Теорема жюри

— Теорема жюри это математическая теорема, доказывающая, что при определенных предположениях решение, полученное большинством голосов в большой группе, с большей вероятностью будет правильным, чем решение, принятое одним экспертом. Оно служит формальным аргументом в пользу идеи мудрости толпы , решения фактических вопросов судом присяжных и демократии в целом.

Первая и самая известная теорема присяжных — это теорема присяжных Кондорсе . Предполагается, что все избиратели имеют независимые вероятности проголосовать за правильную альтернативу, эти вероятности больше 1/2 и одинаковы для всех избирателей. При этих предположениях вероятность того, что решение большинства будет правильным, строго увеличивается, когда группа больше; а когда размер группы стремится к бесконечности, вероятность того, что решение большинства будет правильным, стремится к 1.

Существует множество других теорем жюри, ослабляющих некоторые или все эти предположения.

Параметр

Предпосылка всех теорем присяжных заключается в том, что существует объективная истина , неизвестная избирателям. Большинство теорем сосредоточены на бинарных вопросах (вопросах с двумя возможными состояниями), например, виновен или невиновен определенный ответчик , будет ли определенная акция расти или падать и т. д. $n$ избиратели (или присяжные), и их цель — раскрыть правду. У каждого избирателя есть мнение о том, какой из двух вариантов правильный. Мнение каждого избирателя либо правильное (т. е. соответствует истинному состоянию), либо неправильное (т. е. отличается от истинного состояния). Это отличается от других настроек голосования , в которых мнение каждого избирателя отражает его/ее субъективные предпочтения и, таким образом, всегда «правильно» для этого конкретного избирателя. Мнение избирателя можно считать случайной величиной : для каждого избирателя существует положительная вероятность того, что его мнение соответствует истинному состоянию.

Решение группы определяется правилом большинства . Например, если большинство избирателей говорят «виновен», то решение является «виновным», а если большинство говорит «невиновен», то решение является «невиновным». Чтобы избежать связей, часто предполагается, что число избирателей $n$ странно. Альтернативно, если $n$ четно, то ничья разрешается подбрасыванием честной монеты .

Теоремы жюри интересуются вероятностью правильности – вероятностью того, что решение большинства совпадает с объективной истиной. Типичные теоремы жюри делают два типа утверждений об этой вероятности:

1. Растущая надежность : вероятность правильности тем выше, чем больше группа.
2. Непогрешимость толпы : вероятность правильности становится равной 1, когда размер группы стремится к бесконечности.

Утверждение 1 часто называют неасимптотической частью , а утверждение 2 — асимптотической частью теоремы жюри.

Очевидно, что эти утверждения не всегда верны, но они верны при определенных предположениях об избирателях. Различные теоремы жюри делают разные предположения.

Независимость, компетентность и единообразие

Основная статья: Теорема присяжных Кондорсе

Теорема присяжных Кондорсе делает следующие три предположения:

1. Безусловная независимость : избиратели принимают решения самостоятельно. Другими словами, их мнения являются независимыми случайными величинами .
2. Безусловная компетентность : вероятность того, что мнение отдельного избирателя совпадает с объективной истиной, превышает 1/2 (т. е. избиратель умнее случайного подбрасывания монеты).
3. Единообразие : все избиратели имеют одинаковую вероятность оказаться правыми.

Теорема жюри Кондорсе гласит, что эти три предположения подразумевают растущую надежность и непогрешимость толпы.

Коррелированные голоса: ослабление предположения о независимости

Мнения разных избирателей часто коррелируют, поэтому безусловная независимость может не состояться. В этом случае требование о растущей надежности может быть отклонено.

Пример

Позволять $p$ - вероятность того, что присяжный проголосует за правильную альтернативу и $c$ (второго порядка) быть коэффициентом корреляции между любыми двумя правильными голосами. Если все коэффициенты корреляции более высокого порядка в представлении Бахадура совместного вероятностного распределения голосов, равного нулю, и $(p,c)\in {\mathcal {B}}_{n}$ является допустимой парой , то вероятность того, что жюри коллективно примет правильное решение простым большинством, определяется выражением:

$P(n,p,c)=I_{p}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {n+1}{2}}\right)+0.5c(n-1)(0.5-p){\frac {\partial I_{p}({\frac {n+1}{2}},{\frac {n+1}{2}})}{\partial p}},$

где $I_{p}$ – регуляризованная неполная бета-функция .

Пример: Возьмем жюри из трех присяжных. $(n=3)$, с индивидуальной компетентностью $p=0.55$ и корреляция второго порядка $c=0.4$. Затем $P(3,0.55,0.4)=0.54505$. Компетентность жюри ниже компетенции одного присяжного заседателя, которая равна $0.55$. Кроме того, расширение состава жюри на два присяжных $(n=5)$ еще больше снижает компетентность жюри, $P(5,0.55,0.4)=0.5196194$. Обратите внимание, что $p=0.55$ и $c=0.4$ – допустимая пара параметров. Для $n=5$ и $p=0.55$, максимально допустимый коэффициент корреляции второго порядка равен $\approx 0.43$.

Приведенный выше пример показывает, что когда индивидуальная компетентность низка, но корреляция высока:

• Коллективная компетенция при простом большинстве может быть ниже компетенции одного присяжного заседателя;
• Расширение состава жюри может снизить его коллективную компетентность.

Приведенный выше результат принадлежит Каниовскому и Заиграеву. Они также обсуждают оптимальную структуру жюри для однородных присяжных с коррелирующими голосами.

Есть несколько теорем присяжных, которые различными способами ослабляют предположение о независимости.

Чувствительная к истине независимость и компетентность

В задачах с двоичным решением часто существует один вариант, который легче обнаружить, чем другой. Например, может быть легче установить виновность обвиняемого (поскольку имеются явные доказательства вины), чем установить его невиновность. В этом случае вероятность того, что мнение одного избирателя является правильным, представлена ​​двумя разными числами: вероятность того, что вариант № 1 верен, и вероятность того, что вариант № 2 верен. Это также означает, что мнения разных избирателей коррелируют . Это мотивирует следующие послабления приведенных выше предположений:

1. Условная независимость : для каждого из двух вариантов мнения избирателей при условии, что этот вариант является истинным, являются независимыми случайными величинами .
2. Условная компетентность : для каждого из двух вариантов вероятность того, что мнение одного избирателя является правильным при условии, что этот вариант верен, превышает 1/2.
3. Условная однородность : для каждого из двух вариантов все избиратели имеют одинаковую вероятность оказаться правым, при условии, что этот вариант верен.

Растущая надежность и непогрешимость толпы продолжают сохраняться и при этих более слабых предположениях.

Одна из критических замечаний по поводу условной компетентности заключается в том, что она зависит от того, как формулируется вопрос принятия решения. Например, вместо того, чтобы спрашивать, виновен или невиновен подсудимый, можно спросить, виновен ли подсудимый ровно по 10 обвинениям (вариант А) или виновен по другому количеству обвинений (0..9 или более 11). Это меняет условия, а значит, и условную вероятность. Более того, если штат очень специфичен, вероятность правильного голосования может быть ниже 1/2, поэтому условная компетентность может не соблюдаться.

Эффект лидера мнений

Еще одной причиной корреляции между избирателями является наличие лидера мнений . Предположим, что каждый избиратель принимает независимое решение, но затем каждый избиратель с некоторой фиксированной вероятностью меняет свое мнение, чтобы оно совпадало с мнением лидера мнений. Теоремы Жюри Боланда и Боланд, Прошан и Тонг показывает, что если (и только если) вероятность следовать за лидером мнения меньше 1-1/2 p (где p — уровень компетентности всех избирателей), то непогрешимость толпы сохраняется.

Чувствительная к проблемам независимость и компетентность

Помимо зависимости от истинного варианта, существует множество других причин, по которым мнения избирателей могут коррелировать. Например:

• Обсуждение среди избирателей;
• Давление со стороны сверстников ;
• Ложные доказательства (например, виновный обвиняемый превосходно притворяется невиновным);
• Внешние условия (например, плохая погода, влияющие на их суждения).
• Любая другая общая причина голосования

Можно ослабить предположение об условной независимости и поставить в зависимость от всех общих причин голосования (а не только от государства). Другими словами, голоса теперь независимы и зависят от конкретной проблемы принятия решения . Однако в конкретной задаче предположение об условной компетентности может оказаться недействительным. Например, в конкретной проблеме с ложными доказательствами вполне вероятно, что у большинства избирателей будет неправильное мнение. Таким образом, два предположения – условная независимость и условная компетентность – не являются оправданными одновременно (при одной и той же обусловленности).

Возможным решением является ослабление условной компетентности следующим образом. Для каждого избирателя и каждой проблемы x существует вероятность p ( x ) того, что мнение избирателя правильное в этой конкретной проблеме. Поскольку x — случайная величина, p ( x ) тоже случайная величина. Условная компетентность требует, чтобы p ( x ) > 1/2 с вероятностью 1. Ослабленное предположение:

• Тенденция к компетентности : для каждого избирателя и для каждого r >0 вероятность того, что p ( x ) = 1/2+ r , по меньшей мере так же велика, как вероятность того, что p ( x ) = 1/2- r .

Теорема жюри Дитриха и Шпикермана. говорит, что условная независимость, тенденция к компетентности и условное единообразие вместе подразумевают растущую надежность. Обратите внимание, что непогрешимость толпы не подразумевается. Фактически, вероятность правильности стремится к значению ниже 1, если и только если не имеет место Условная компетентность.

Ограниченная корреляция

Теорема жюри Пивато показывает, что если средняя ковариация между избирателями становится маленькой по мере увеличения численности населения, то непогрешимость толпы сохраняется (для некоторых правил голосования). Существуют и другие теоремы жюри, которые учитывают степень корреляции голосов.

Другие решения

Другие способы справиться с корреляцией избирателей включают причинно-следственные сети , структуры зависимости и взаимозаменяемость.

Разнообразные возможности: ослабление предположения о единообразии

Разные избиратели часто имеют разные уровни компетентности, поэтому предположение о единообразии не выполняется. В этом случае ни растущая надежность, ни непогрешимость толпы могут не соблюдаться. Это может произойти, если новые избиратели имеют гораздо меньшую компетентность, чем существующие избиратели, поэтому добавление новых избирателей снижает вероятность правильности группы. В некоторых случаях вероятность правильности может приближаться к 1/2 (случайное решение), а не к 1.

Более строгие требования к компетентности

Единообразие можно отвергнуть, если усилить предположение о компетентности. Есть несколько способов усилить его:

• Сильная компетентность: для каждого избирателя i вероятность правильности pi _e составляет не менее 1/2+ e , где > 0 фиксировано для всех избирателей. Другими словами: компетентность ограничена честным подбрасыванием монеты. Теорема жюри Паруша показывает, что сильная компетентность и условная независимость вместе подразумевают непогрешимость толпы (но не растущую надежность).
• Средняя компетентность: среднее значение индивидуальных уровней компетентности избирателей (т.е. среднее значение их индивидуальных вероятностей принятия правильного решения) немного превышает половину или приближается к значению выше 1/2. Теоремы Жюри Грофмана, Оуэна и Фельда, и Беренд и Паруш, покажите, что средняя компетентность и условная независимость вместе подразумевают непогрешимость толпы (но не растущую надежность).

Случайный выбор избирателей

вместо того, чтобы предполагать, что личность избирателя фиксирована, можно предположить, что существует большой пул потенциальных избирателей с разными уровнями компетентности, а реальные избиратели выбираются случайным образом из этого пула (как при жеребьевке ).

Теорема жюри Бена Яшара и Паруша показывает, что при определенных условиях вероятность правильности присяжных или их подгруппы, выбранных случайно, больше, чем вероятность правильности одного присяжного заседателя, выбранного наугад. Более общая теорема жюри Беренда и Сапира. доказывает, что растущая надежность справедлива в этой ситуации: вероятность правильности случайного комитета увеличивается с размером комитета. Теорема справедлива при определенных условиях даже при коррелирующих голосах.

Теорема жюри Оуэна, Грофмана и Фельда анализирует ситуацию, в которой уровень компетентности является случайным. Они показывают, какое распределение индивидуальной компетентности максимизирует или минимизирует вероятность правильности.

Правило взвешенного большинства

Когда известны уровни компетентности избирателей, правило простого большинства может оказаться не лучшим правилом принятия решения. Существуют различные работы по выявлению оптимального решающего правила – правила, максимизирующего вероятность групповой правильности. Ницан и Паруш покажите, что при безусловной независимости оптимальным правилом принятия решения является правило взвешенного большинства, где вес каждого избирателя с вероятностью правильности p _i равен log( p _i /(1- pi ₎ ), а альтернатива выбирается тогда и только тогда, когда сумма весов его сторонников превышает некоторый порог. Грофман и Шепли проанализировать влияние взаимозависимостей между избирателями на оптимальное правило принятия решений. Бен-Яшар и Ницан доказать более общий результат.

Дитрих обобщает этот результат на ситуацию, которая не требует априорных вероятностей «правильности» двух альтернатив. Единственным необходимым допущением является эпистемическая монотонность, которая гласит, что если при определенном профиле альтернатива x выбирается , а профиль меняется так, что x становится более вероятным, то x все равно выбирается. Дитрих показывает, что эпистемическая монотонность подразумевает, что оптимальным правилом принятия решения является взвешенное большинство с порогом. В той же статье он обобщает оптимальное правило принятия решения на ситуацию, которая не требует, чтобы входными данными было голосование за одну из альтернатив. Это может быть, например, субъективная степень убеждения. Более того, параметры компетентности не обязательно должны быть известны. Например, если входными данными являются субъективные убеждения x ₁ ,..., x _n , то оптимальное правило принятия решения суммирует log( x _i /(1- x _i )) и проверяет, превышает ли сумма некоторый порог. Эпистемической монотонности недостаточно для вычисления самого порога; порог можно вычислить, предполагая максимизацию ожидаемой полезности и априорные вероятности.

Общая проблема правил взвешенного большинства заключается в том, что они требуют знания уровней компетентности различных избирателей, которые обычно трудно вычислить объективным способом. Бахарад, Гольдбергер, Коппель и Ницан представить алгоритм, который решает эту проблему с помощью статистического машинного обучения . Для этого требуется только список прошлых голосов; ему не нужно знать, были ли эти голоса правильными или нет. Если список достаточно велик, то вероятность его правильности стремится к 1, даже если уровень компетентности отдельных избирателей близок к 1/2.

Более двух вариантов

Часто проблемы принятия решений включают в себя три или более вариантов. Это критическое ограничение было фактически признано Кондорсе (см. Парадокс Кондорсе ), и в целом очень трудно согласовать отдельные решения между тремя или более исходами (см. Теорему Эрроу ).

Это ограничение также можно преодолеть посредством последовательного голосования по парам альтернатив, что обычно реализуется посредством процесса внесения поправок в законодательство. (Однако, согласно теореме Эрроу, это создает «путевую зависимость» от точной последовательности пар альтернатив; например, то, какая поправка предлагается первой, может повлиять на то, какая поправка будет принята в конечном итоге, или будет ли закон - с или без него поправки — вообще принято.)

При наличии трех или более вариантов условную компетентность можно обобщить следующим образом:

• Многовариантная условная компетентность: для любых двух вариантов x и y , если x правильный, а y нет, то любой избиратель с большей вероятностью проголосует за x, чем за y .

Теорема жюри Листа и Гудина показывает, что многовариантная условная компетентность и условная независимость вместе подразумевают непогрешимость толпы. Дитрих и Шпикерманн предполагают, что они также подразумевают рост надежности. Другая родственная теорема жюри принадлежит Эвераре, Конечному и Маркизу.

Когда имеется более двух вариантов, различные правила голосования вместо простого большинства можно использовать . Статистические и утилитарные свойства таких правил анализируются, например, Пивато.

Косвенные мажоритарные системы

Теорема Кондорсе рассматривает систему прямого большинства , в которой все голоса подсчитываются непосредственно для определения окончательного результата. Во многих странах используется система непрямого большинства , при которой избиратели делятся на группы. Избиратели в каждой группе принимают решение о результате внутренним большинством голосов; затем группы принимают решение об окончательном результате большинством голосов среди них. Например, предположим, что есть 15 избирателей. При системе прямого большинства решение считается принятым, если за него проголосовали не менее 8 голосов. Предположим теперь, что избиратели сгруппированы в 3 группы по 5 человек в каждой. Решение считается принятым, если его поддержат не менее 2 групп, а в каждой группе решение считается принятым, если его поддержат не менее 3 избирателей. Таким образом, решение может быть принято, даже если его поддержат всего 6 избирателей.

Боланд, Прошан и Тонг докажите, что, когда избиратели независимы и p>1/2, система прямого большинства - как в теореме Кондорсе - всегда имеет более высокие шансы принять правильное решение, чем любая система непрямого большинства.

Берг и Паруш рассмотрите многоуровневую иерархию голосования, которая может иметь несколько уровней с разными правилами принятия решений на каждом уровне. Они изучают оптимальную структуру голосования и сравнивают компетентность с выгодой от экономии времени и других затрат.

Гудин и Шпикерманн вычислите величину, на которую небольшая группа экспертов должна быть лучше, чем средние избиратели, чтобы они могли принимать лучшие решения.

Стратегическое голосование

Общеизвестно, что при наличии трех и более альтернатив и избиратели имеют разные предпочтения, они могут участвовать в стратегическом голосовании , например, голосовать за второй лучший вариант, чтобы не допустить избрания худшего варианта. Удивительно, но стратегическое голосование может происходить даже при наличии двух альтернатив и когда все избиратели имеют одинаковое предпочтение – раскрыть правду. Например, предположим, что вопрос заключается в том, виновен или невиновен подсудимый, и предположим, что некий присяжный считает, что истинный ответ — «виновен». Однако он также знает, что его голос эффективен только в том случае, если остальные голоса равны. Но если остальные голоса равны, это означает, что вероятность того, что подсудимый виновен, близка к 1/2. Принимая это во внимание, наш присяжный может решить, что этой вероятности недостаточно для принятия решения о «виновности», и поэтому проголосует за «невиновность». Но если все остальные избиратели сделают то же самое, будет получен неправильный ответ. С точки зрения теории игр, правдивое голосование не может быть равновесием Нэша. . Эту проблему назвали «проклятием колеблющегося избирателя» . поскольку это аналогично проклятию победителя в теории аукционов.

Теорема жюри Пелега и Замира показывает достаточные и необходимые условия существования равновесия Байеса-Нэша , удовлетворяющего теореме жюри Кондорсе. Бозбай, Дитрих и Петерс показать правила голосования, которые приводят к эффективному агрегированию частной информации избирателей даже при стратегическом голосовании.

На практике эта проблема может быть не очень серьезной, поскольку большинство избирателей заботится не только о конечном результате, но и о том, чтобы проголосовать правильно по своей совести. Более того, большинство избирателей недостаточно искушены, чтобы голосовать стратегически.

Субъективные мнения

Понятие «правильности» может не иметь смысла при принятии политических решений, которые основаны на ценностях или предпочтениях, а не только на фактах.

Некоторые защитники теоремы считают, что она применима, когда голосование направлено на определение того, какая политика лучше всего способствует общественному благу, а не просто на выражение индивидуальных предпочтений. В таком прочтении теорема говорит о том, что, хотя каждый член электората может иметь лишь смутное представление о том, какая из двух политик лучше, голосование большинством имеет усиливающий эффект. «Уровень групповой компетентности», представленный вероятностью того, что большинство выберет лучшую альтернативу, увеличивается до 1 по мере роста размера электората, если предположить, что каждый избиратель чаще прав, чем ошибается.

Некоторые статьи показывают, что при разумных условиях большие группы лучше отслеживают предпочтения большинства.

Применимость

Основная статья: Теорема присяжных Кондорсе § Применимость к демократическим процессам

Применимость теорем присяжных, в частности, теоремы присяжных Кондорсе (CJT) к демократическим процессам, обсуждается, поскольку она может доказать, что правило большинства является идеальным механизмом или катастрофой в зависимости от индивидуальной компетентности. Недавние исследования показывают, что в неоднородном случае тезис теоремы почти наверняка не выполняется (если только не используется правило взвешенного большинства со стохастическими весами, которые коррелируют с эпистемической рациональностью, но так, что каждый избиратель имеет минимальный вес, равный единице).

Дальнейшее чтение

• Закон больших чисел : математическое обобщение теорем жюри.
• Эволюция коллективного принятия решений.
• Реализация эпистемической демократии: критика предположений теорем присяжных.
• Эпистемология демократии: сравнение теорем жюри с двумя другими эпистемическими моделями демократии: экспериментализмом и «Разнообразие превосходит способности» .