Юриметрика

Юриметрика — это применение количественных методов, а часто особенно вероятностных и статистических , к праву . ^[1] В США журнал Jurimetrics издается Американской ассоциацией адвокатов и Университетом штата Аризона . ^[2] Журнал эмпирических правовых исследований — еще одно издание, в котором особое внимание уделяется статистическому анализу права.

Этот термин был придуман в 1949 году Ли Левингером в его статье «Юриметрика: следующий шаг вперед». ^[1]^[3] Демонстрируя влияние Оливера Венделла Холмса-младшего , цитирует Левинджер. ^[4] Знаменитая фраза Холмса о том, что:

«Для рационального изучения права человек -чернописец может быть человеком настоящего, но человеком будущего является человек статистики и магистр экономики ». ^[5]

Первая работа на эту тему приписывается Николаю I Бернулли в его докторской диссертации De Usu Artis Conjectandi in Jure , написанной в 1709 году.

Общие методы [ править ]

Приложения [ править ]

мошенничества в бухгалтерском учете Выявление ^[6]^[7] ( закон Бенфорда )
Дерегулирование авиакомпаний ^[8]
Анализ остановок полиции ^[9] ( Отрицательная биномиальная регрессия )
Закон о запрете ящика и последующее влияние на заявления о приеме на работу ^[10]
- Статистическая дискриминация (экономика)
Требования к маркировке калорий и потребление продуктов питания ^[11]
- Компенсация риска
Сомнительные результаты выборов ^[12] ( Гипергеометрическое распределение )
Теорема присяжных Кондорсе
Анализ затрат и выгод стандартов портфеля возобновляемых источников энергии для борьбы с выбросами парниковых газов ^[13]
Влияние обязательного школьного образования на будущие доходы ^[14]
Влияние размера совета директоров на эффективность фирмы ^[15]^[16]
Влияние пределов ущерба на в связи с медицинской халатностью претензии ^[17]
Влияние фидуциарного стандарта на финансовые консультации ^[18]^[19]
Уровень ложных осуждений заключенных, приговоренных к смертной казни ^[20]
Юридические доказательства ^[21]^[22]^[23] ( байесовская сеть )
Влияние расследований по принципу «модели или практики» на преступность ^[24]
Юридическая информатика
Столы Огдена
Оптимальное прекращение клинических исследований ^[25]^[26]^[27]^[28]
Безапелляционные вызовы при выборе присяжных ^[29]
Личностные предикторы антисоциального поведения ^[30]
Предиктивная полиция ^[31]
Предикторы криминального рецидива ^[32]
Распространенность кесарева сечения и риск исков о врачебной халатности ^[33]
Ошибка прокурора ( Люди против Коллинза )
Проблема эталонного класса

в советах директоров Гендерные квоты компаний

Калифорнии В 2018 году законодательный орган принял законопроект Сената № 826, который требует от всех публичных корпораций, базирующихся в штате, иметь минимальное количество женщин в совете директоров . ^[34]^[35] В советах с пятью или менее членами должно быть не менее двух женщин, а в советах с шестью и более членами должно быть не менее трех женщин.

Используя биномиальное распределение , мы можем вычислить вероятность нарушения правила, изложенного в сенатском законопроекте № 826, по количеству членов совета директоров. Функция массы вероятности для биномиального распределения:

\mathbb {P} (X=k)={n \choose {k}}p^{k}(1-p)^{n-k}

где

p

это вероятность получить

k

успехи в

n

испытания и

{\textstyle {n \choose {k}}}

– биномиальный коэффициент . Для этого расчета

p

- вероятность того, что лицо, имеющее право на работу в совете директоров, является женщиной,

k

количество женщин в совете директоров, и

n

это количество мест в совете директоров. Мы будем считать, что

p=0.5

.

В зависимости от количества членов правления мы пытаемся вычислить кумулятивную функцию распределения :

{\begin{cases}\mathbb {P} (X\leq 1)=(1-p)^{n}+np(1-p)^{n-1},\quad &n\leq 5\\\mathbb {P} (X\leq 2)=\mathbb {P} (X\leq 1)+{n(n-1) \over {2}}p^{2}(1-p)^{n-2},\quad &n>5\end{cases}}

С помощью этих формул мы можем вычислить вероятность случайного нарушения Сенатского законопроекта 826:

Вероятность случайного нарушения (количество членов совета директоров)
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0.50	0.31	0.19	0.34	0.23	0.14	0.09	0.05	0.03	0.02

Как Илья Сомин , отмечает ^[34] значительный процент фирм, не подвергавшихся какой-либо дискриминации по признаку пола , может нарушать закон.

В отраслях, в которых доминируют мужчины, таких как технологии , дисбаланс может быть еще большим. Предположим, что вместо равенства в целом вероятность того, что человеком, имеющим право на работу в совете директоров, является женщиной, составляет 40%; это, вероятно, завышенная оценка, учитывая преобладание мужчин в технологической отрасли. Тогда вероятность случайного нарушения сенатского законопроекта 826 можно пересчитать как:

Вероятность случайного нарушения (количество членов совета директоров)
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0.65	0.48	0.34	0.54	0.42	0.32	0.23	0.17	0.12	0.08

доказательств Байесовский анализ

Теорема Байеса утверждает, что для событий $A$ и $B$ , вероятность условная $A$ происходит, учитывая, что $B$ произошло, это:

\mathbb {P} (A|B)={\mathbb {P} (B|A)\mathbb {P} (A) \over {\mathbb {P} (B)}}

Используя закон полной вероятности , мы можем расширить знаменатель как:

\mathbb {P} (B)=\mathbb {P} (B|A)\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B|\sim A)[1-\mathbb {P} (A)]

Тогда теорему Байеса можно переписать так:

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A|B)&={\mathbb {P} (B|A)\mathbb {P} (A) \over {\mathbb {P} (B|A)\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B|\sim A)[1-\mathbb {P} (A)]}}\\&={1 \over {1+{1-\mathbb {P} (A) \over {\mathbb {P} (A)}}{\mathbb {P} (B|\sim A) \over {\mathbb {P} (B|A)}}}}\end{aligned}}

Это можно упростить еще больше, определив априорные шансы на событие.

A

происходящий

\eta

и отношение правдоподобия

{\mathcal {L}}

как:

\eta ={\mathbb {P} (A) \over {1-\mathbb {P} (A)}},\quad {\mathcal {L}}={\mathbb {P} (B|A) \over {\mathbb {P} (B|\sim A)}}

Тогда компактная форма теоремы Байеса будет:

\mathbb {P} (A|B)={1 \over {1+(\eta {\mathcal {L}})^{-1}}}

Различные значения апостериорной вероятности , основанные на априорных шансах и отношении правдоподобия, рассчитываются в следующей таблице:

$\mathbb {P} (A|B)$ с априорными шансами и коэффициентом правдоподобия
Предыдущие шансы	1	2	3	4	5	10	15	20	25	50
	Коэффициент правдоподобия
0.01	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.09	0.13	0.17	0.20	0.33
0.02	0.02	0.04	0.06	0.07	0.09	0.17	0.23	0.29	0.33	0.50
0.03	0.03	0.06	0.08	0.11	0.13	0.23	0.31	0.38	0.43	0.60
0.04	0.04	0.07	0.11	0.14	0.17	0.29	0.38	0.44	0.50	0.67
0.05	0.05	0.09	0.13	0.17	0.20	0.33	0.43	0.50	0.56	0.71
0.10	0.09	0.17	0.23	0.29	0.33	0.50	0.60	0.67	0.71	0.83
0.15	0.13	0.23	0.31	0.38	0.43	0.60	0.69	0.75	0.79	0.88
0.20	0.17	0.29	0.38	0.44	0.50	0.67	0.75	0.80	0.83	0.91
0.25	0.20	0.33	0.43	0.50	0.56	0.71	0.79	0.83	0.86	0.93
0.30	0.23	0.38	0.47	0.55	0.60	0.75	0.82	0.86	0.88	0.94

Если мы возьмем $A$ какое-то преступное поведение и $B$ уголовного заявления или обвинения, теорема Байеса позволяет определить условную вероятность совершения преступления. Более сложный анализ фактических данных можно провести с использованием байесовских сетей .

наркотиков, массовых стрелков и потребителей Проверка террористов

В последние годы растет интерес к использованию скрининговых тестов для выявления потребителей наркотиков, находящихся на социальном обеспечении , потенциальных массовых убийц , ^[36] и террористы . ^[37] Эффективность скрининговых тестов можно проанализировать с помощью теоремы Байеса.

Предположим, что существует некоторая процедура двоичного скрининга действия. $V$ который идентифицирует человека как человека с положительным результатом теста $+$ или отрицательный $-$ для действия. Теорема Байеса говорит нам, что условная вероятность совершения действия $V$ , при положительном результате теста, составляет:

\mathbb {P} (V|+)={\mathbb {P} (+|V)\mathbb {P} (V) \over {\mathbb {P} (+|V)\mathbb {P} (V)+\mathbb {P} (+|\sim V)\left[1-\mathbb {P} (V)\right]}}

При проведении любого скринингового теста мы должны осознавать его чувствительность и специфичность . Скрининг-тест имеет чувствительность

\mathbb {P} (+|V)

и специфика

{\textstyle \mathbb {P} (-|\sim V)=1-\mathbb {P} (+|\sim V)}

. Чувствительность и специфичность можно проанализировать, используя концепции стандартной теории проверки статистических гипотез :

Чувствительность равна статистической мощности $1-\beta$ , где $\beta$ это частота ошибок второго рода
Специфичность равна $1-\alpha$ , где $\alpha$ это частота ошибок типа I

Следовательно, для нас важна форма теоремы Байеса:

\mathbb {P} (V|+)={(1-\beta )\mathbb {P} (V) \over {(1-\beta )\mathbb {P} (V)+\alpha \left[1-\mathbb {P} (V)\right]}}

Предположим, мы разработали тест с чувствительностью и специфичностью 99%, что, вероятно, будет выше, чем у большинства реальных тестов. Мы можем рассмотреть несколько сценариев, чтобы увидеть, насколько хорошо работает этот гипотетический тест:

Мы проверяем получателей социальных пособий на предмет употребления кокаина. Базовая ставка среди населения составляет примерно 1,5%, ^[38] при условии отсутствия различий в использовании между получателями социальных пособий и населением в целом.
Мы проверяем мужчин на возможность совершения массовых расстрелов или терактов. Базовая ставка принята равной 0,01%.

Используя эти базовые показатели и гипотетические значения чувствительности и специфичности, мы можем рассчитать апостериорную вероятность того, что положительный результат указывает на то, что человек действительно будет участвовать в каждом из действий:

Апостериорные вероятности
Употребление наркотиков	Массовая стрельба
0.6012	0.0098

Даже при очень высокой чувствительности и специфичности скрининговые тесты возвращают только апостериорные вероятности 60,1% и 0,98% соответственно для каждого действия. В более реалистичных обстоятельствах скрининг, вероятно, окажется даже менее полезным, чем в этих гипотетических условиях. Проблема любой процедуры проверки редких событий заключается в том, что она, скорее всего, будет слишком неточной, что позволит выявить слишком много людей, подвергающихся риску участия в каких-либо нежелательных действиях.