Функция расходов

В микроэкономике дает функция расходов минимальную сумму денег, которую человек должен потратить для достижения определенного уровня полезности , учитывая функцию полезности и цены доступных товаров.

Формально, если существует функция полезности $u$ описывающая предпочтения по n товарам, функция расходов

$e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$

говорит, какая сумма денег необходима для достижения полезности $u^{*}$ если n цен заданы вектором цен $p$.Эта функция определяется

$e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x$

где

$\geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}$

— это набор всех наборов, которые обеспечивают полезность, по крайней мере, такую ​​же, как $u^{*}$.

Другими словами, человек минимизирует расходы. $x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}$ при условии минимального ограничения полезности, которое $u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},$ предоставление оптимальных количеств для потребления различных товаров, как $x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}$ как функция $u^{*}$ и цены; тогда функция расходов равна

$e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.$

Особенности расходных функций

(Свойства функции расходов) Предположим, что u — непрерывная функция полезности, представляющая локально ненасыщенное отношение предпочтения º на Rn +. Тогда e(p, u) есть

1. Однороден первой степени по p: для всех и $\lambda >0$, $e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);$

2. Непрерывное $p$ и $u;$

3. Неубывающая по $p$ и строго возрастает $u$ предоставил $p\gg 0;$

4. Вогнутость $p$

5. Если функция полезности строго квазивогнутая, то имеет место лемма Шепарда

Доказательство

(1) Как и в предыдущем предложении, заметим, что

$e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $\lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}$ $p\cdot x=\lambda e(p,u)$

(2) Продолжить работу в домене $e$: ${\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}$

(3) Пусть $p^{\prime }>p$ и предположим $x\in h(p^{\prime },u)$. Затем $u(h)\geq u$, и $e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x$ . Отсюда сразу следует, что $e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)$.

Для второго утверждения предположим противное, что для некоторого $u^{\prime }>u$, $e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)$ Чем для некоторых $x\in h(p,u)$, $u(x)=u^{\prime }>u$, что противоречит выводу об отсутствии избыточной полезности из предыдущего предложения.

(4)Пусть $t\in (0,1)$ и предположим $x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })$. Затем, $p\cdot x\geq e(p,u)$ и $p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)$, так $e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq$$te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)$.

(5) ${\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})$

Расходы и косвенная полезность

Функция расходов является обратной функцией косвенной полезности , когда цены остаются постоянными. Т.е. для каждого ценового вектора $p$ и уровень дохода $I$:

$e(p,v(p,I))\equiv I$

Между функцией расходов и функцией полезности существует двойственная связь. Если задана конкретная регулярная квазивогнутая функция полезности, соответствующая цена однородна, а полезность является монотонно возрастающей функцией расходов, и наоборот, данная цена однородна, а полезность монотонно возрастает, функция расходов будет порождать регулярную квазивогнутую функцию полезности. функция. Помимо того, что цены когда-то были однородными, а полезность монотонно возрастает, функция расходов обычно предполагает

(1) является неотрицательной функцией, т. е. $E(P\cdot u)>O;$

(2) Для P оно неубывающее, т. е. $E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}$;

(3)E(Pu) — вогнутая функция. То есть, $e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0$ $O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}$

Функция расходов является важным теоретическим методом изучения поведения потребителей. Функция расходов очень похожа на функцию затрат в теории производства. Двойственной задаче максимизации полезности является задача минимизации затрат.

Пример

Предположим, что функция полезности — это функция Кобба-Дугласа. $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},$ который генерирует функции спроса

$x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},$

где $I$ это доход потребителя. Один из способов найти функцию расходов — сначала найти косвенную функцию полезности , а затем обратить ее. Косвенная функция полезности $v(p_{1},p_{2},I)$ находится путем замены величин в функции полезности функциями спроса следующим образом:

$v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}\times .4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,$

где $K=(.6^{.6}\times .4^{.4}).$ Тогда с тех пор $e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I$ когда потребитель оптимизирует, мы можем инвертировать косвенную функцию полезности, чтобы найти функцию расходов:

$e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,$

Альтернативно, функцию расходов можно найти, решив задачу минимизации $(p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})$ с учетом ограничения $u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.$ Это дает условные функции спроса $x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ и $x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})$ и тогда функция расходов равна

$e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}$

См. также

• Задача минимизации расходов
• Функция спроса Хикса
• уравнение Слуцкого
• Задача максимизации полезности
• Бюджетное ограничение
• Расходный комплект
• Лемма Шепарда

Дальнейшее чтение

• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (2007). Микроэкономическая теория . стр. 59–60 . ISBN  978-0-19-510268-0 .
• Матис, Стивен А.; Косциански, Джанет (2002). Микроэкономическая теория: комплексный подход . Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. стр. 132–133. ISBN  0-13-011418-9 .
• Вариан, Хэл Р. (1984). Микроэкономический анализ (Второе изд.). Нью-Йорк: WW Нортон. стр. 121–123. ISBN  0-393-95282-7 .