Косвенная функция полезности

В экономике потребителя. это косвенная функция полезности $v(p,w)$ потребителя дает максимально достижимую полезность при столкновении с вектором $p$ цен на товары и суммы дохода $w$. Он отражает как предпочтения потребителя, так и рыночные условия.

Эта функция называется косвенной, поскольку потребители обычно думают о своих предпочтениях с точки зрения того, что они потребляют, а не цен. Косвенная полезность потребителя $v(p,w)$ может быть вычислено из его или ее функции полезности $u(x),$ определенный над векторами $x$ количества потребительских товаров, сначала вычисляя наиболее предпочтительный доступный набор, представленный вектором $x(p,w)$ решая задачу максимизации полезности и, во-вторых, вычисляя полезность $u(x(p,w))$ потребитель извлекает выгоду из этого пакета. Результирующая косвенная функция полезности равна

$v(p,w)=u(x(p,w)).$

Косвенная функция полезности:

• Непрерывно на R ^н ₊ × R ₊ где n – количество товаров;
• Снижение цен;
• Строгое увеличение дохода;
• Однородный с нулевой степенью по ценам и доходам; если цены и доход умножаются на заданную константу, один и тот же набор потребления представляет собой максимум, поэтому оптимальная полезность не меняется;
• квазивыпуклый в ( p , w ).

Более того, тождество Роя утверждает, что если v ( p , w ) дифференцируемо в точке $(p^{0},w^{0})$ и ${\frac {\partial v(p,w)}{\partial w}}\neq 0$, затем

$-{\frac {\partial v(p^{0},w^{0})/(\partial p_{i})}{\partial v(p^{0},w^{0})/\partial w}}=x_{i}(p^{0},w^{0}),\quad i=1,\dots ,n.$

Косвенная полезность и расходы

Косвенная функция полезности является обратной функцией расходов , когда цены остаются постоянными. Т.е. для каждого ценового вектора $p$ и уровень полезности $u$:

$v(p,e(p,u))\equiv u$

Пример

Допустим, функция полезности — это функция Кобба-Дугласа. $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0.6}x_{2}^{0.4},$ который имеет маршалловы функции спроса

$x_{1}(p_{1},p_{2})={\frac {0.6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})={\frac {0.4w}{p_{2}}},$

где $w$ это доход потребителя. Косвенная функция полезности $v(p_{1},p_{2},w)$ находится путем замены величин в функции полезности функциями спроса следующим образом:

$v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{0.6}(x_{2}^{*})^{0.4}=\left({\frac {0.6w}{p_{1}}}\right)^{0.6}\left({\frac {0.4w}{p_{2}}}\right)^{0.4}=(0.6^{0.6}*.4^{.4})w^{0.6+0.4}p_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}=Kp_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}w,$

где $K=(0.6^{0.6}*0.4^{0.4}).$ Обратите внимание, что функция полезности показывает полезность для любых величин, которые содержат ее аргументы, даже если они не оптимальны для потребителя и не решают его проблему максимизации полезности. Косвенная функция полезности, напротив, предполагает, что потребитель вывел свои функции спроса оптимальным образом для данных цен и дохода.

См. также

• Полярная форма Гормана
• Функция спроса Хикса
• Функция значения

Дальнейшее чтение

• Корнс, Ричард (1992). «Индивидуальное потребительское поведение: прямые и косвенные функции полезности». Двойственность и современная экономика . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 31–62. ISBN  0-521-33601-5 .
• Йеле, Джорджия ; Рени, Пи Джей (2011). Передовая микроэкономическая теория (Третье изд.). Харлоу: Прентис Холл. стр. 28–33. ISBN  978-0-273-73191-7 .
• Люенбергер, Дэвид Г. (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 103–107. ISBN  0-07-049313-8 .
• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д .; Грин, Джерри Р. (1995). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 56–57. ISBN  0-19-507340-1 .
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория: основные принципы и расширения (второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. стр. 57–59. ISBN  0-03-020831-9 .