Теорема присяжных Кондорсе

График совокупных вероятностей успеха (ось Y) для нескольких биномиальных распределений с заданным индивидуальным шансом на успех (ось X) и количеством «присяжных заседателей» (цвет).

Теорема присяжных Кондорсе — это политологическая теорема об относительной вероятности того, что данная группа людей примет правильное решение. Теорема была впервые сформулирована маркизом де Кондорсе в его работе 1785 года «Опыт применения анализа к вероятности решений большинства» .

Предположения теоремы заключаются в том, что группа желает принять решение большинством голосов . Один из двух результатов голосования является правильным , и каждый избиратель имеет независимую вероятность p проголосовать за правильное решение. Теорема спрашивает, сколько избирателей мы должны включить в группу. Результат зависит от того, p больше или меньше 1/2 :

• Если p больше 1/2 (каждый избиратель с большей вероятностью проголосует правильно), то добавление большего количества избирателей увеличивает вероятность того, что решение большинства будет правильным. В пределе вероятность того, что большинство проголосует правильно, приближается к 1 по мере увеличения числа избирателей.
• С другой стороны, если p меньше 1/2 (каждый избиратель с большей вероятностью проголосует неправильно), то добавление большего количества избирателей ухудшает ситуацию: оптимальное жюри состоит из одного избирателя.

После Кондорсе многие другие исследователи доказали различные другие теоремы присяжных , ослабив некоторые или все предположения Кондорсе.

Доказательства

Доказательство 1. Вычисление вероятности того, что два дополнительных избирателя изменят результат.

Чтобы избежать необходимости в правиле разрешения конфликтов, мы предполагаем, что n нечетно. По сути, тот же аргумент работает даже для n , если ничья разрывается добавлением одного избирателя.

Теперь предположим, что мы начинаем с n избирателей, и пусть m из этих избирателей проголосуют правильно.

Рассмотрим, что произойдет, если мы добавим еще двух избирателей (чтобы общее число оставалось нечетным). Большинство голосов меняется только в двух случаях:

• m было на один голос слишком мало, чтобы получить большинство из n голосов, но оба новых избирателя проголосовали правильно.
• m как раз равнялось большинству n голосов, но оба новых избирателя проголосовали неправильно.

В остальное время новые голоса либо компенсируются, либо только увеличивают разрыв, либо не имеют достаточного значения. Поэтому нас волнует только то, что произойдет, когда единственный голос (среди первых n ) отделит правильное большинство от неправильного.

Ограничивая наше внимание этим случаем, мы можем представить, что первые n -1 голосов компенсируются и что решающий голос принадлежит n -му избирателю. В этом случае вероятность получения правильного большинства равна просто p . Теперь предположим, что мы отправим двух дополнительных избирателей. Вероятность того, что они заменят неправильное большинство на правильное, равна (1- p ) p. ² , а вероятность того, что они изменят правильное большинство на неправильное, равна p (1- p ) ² . Первая из этих вероятностей больше второй тогда и только тогда, когда p > 1/2, что доказывает теорему.

Доказательство 2. Вычисление вероятности того, что решение будет правильным.

Это доказательство является прямым; он просто суммирует вероятности большинства. Каждый член суммы умножает количество комбинаций большинства на вероятность этого большинства. Каждое большинство подсчитывается с использованием комбинации , n элементов взятых k одновременно, где n — размер жюри, а k — размер большинства. Вероятности варьируются от 0 (= голос всегда неправильный) до 1 (= всегда правый). Каждый человек принимает решение самостоятельно, поэтому вероятности его решений умножаются. Вероятность каждого правильного решения равна p . Вероятность неправильного решения q противоположна p , т.е. 1 − p . Обозначение степени, т.е. $p^{x}$ является сокращением для x умножения p .

Точность комитета или жюри можно легко оценить, используя этот подход в компьютерных таблицах или программах.

В качестве примера возьмем простейший случай n = 3, p = 0,8. Нам нужно показать, что вероятность того, что трое человек будут правы, выше 0,8. Действительно:

0.8 × 0.8 × 0.8 + 0.8 × 0.8 × 0.2 + 0.8 × 0.2 × 0.8 + 0.2 × 0.8 × 0.8 = 0.896.

Асимптотика

Асимптотика – это «исчисление приближений». Он используется для решения сложных задач, которые не могут быть решены точно, и для получения более простых форм сложных результатов, от ранних результатов, таких как формулы Тейлора и Стирлинга, до теоремы о простых числах. Важной темой в изучении асимптотики является асимптотическое распределение, которое представляет собой распределение вероятностей, которое в некотором смысле является «предельным» распределением последовательности распределений. Вероятность правильного решения большинства P ( n , p ), когда индивидуальная вероятность p близка к 1/2, растет линейно по величине p − 1/2. Для n избирателей, каждый из которых имеет вероятность p правильного решения , и для нечетных n (где нет возможных связей):

$P(n,p)=1/2+c_{1}(p-1/2)+c_{3}(p-1/2)^{3}+O\left((p-1/2)^{5}\right),$

где

$c_{1}={n \choose {\lfloor n/2\rfloor }}{\frac {\lfloor n/2\rfloor +1}{4^{\lfloor n/2\rfloor }}}={\sqrt {\frac {2n+1}{\pi }}}\left(1+{\frac {1}{16n^{2}}}+O(n^{-3})\right),$

и асимптотическая аппроксимация по n очень точна. Разложение происходит только в нечетных степенях и $c_{3}<0$. Проще говоря, это означает, что когда решение сложно ( p близко к 1/2), выигрыш от наличия n избирателей растет пропорционально ${\sqrt {n}}$.

Теорема в других дисциплинах

Теорема Жюри Кондорсе недавно использовалась для концептуализации интеграции оценок, когда несколько читателей-врачей (рентгенологи, эндоскописты и т. д.) независимо оценивают изображения на предмет активности заболевания. Эта задача возникает при центральном чтении, выполняемом во время клинических исследований, и имеет сходство с голосованием. По мнению авторов, применение теоремы может перевести индивидуальные оценки читателей в окончательный результат математически обоснованным (избегая усреднения порядковых данных), математически доступным для дальнейшего анализа способом, который согласуется с решаемая задача оценки (на основе решений о наличии или отсутствии признаков, задача субъективной классификации)

Теорема Жюри Кондорсе также используется в ансамблевом обучении в области машинного обучения . Ансамблевой метод объединяет предсказания многих отдельных классификаторов путем большинства голосов. Если предположить, что каждый из отдельных классификаторов прогнозирует с точностью чуть более 50% и их прогнозы независимы, тогда ансамбль их прогнозов будет намного больше, чем их индивидуальные прогнозные оценки.

Применимость к демократическим процессам

Многие политические теоретики и философы используют Теорему присяжных Кондорсе (CJT) для защиты демократии, см. Бреннан. и ссылки в нем. Тем не менее, это эмпирический вопрос, справедлива ли эта теорема в реальной жизни или нет. Обратите внимание, что CJT – палка о двух концах : он может либо доказать, что правило большинства является (почти) совершенным механизмом агрегирования информации, когда $p>1/2$или (почти) совершенная катастрофа, когда $p<1/2$. Катастрофа будет означать, что систематически выбирается неправильный вариант. Некоторые авторы утверждают, что мы находимся в последнем сценарии. Например, Брайан Каплан широко утверждал , что знания избирателей систематически склоняются в сторону (вероятно) неправильных вариантов. В рамках CJT это можно интерпретировать как свидетельство $p<1/2$.

Недавно был использован другой подход к изучению применимости CJT. Вместо рассмотрения однородного случая каждому избирателю разрешается иметь вероятность $p_{i}\in [0,1]$, возможно, отличающийся от других избирателей. Этот случай ранее изучали Дэниел Беренд и Джейкоб Паруш. и включает классическую теорему Кондорсе (когда $p_{i}=p~~\forall ~i\in \mathbb {N}$) и другие результаты, такие как чудо агрегации (когда $p_{i}=1/2$ для большинства избирателей и $p_{i}=1$ для небольшой части из них). Затем, следуя байесовскому подходу, оценивается априорная вероятность (в данном случае априорная ) тезиса, предсказанного теоремой. То есть, если мы выберем произвольную последовательность избирателей (т. е. последовательность $(p_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ), сохранится ли диссертация CJT? Ответ — нет. Точнее, если случайная последовательность $p_{i}$ принимается после объективного распределения, которое не способствует компетентности, $p_{i}>1/2$или некомпетентность, $p_{i}<1/2$, то тезис, предсказанный теоремой, почти наверняка не будет справедливым . При таком новом подходе сторонники CJT должны представить убедительные доказательства компетентности, чтобы преодолеть низкую априорную вероятность. То есть дело не только в том, что существуют доказательства против компетентности (апостериорная вероятность), но и в том, что мы не можем ожидать, что CJT будет справедливым в отсутствие каких-либо доказательств (априорная вероятность).

Дальнейшее чтение

• Метод Кондорсе
• Парадокс Кондорсе
• Теорема жюри
• Закон больших чисел
• Мудрость толпы