемара дает $\chi ^{2}$ = 4,55 и p = 0,033, а тест Макнемара со средним P дает p = 0,035. И тест Макнемара, и версия со средним P предоставляют более убедительные доказательства статистически значимого эффекта лечения во втором примере.

Обсуждение

Интересное наблюдение при интерпретации теста Макнемара заключается в том, что элементы главной диагонали не влияют на решение о том, является ли (в приведенном выше примере) состояние до или после лечения более благоприятным. Таким образом, сумма b + c может быть небольшой, а статистическая мощность описанных выше тестов может быть низкой, даже если количество пар a + b + c + d велико (см. второй пример выше).

Расширение теста Макнемара существует в ситуациях, когда между парами не обязательно сохраняется независимость; вместо этого существуют кластеры парных данных, в которых пары в кластере могут не быть независимыми, но независимость сохраняется между различными кластерами. Примером может служить анализ эффективности стоматологической процедуры; в этом случае пара соответствует лечению отдельного зуба у пациентов, которым возможно лечение нескольких зубов; эффективность лечения двух зубов у одного и того же пациента вряд ли будет независимой, но лечение двух зубов у разных пациентов, скорее всего, будет независимым.

Информация в парах

В 1970-х годах было высказано предположение, что сохранение миндалин может защитить от лимфомы Ходжкина . Джон Райс писал:

У 85 пациентов Ходжкина [...] были братья и сестры того же пола. кто был свободен от заболевания и чей возраст был в пределах 5 лет от пациента. Эти исследователи представили следующую таблицу:

${\begin{array}{c|c|c}\hline &{\text{Tonsillectomy}}&{\text{No tonsillectomy}}\\\hline {\text{Hodgkins}}&41&44\\\hline {\text{Control}}&33&52\end{array}}$

Они рассчитали статистику хи-квадрат [...] [они] допустили ошибку в своем анализе, проигнорировав пары. [...] [их] выборки не были независимыми, потому что братья и сестры были парными [...] мы создаем таблицу, в которой показаны пары:

${\begin{array}{cc}&{\text{Sibling}}\\{\text{Patient}}&{\begin{array}{c|c|c}\hline &{\text{No tonsillectomy}}&{\text{Tonsillectomy}}\\\hline {\text{No tonsillectomy}}&37&7\\\hline {\text{Tonsillectomy}}&15&26\end{array}}\end{array}}$

Именно ко второй таблице можно применить тест Макнемара. Обратите внимание, что сумма чисел во второй таблице равна 85 — количество пар братьев и сестер, тогда как сумма чисел в первой таблице вдвое больше, 170 — количество особей. Вторая таблица дает больше информации, чем первая. Числа в первой таблице можно найти, используя числа из второй таблицы, но не наоборот. Числа в первой таблице дают лишь предельные суммы чисел во второй таблице. Тест Макнемара позволяет сравнить 15 и 7 пары, в которых братья и сестры ранее получали различное лечение миндалин, как соответствующие гипотезе, игнорируя при этом менее информативные 37 и 26, где братья и сестры ранее проходили лечение или их миндалин или их не было.

Сопутствующие тесты и методы

• Биномиальный знаковый тест дает точный тест для теста Макнемара.
• является Тест Q Кокрана расширением теста Макнемара для более чем двух «обработок».
• является Точный тест Лидделла точной альтернативой тесту Макнемара.
• Тест Стюарта-Максвелла представляет собой другое обобщение теста Макнемара, используемое для проверки предельной однородности в квадратной таблице с более чем двумя строками/столбцами.
• ( Тест Бхапкара 1966 г.) является более мощной альтернативой тесту Стюарта – Максвелла. но он имеет тенденцию быть либеральным. Доступны конкурентоспособные альтернативы существующим методам.
• Критерий Макнемара является частным случаем критерия Кокрана-Мантела-Хэнзеля ; он эквивалентен тесту CMH с одной стратой для каждой из N пар и в каждой страте таблицей 2x2, показывающей парные двоичные ответы.
• Полиномиальные доверительные интервалы используются для сопоставленных пар двоичных данных.

См. также

• Критерий хи-квадрат Пирсона
• Распределение хи-квадрат

Внешние ссылки

• Сетка Макнемара 2 × 2 колледжа Вассар с онлайн-калькулятором
• Критерии Макнемара предельной однородности