✖


Jump to content

Невыпуклость (экономика)

Невыпуклость (экономика) включена в классификационные коды JEL как JEL: C65.

В экономике . невыпуклость относится к нарушениям предположений о выпуклости элементарной экономики Учебники по основам экономики концентрируются на потребителях с выпуклыми предпочтениями (которые не предпочитают крайности промежуточным значениям) и выпуклыми бюджетными множествами , а также на производителях с выпуклыми производственными множествами ; для выпуклых моделей прогнозируемое экономическое поведение хорошо понятно. [1] [2] Когда предположения о выпуклости нарушаются, многие хорошие свойства конкурентных рынков не обязательно сохраняются: Таким образом, невыпуклость связана с провалами рынка . [3] [4] где спрос и предложение различаются или где рыночное равновесие может быть неэффективным . [1] [4] [5] [6] [7] [8] Невыпуклая экономика изучается с помощью негладкого анализа , который является обобщением выпуклого анализа . [8] [9] [10] [11]

Спрос со стороны многих потребителей [ править ]

Если набор предпочтений невыпуклый , то некоторые цены определяют бюджетную линию, которая поддерживает две отдельные оптимальные корзины. Например, мы можем представить, что для зоопарков лев стоит столько же, сколько орел, и что бюджета зоопарка хватает на одного орла или одного льва. Мы также можем предположить, что смотритель зоопарка считает любое животное одинаково ценным. В этом случае зоопарк приобретет либо одного льва, либо одного орла. Конечно, современный смотритель зоопарка не захочет покупать половину орла и половину льва. Таким образом, предпочтения смотрителя зоопарка невыпуклы: смотритель зоопарка предпочитает иметь любое животное, а не любую строго выпуклую комбинацию обоих.

Когда потребительские предпочтения имеют вогнутости, линейные бюджеты не обязательно должны поддерживать равновесие : потребители могут переключаться между двумя отдельными распределениями (равной полезности ).

Когда набор потребительских предпочтений невыпуклый, то (для некоторых цен) потребительский спрос не связан ; Несвязный спрос подразумевает некоторое прерывистое поведение потребителя, как это обсуждал Гарольд Хотеллинг :

Если рассматривать кривые безразличия для покупок как имеющие волнистый характер, выпуклые к началу координат в одних областях и вогнутые в других, то мы вынуждены прийти к выводу, что только участки, выпуклые к началу координат, можно считать имеющими какое-либо значение. , поскольку остальные по существу ненаблюдаемы. Их можно обнаружить только по разрывам, которые могут возникать в спросе при изменении соотношения цен, что приводит к резкому скачку точки касания через пропасть при вращении прямой линии. Но хотя такие разрывы и могут свидетельствовать о существовании пропастей, они никогда не смогут измерить их глубину. Вогнутые участки кривых безразличия и их многомерные обобщения, если они существуют, должны навсегда остаться в стороне.неизмеримая темнота. [12]

Трудности изучения невыпуклых предпочтений подчеркнул Герман Вольд. [13] и снова Пола Самуэльсона , написавшего, что невыпуклости «окутаны вечной тьмой…», [14] по словам Диверта. [15]

Когда предположения о выпуклости нарушаются, многие из хороших свойств конкурентных рынков не обязательно сохраняются: Таким образом, невыпуклость связана с провалами рынка , когда спрос и предложение различаются или когда рыночное равновесие может быть неэффективным . [1] Невыпуклые предпочтения были освещены с 1959 по 1961 год в ряде статей в «Журнале политической экономии» ( JPE ). Основными участниками были Майкл Фаррелл , [16] Фрэнсис Батор, [17] Тьяллинг Купманс , [18] и Джером Ротенберг. [19] В частности, в статье Ротенберга обсуждалась приближенная выпуклость сумм невыпуклых множеств. [20] Эти статьи JPE стимулировали появление статьи Ллойда Шепли и Мартина Шубика , в которых рассматривались овыпуклые потребительские предпочтения и вводилась концепция «приблизительного равновесия». [21] Статьи JPE и статья Шепли-Шубика повлияли на другое понятие «квазиравновесия», предложенное Робертом Ауманном . [22] [23]

Невыпуклые множества были включены в теории общего экономического равновесия. [24] Эти результаты описаны в учебниках по микроэкономике для аспирантов . [25] теория общего равновесия, [26] теория игр , [27] математическая экономика , [28] и прикладная математика (для экономистов). [29] Лемма Шепли -Фолкмана устанавливает, что невыпуклость совместима с приблизительным равновесием на рынках со многими потребителями; эти результаты также применимы к производственным экономикам со множеством мелких фирм . [30]

Поставка с производителей количеством небольшим

Невыпуклость важна в условиях олигополий и особенно монополий . [8] Обеспокоенность по поводу того, что крупные производители эксплуатируют рыночную власть, положила начало литературе о невыпуклых множествах, когда Пьеро Сраффа писал о фирмах с растущей отдачей от масштаба в 1926 году: [31] после чего Гарольд Хотеллинг в 1938 году написал о ценообразовании по предельным издержкам . [32] И Сраффа, и Хотеллинг пролили свет на рыночную власть производителей, не имеющих конкурентов, явно стимулируя появление литературы, посвященной стороне предложения в экономике. [33]

Современная экономика [ править ]

Недавние исследования в области экономики признали невыпуклость новых областей экономики. В этих областях невыпуклость связана с провалами рынка , когда равновесие не обязательно должно быть эффективным или где не существует конкурентного равновесия, поскольку спрос и предложение различаются. [1] [4] [5] [6] [7] [8] Невыпуклые множества возникают также с экологическими благами (и другими внешними эффектами ). [6] [7] и с провалами рынка, [3] и государственная экономика . [5] [34] Невыпуклости встречаются и в информационной экономике . [35] и с фондовыми рынками [8] (и другие неполные рынки ). [36] [37] Такие приложения продолжали мотивировать экономистов изучать невыпуклые множества. [1] В некоторых случаях нелинейное ценообразование или торг могут преодолеть недостатки рынков с конкурентными ценами; в других случаях регулирование может быть оправдано.

Оптимизация с течением времени [ править ]

См. также: уравнение Беллмана , оптимальное управление и динамическое программирование.

Ранее упомянутые приложения касаются невыпуклости в конечномерных векторных пространствах , где точки представляют собой наборы товаров. Однако экономисты также рассматривают динамические проблемы оптимизации во времени, используя теории дифференциальных уравнений , динамических систем , случайных процессов и функционального анализа : Экономисты используют следующие методы оптимизации:

В этих теориях регулярные задачи включают выпуклые функции, определенные в выпуклых областях, и эта выпуклость позволяет упростить методы и экономически содержательную интерпретацию результатов. [43] [44] [45] В экономике динамическое программирование использовалось Мартином Бекманом и Ричардом Ф. Мутом для работы над теорией запасов и теорией потребления . [46] Роберт К. Мертон использовал динамическое программирование в своей статье 1973 года о межвременной модели ценообразования капитальных активов . [47] (См. также задачу Мертона о портфеле ). В модели Мертона инвесторы выбирают между доходом сегодня и будущими доходами или приростом капитала, и их решение находится с помощью динамического программирования. Стоки, Лукас и Прескотт используют динамическое программирование для решения проблем экономической теории, проблем, связанных со случайными процессами. [48] Динамическое программирование использовалось в оптимальном экономическом росте , добыче ресурсов , проблемах принципала и агента , государственных финансах , бизнес- инвестициях , ценообразовании на активы , предложении факторов и промышленной организации . Юнгквист и Сарджент применяют динамическое программирование для изучения множества теоретических вопросов денежно-кредитной политики , налогово-бюджетной политики , налогообложения , экономического роста, теории поиска и экономики труда . [49] Диксит и Пиндик использовали динамическое программирование для составления бюджета капиталовложений . [50] В динамических задачах невыпуклость также связана с провалами рынка. [51] так же, как и для задач с фиксированным временем. [52]

анализ Негладкий ​ ​

Экономисты все чаще изучают невыпуклые множества с помощью негладкого анализа , который обобщает выпуклый анализ . Выпуклый анализ сосредоточен на выпуклых множествах и выпуклых функциях, для которых он дает мощные идеи и четкие результаты, но он недостаточен для анализа невыпуклостей, таких как возрастающая отдача от масштаба. [53] «Невыпуклость в [как] производстве, так и в потреблении... требовала математических инструментов, выходящих за рамки выпуклости, и дальнейшее развитие должно было ожидать изобретения негладкого исчисления»: Например, для Кларка дифференциальное исчисление липшицевых непрерывных функций , который использует теорему Радемахера и описан Rockafellar & Wets (1998). [54] и Мордухович (2006) , [9] по словам Хана (2008) . [10] Браун (1995 , стр. 1967–1968) писал, что «главным методологическим новшеством в анализе общего равновесия фирм с правилами ценообразования» было «внедрение методов негладкого анализа». , как [синтез] глобального анализа (дифференциальная топология) и [] выпуклого анализа». Согласно Брауну (1995 , стр. 1966), , «Негладкий анализ расширяет локальную аппроксимацию многообразий касательными плоскостями [и расширяет] аналогичную аппроксимацию выпуклых множеств касательными конусами до множеств ", который может быть негладким или невыпуклым. [11] [55]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» (PDF) . В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь (первое изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 653–661. дои : 10.1057/9780230226203.3173 . ISBN  9780333786765 .
  2. ^ Грин, Джерри ; Хеллер, Уолтер П. (1981). «1 Математический анализ и выпуклость с приложениями к экономике». В «Стреле», Кеннет Джозеф ; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Справочник по математической экономике, I. том Справочники по экономике. Том. 1. Амстердам: Издательство North-Holland Publishing Co., стр. 15–52. дои : 10.1016/S1573-4382(81)01005-9 . ISBN  0-444-86126-2 . МР   0634800 .
  3. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Саланье, Бернар (2000). «7 невыпуклостей». Микроэкономика рыночных сбоев (английский перевод французской Microéconomie: Les défaillances du Marché (1998 г.) (Economica, Париж)). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 107–125. ISBN  0-262-19443-0 .
  4. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Саланье (2000 , стр. 36)
  5. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Лаффон, Жан-Жак (1988). «3 невыпуклости». экономики Основы народной . Массачусетский технологический институт. стр. 63–65. ISBN  0-262-12127-1 .
  6. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Старретт, Дэвид А. (1972). «Фундаментальные невыпуклости в теории внешних эффектов». Журнал экономической теории . 4 (2): 180–199. дои : 10.1016/0022-0531(72)90148-2 . МР   0449575 .
  7. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Страницы 106, 110–137, 172 и 248: Баумол, Уильям Дж .; Оутс, Уоллес Э.; при участии В.С. Бавы и Дэвида Ф. Брэдфорда (1988). «8 Вредные внешние эффекты и невыпуклости в производственном наборе». Теория экологической политики (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-31112-0 .
  8. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и Страница 1: Геснери, Роджер (1975). «Оптимальность по Парето в невыпуклых экономиках». Эконометрика . 43 (1): 1–29. дои : 10.2307/1913410 . JSTOR   1913410 . МР   0443877 . ( «Ошибка». Эконометрика . Том. 43, нет. 5–6. 1975. с. 1010. дои : 10.2307/1911353 . JSTOR   1911353 . МР   0443878 . )
  9. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Мордухович, Борис С. (2006). «Глава 8. Приложения к экономике». Вариационный анализ и обобщенное дифференцирование II : Приложения . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. Том. 331. Спрингер. особенно раздел 8.5.3 «Введите невыпуклость» (и оставшуюся часть главы), особенно стр. 495. ISBN  978-3-540-25438-6 . МР   2191745 .

  10. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Хан, М. Али (2008). «Совершенная конкуренция» . В Дюрлауфе, Стивен Н.; Блюм, Лоуренс Э. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. стр. 354–365. дои : 10.1057/9780230226203.1267 . ISBN  978-0-333-78676-5 .
  11. ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Браун, Дональд Дж. (1991). «36 Анализ равновесия с использованием невыпуклых технологий». В Хильденбранде, Вернер ; Зонненшайн, Хьюго (ред.). Справочник по математической экономике, том IV . Справочники по экономике. Том. 1. Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. 1963–1995 [1966]. дои : 10.1016/S1573-4382(05)80011-6 . ISBN  0-444-87461-5 . МР   1207195 .
  12. ^ Хотеллинг (1935 , стр. 74): Хотеллинг, Гарольд (январь 1935 г.). «Функции спроса при ограниченных бюджетах». Эконометрика . 3 (1): 66–78. дои : 10.2307/1907346 . JSTOR   1907346 .
  13. ^ Страницы 231 и 239 (рис. 10 a–b: Иллюстрация леммы 5 [страница 240]): Вольд, Герман (1943b). «Синтез анализа чистого спроса II ». Skandinavisk Aktuarietidskrift [Скандинавский актуарный журнал] . Том. 26. С. 220–263. МР   0011939 .

    Упражнение 45, стр. 146: Вольд, Герман ; Жюрен, Ларс (совместно с Уолдом) (1953). «8 Некоторые дальнейшие применения полей предпочтений (стр. 129–148)». Анализ спроса: исследование по эконометрике . Публикации Wiley по статистике. Нью-Йорк: John Wiley and Sons, Inc. Стокгольм: Альмквист и Викселл. МР   0064385 .

  14. ^ Самуэльсон (1950 , стр. 359–360):

    Следует отметить, что на конкурентном рынке невозможно наблюдать любую точку, где кривые безразличия являются скорее выпуклыми, чем вогнутыми. Такие моменты окутаны вечной тьмой — если только мы не сделаем нашего потребителя монопсонистом и не позволим ему выбирать между товарами, лежащими на очень выпуклой «бюджетной кривой» (вдоль которой он влияет на цену того, что он покупает). В этом случае монопсонии мы все же могли бы вывести наклон кривой безразличия человека из наклона наблюдаемого ограничения в точке равновесия.

    В эпиграфе к седьмой главе «Рынки с невыпуклыми предпочтениями и производством» Старр (1969) , Arrow & Hahn (1971 , стр. 169) цитируют Джона Мильтона описание . (невыпуклого) Сербонского болота в «Потерянном раю» ( Книга II, строки 592–594 ):

    Пропасть глубокая, как Сербонское болото.

    Между Дамиатой и старой горой Касий,

    Где армии потонули целыми.

  15. ^ Диверт (1982 , стр. 552–553).
  16. ^ Фаррелл, MJ (август 1959 г.). «Предположение выпуклости в теории конкурентных рынков». Журнал политической экономии . 67 (4): 371–391. дои : 10.1086/258197 . JSTOR   1825163 . S2CID   153653926 . Фаррелл, MJ (октябрь 1961a). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 484–489. дои : 10.1086/258541 . JSTOR   1828538 . S2CID   154398283 . Фаррелл, MJ (октябрь 1961b). «Предположение выпуклости в теории конкурентных рынков: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 493. дои : 10.1086/258544 . JSTOR   1828541 . S2CID   154200859 .
  17. ^ Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961a). «О выпуклости, эффективности и рынках». Журнал политической экономии . 69 (5): 480–483. дои : 10.1086/258540 . JSTOR   1828537 . S2CID   153979194 . Батор, Фрэнсис М. (октябрь 1961b). «О выпуклости, эффективности и рынках: ответ». Журнал политической экономии . 69 (5): 489. дои : 10.1086/258542 . JSTOR   1828539 . S2CID   154255876 .
  18. ^ Купманс, Тьяллинг К. (октябрь 1961 г.). «Предположения о выпуклости, эффективность распределения и конкурентное равновесие». Журнал политической экономии . 69 (5): 478–479. дои : 10.1086/258539 . JSTOR   1828536 . S2CID   154831335 .

    Купманс (1961 , с. 478) и другие — например, Фаррелл (1959 , с. 390–391) и Фаррелл (1961а , с. 484), Батор (1961а , с. 482–483), Ротенберг (1960 , с. . 438) и Старр (1969 , стр. 26) — прокомментировал Купманс (1957 , стр. 1–126, особенно 9–16 [1.3 Суммирование наборов возможностей], 23– 35 [1.6 Выпуклые множества и ценовые последствия оптимальности] и 35–37 [1.7 Роль предположений выпуклости в анализе]):

    Купманс, Тьяллинг К. (1957). «Распределение ресурсов и система цен». В Купманс, Тьяллинг С. (ред.). Три очерка о состоянии экономической науки . Нью-Йорк: Книжная компания McGraw – Hill. стр. 1–126. ISBN  0-07-035337-9 .

  19. ^ Ротенберг (1960 , стр. 447): Ротенберг, Джером (октябрь 1960 г.). «Невыпуклость, агрегация и оптимальность по Парето». Журнал политической экономии . 68 (5): 435–468. дои : 10.1086/258363 . JSTOR   1830308 . S2CID   154192326 . ( Ротенберг, Джером (октябрь 1961 г.). «Комментарии по поводу невыпуклости». Журнал политической экономии . 69 (5): 490–492. дои : 10.1086/258543 . JSTOR   1828540 . S2CID   154070123 . )
  20. ^ Arrow & Hahn (1980 , стр. 182)
  21. ^ Шепли и Шубик (1966 , стр. 806): Шепли, Л.С .; Шубик, М. (октябрь 1966 г.). «Квазиядра в денежной экономике с невыпуклыми предпочтениями». Эконометрика . 34 (4): 805–827. дои : 10.2307/1910101 . JSTOR   1910101 . S2CID   46271184 . Збл   0154.45303 .
  22. ^ Ауманн (1966 , стр. 1–2): Ауманн, Роберт Дж. (январь 1966 г.). «Существование конкурентного равновесия на рынках с континуумом торговцев». Эконометрика . 34 (1): 1–17. дои : 10.2307/1909854 . JSTOR   1909854 . МР   0191623 . S2CID   155044347 . Ауманн (1966) опирается на две статьи: Ауманн ( 1964 , 1965 )

    Ауманн, Роберт Дж. (январь – апрель 1964 г.). «Рынки с континуумом трейдеров». Эконометрика . 32 (1–2): 39–50. дои : 10.2307/1913732 . JSTOR   1913732 . МР   0172689 .

    Ауманн, Роберт Дж. (август 1965 г.). «Интегралы от многозначных функций» . Журнал математического анализа и приложений . 12 (1): 1–12. дои : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 . МР   0185073 .

  23. ^ Взятие выпуклой оболочки невыпуклых предпочтений обсуждалось ранее Уолдом (1943b , стр. 243) и Уолдом и Джурином (1953 , стр. 146), согласно Диверту (1982 , стр. 552).

  24. ^ Страницы 392–399 и страница 188: Эрроу, Кеннет Дж .; Хан, Фрэнк Х. (1971). «Приложение Б: Выпуклые и родственные множества» . Общий конкурентный анализ . Тексты по математической экономике [Продвинутые учебники по экономике]. Сан-Франциско, Калифорния: Holden-Day, Inc. [Северная Голландия]. стр. 375–401 . ISBN  0-444-85497-5 . МР   0439057 .

    Страницы 52–55 с приложениями на стр. 145–146, 152–153 и 274–275: Мас-Колелл, Андреу (1985). «1.L Средние значения наборов». Теория общего экономического равновесия: дифференцируемый подход . Монографии Эконометрического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-26514-2 . МР   1113262 .

    Теорема C(6) на стр. 37 и приложения на стр. 115–116, 122 и 168: Хильденбранд, Вернер (1974). Ядро и равновесие большой экономики . Принстон изучает математическую экономику. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-04189-6 . МР   0389160 .

  25. ^ Вариан, Хэл Р. (1992). «21.2 Выпуклость и размер» . Микроэкономический анализ (3-е изд.). WW Norton & Company. стр. 393–394 . ISBN  978-0-393-95735-8 . МР   1036734 .

    Страница 628: Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (1995). «17.1 Крупные экономики и невыпуклости». Микроэкономическая теория . Издательство Оксфордского университета. стр. 627–630. ISBN  978-0-19-507340-9 .

  26. ^ Страница 169 в первом издании: Старр, Росс М. (2011). «8 Выпуклые множества, теоремы разделения и невыпуклые множества в R Н «. Теория общего равновесия: Введение (Второе изд.). Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139174749 . ISBN  978-0-521-53386-7 . МР   1462618 . [ нужны разъяснения ]

    Элликсон (1994 , стр. xviii), и особенно главу 7 «Вальрас встречает Нэша» (особенно раздел 7.4 «Невыпуклость», страницы 306–310 и 312, а также 328–329) и главу 8 «Что такое конкуренция?» (стр. 347 и 352): Элликсон, Брайан (1994). Конкурентное равновесие: Теория и приложения . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-31988-1 .

  27. ^ Теорема 1.6.5 на страницах 24–25: Итииси, Тацуро (1983). Теория игр для экономического анализа . Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Харкорт Брейс Йованович, Издательство]. ISBN  0-12-370180-5 . МР   0700688 .
  28. ^ Кассельс, JWS (1981). «Приложение А. Выпуклые множества». Экономика для математиков . Серия конспектов лекций Лондонского математического общества. Том. 62. Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 33–34 и 127. ISBN.  0-521-28614-Х . МР   0657578 .
  29. ^ Страницы 93–94 (особенно пример 1.92), 143, 318–319, 375–377 и 416: Картер, Майкл (2001). Основы математической экономики . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  0-262-53192-5 . МР   1865841 .

    Страница 309: Мур, Джеймс К. (1999). Математические методы экономической теории: I. Том Исследования по экономической теории. Том. 9. Берлин: Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-662-08544-8 . ISBN  3-540-66235-9 . МР   1727000 .

    Страницы 47–48: Флоренцано, Моник; Ле Ван, Куонг (2001). Конечномерная выпуклость и оптимизация . Исследования по экономической теории. Том. 13. в сотрудничестве с Паскалем Гурделем. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-56522-9 . ISBN  3-540-41516-5 . МР   1878374 . S2CID   117240618 .

  30. ^ Экономисты изучали невыпуклые множества, используя передовую математику, особенно дифференциальную геометрию и топологию , категорию Бэра , теорию меры и интегрирования и эргодическую теорию : Трокель, Уолтер (1984). Рыночный спрос: анализ крупных экономик с невыпуклыми предпочтениями . Конспект лекций по экономике и математическим системам. Том. 223. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-46488-1 . ISBN  3-540-12881-6 . МР   0737006 .
  31. ^ Сраффа, Пьеро (1926). «Законы отдачи в конкурентных условиях». Экономический журнал . Том. 36, нет. 144. С. 535–550. JSTOR   2959866 .
  32. ^ Хотеллинг, Гарольд (июль 1938 г.). «Общее благосостояние в отношении проблем налогообложения, железнодорожных и коммунальных тарифов». Эконометрика . 6 (3): 242–269. дои : 10.2307/1907054 . JSTOR   1907054 .
  33. ^ Страницы 5–7: Квинзи, Мартина (1992). Повышение отдачи и эффективности (Исправленный перевод (1988) Увеличение отдачи и экономическая эффективность . Париж: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique ed.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-506553-0 .
  34. ^ Старретт обсуждает невыпуклости в своем учебнике по государственной экономике (страницы 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 и 234–236): Старретт, Дэвид А. (1988). Основы общественной экономики . Кембриджские экономические справочники. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521348010 .
  35. ^ Раднер, Рой (1968). «Конкурентное равновесие в условиях неопределенности». Эконометрика . 36 (1): 31–53. дои : 10.2307/1909602 . JSTOR   1909602 .
  36. ^ Страница 270: Дрез, Жак Х. (1987). «14 Инвестиции в частную собственность: оптимальность, равновесие и стабильность». В Дрезе, JHlocation=Cambridge (ред.). Очерки экономических решений в условиях неопределенности . Издательство Кембриджского университета. стр. 261–297. дои : 10.1017/CBO9780511559464 . ISBN  0-521-26484-7 . МР   0926685 . (Первоначально опубликовано как Дрез, Жак Х. (1974). «Инвестиции в частную собственность: оптимальность, равновесие и стабильность». В Дрезе, Дж. Х. (ред.). Распределение в условиях неопределенности: равновесие и оптимальность . Нью-Йорк: Уайли. стр. 129–165. )
  37. ^ Magille & Quinzii , Раздел 31 «Партнерство», с. 371) : Мэгилл, Майкл; Квинзи, Мартина (1996). «6 Производство в финансовой экономике». Теория неполных рынков . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 329–425.
  38. ^ Рэмси, ФП (1928). «Математическая теория сбережений». Экономический журнал . 38 (152): 543–559. дои : 10.2307/2224098 . JSTOR   2224098 . S2CID   154223797 .
  39. ^ Хотеллинг, Гарольд (1931). «Экономика неисчерпаемых ресурсов» . Журнал политической экономии . 39 (2): 137–175. дои : 10.1086/254195 . JSTOR   1822328 . S2CID   222432341 .
  40. ^ Адда, Джером; Купер, Рассел (2003), Dynamic Economics , MIT Press, заархивировано из оригинала 5 декабря 2008 г. , получено 1 марта 2011 г.
  41. ^ Ховард, Рональд А. (1960). Динамическое программирование и марковские процессы . Массачусетский технологический институт Пресс.
  42. ^ Сетхи, СП; Томпсон, Г.Л. (2000). Теория оптимального управления: приложения к науке управления и экономике (2-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  0-387-28092-8 . Слайды доступны по адресу http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html.
  43. ^ Траутман, Джон Л. (1996). При содействии Уильяма Хрусы (ред.). Вариационное исчисление и оптимальное управление: Оптимизация с элементарной выпуклостью . Тексты для студентов по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0737-5 . ISBN  0-387-94511-3 . МР   1363262 .
  44. ^ Крейвен, Б.Д. (1995). Контроль и оптимизация . Серия Математики Чепмена и Холла. Лондон: Chapman and Hall, Ltd. doi : 10.1007/978-1-4899-7226-2 . ISBN  0-412-55890-4 . МР   1349574 .
  45. ^ Винтер, Ричард (2000). Оптимальный контроль . Системы и контроль: основы и приложения. Бостон, Массачусетс: ISBN Birkhäuser Boston, Inc.  0-8176-4075-4 . МР   1756410 .
  46. ^ Бекманн, Мартин; Мут, Ричард Ф. (1954). «О решении фундаментального уравнения теории запасов». Документ для обсуждения Комиссии Коулза . 2116 .
  47. ^ Мертон, Роберт К. (1973). «Межвременная модель ценообразования капитальных активов». Эконометрика . 41 (5): 867–887. дои : 10.2307/1913811 . JSTOR   1913811 . S2CID   1504746 .
  48. ^ Стоки, Нэнси ; Лукас, Роберт Э .; Прескотт, Эдвард (1989). Рекурсивные методы в экономической динамике . Гарвардский университет. Нажимать. ISBN  0-674-75096-9 .
  49. ^ Юнгквист, Ларс ; Сарджент, Томас (2004). Рекурсивная макроэкономическая теория . МТИ Пресс. ISBN  0-262-12274-Х .
  50. ^ Диксит, Авинаш ; Пиндик, Роберт (1994). Инвестиции в условиях неопределенности . Принстонский университет. Нажимать. ISBN  0-691-03410-9 .
  51. ^ Дасгупта и Хил (1979 , стр. 96–97, 285, 404, 420, 422 и 429)
  52. ^ Дасгупта и Хил (1979 , стр. 51, 64–65, 87 и 91–92)
  53. ^ Heal (1999 , стр. 4 в препринте): Хил, GM (1999). «Введение» (PDF) . Экономика возрастающей отдачи . Международная библиотека критических работ по экономике. Эдвард Элгар. ISBN  978-1-85898-160-4 . Проверено 5 марта 2011 г.
  54. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл ; Уэтс, Роджер Дж. Б. (1998). Вариационный анализ . Фундаментальные принципы математических наук. Том 317. Берлин: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-02431-3 . ISBN  3-540-62772-3 . МР   1491362 . S2CID   198120391 .
  55. ^ Алгебраическая топология также использовалась для изучения выпуклых и невыпуклых множеств в экономике: Чичилнисский, Г. (1993). «Пересекающиеся семейства множеств и топология конусов в экономике» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 29 (2): 189–207. дои : 10.1090/S0273-0979-1993-00439-7 . МР   1218037 .

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Хил, генеральный менеджер (апрель 1998 г.). Экономика возрастающей отдачи (PDF) . Серия рабочих документов Пейн-Уэббера по деньгам, экономике и финансам. Колумбийская школа бизнеса. ПВ-97-20. Архивировано из оригинала (PDF) 15 сентября 2015 года . Проверено 5 марта 2011 г.

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Non-convexity_(economics)&oldid=1217572800"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3ce0059bdcd25ae8a07d9d7fd3960e0e__1712411580
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3c/0e/3ce0059bdcd25ae8a07d9d7fd3960e0e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Non-convexity (economics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)