Производные стабильности

**Производная стабильности.** Это пример общепринятого сокращенного обозначения производных устойчивости. Буква «М» указывает на то, что это мера *изменения момента тангажа* . $\alpha$ указывает, что изменения происходят в ответ на изменения угла атаки . Эта производная стабильности произносится как «see-em-alpha». Это один из показателей того, насколько сильно самолет хочет лететь «носом вперед», что, несомненно, очень важно.

Производные устойчивости , а также производные управления — это меры того, как изменяются конкретные силы и моменты на самолете по мере изменения других параметров, связанных с устойчивостью (таких параметров, как воздушная скорость , высота, угол атаки и т. д.). Для определенных условий полета «дифферентовки» в этих параметрах происходят изменения и колебания. Уравнения движения используются для анализа этих изменений и колебаний. Производные устойчивости и управления используются для линеаризации (упрощения) этих уравнений движения, чтобы можно было легче анализировать устойчивость транспортного средства.

Производные устойчивости и управления изменяются по мере изменения условий полета. Совокупность производных устойчивости и управления по мере их изменения в различных условиях полета называется аэромоделью . Аэромодели используются в инженерных авиасимуляторах для анализа устойчивости, а также в авиасимуляторах в реальном времени для обучения и развлечений.

стабильности Производная управления и производная

устойчивости Производные и производные управления связаны между собой, поскольку обе они являются мерами сил и моментов, действующих на транспортное средство при изменении других параметров. Часто эти слова используются вместе и сокращаются до термина «деривативы S&C». Они отличаются тем, что производные устойчивости измеряют влияние изменений условий полета, а производные управления измеряют влияние изменений положения поверхности управления:

стабильности Производная: измеряет, насколько сильно изменяется сила или момент, действующий на транспортное средство, когда происходит небольшое изменение параметра условий полета, такого как угол атаки , воздушная скорость, высота и т. д. (Такие параметры называются «состояниями»).
управления Производная: измеряет, насколько сильно изменяется сила или момент, действующий на транспортное средство, когда происходит небольшое изменение отклонения поверхности управления, такой как элероны, руль высоты и руль направления.

Использование

Линеаризация (упрощение) анализа устойчивости

Производные устойчивости и управления изменяются по мере изменения условий полета. То есть силы и моменты, действующие на транспортное средство, редко являются простыми (линейными) функциями его состояний. Из-за этого динамику атмосферных летательных аппаратов бывает сложно анализировать. Ниже приведены два метода, используемые для решения этой сложности.

Небольшие колебания относительно устойчивых условий полета.: Один из способов упростить анализ — рассматривать только небольшие колебания относительно устойчивых условий полета. Набор условий полета (таких как высота, воздушная скорость, угол атаки) называется условиями «триммирования», когда они устойчивы и не меняются. Когда условия полета устойчивы, производные устойчивости и управления постоянны и их легче анализировать математически. Анализ одного набора условий полета затем применяется к ряду различных условий полета.

Применение в симуляторах для анализа устойчивости: В симуляторе полета можно «искать» новые значения устойчивости и производные управления по мере изменения условий. Таким образом, «линейные приближения» не так хороши, и устойчивость можно оценить при маневрах, охватывающих более широкий диапазон условий полета. Авиационные симуляторы, используемые для такого анализа, называются «инженерными симуляторами». Набор значений производных устойчивости и управления (поскольку они изменяются в зависимости от различных условий полета) называется аэромоделью .

Использование в авиасимуляторах

Помимо инженерных тренажеров, авиамодели часто используются в авиатренажерах реального времени для домашнего использования и профессиональной летной подготовки.

Названия осей транспортных средств

Воздушные транспортные средства используют систему координат осей, чтобы помочь назвать важные параметры, используемые при анализе устойчивости. Все оси проходят через центр тяжести (так называемый «ЦТ»):

Ось «X» или «x» проходит сзади вперед вдоль тела и называется осью крена .
Ось «Y» или «y» проходит слева направо вдоль крыла и называется осью тангажа .
«Z» или «z» проходит сверху вниз и называется осью рыскания .

В зависимости от ситуации используются два немного разных выравнивания этих осей: «оси, фиксированные на теле» и «оси устойчивости».

Оси с фиксированным корпусом

Оси, закрепленные на кузове, или «оси кузова», определяются и фиксируются относительно кузова транспортного средства: ^[1]

Ось кузова X расположена вдоль кузова транспортного средства и обычно положительна по отношению к нормальному направлению движения.
Ось кузова Y расположена под прямым углом к оси кузова X и ориентирована вдоль крыльев автомобиля. Если крыльев нет (как у ракеты), «горизонтальное» направление определяется полезным способом. Ось кузова Y обычно считается положительной по отношению к правой стороне автомобиля.
Ось корпуса Z перпендикулярна плоскости корпуса крыла (XY) и обычно направлена вниз.

Оси устойчивости

Самолеты (обычно не ракеты) работают под номинально постоянным «дифферентным» углом атаки . Угол носа (ось X) не совпадает с направлением набегающего воздуха. Разница в этих направлениях заключается в угле атаки . Таким образом, для многих целей параметры определяются в терминах слегка модифицированной системы осей, называемой «осями устойчивости». Система осей устойчивости используется для выравнивания оси X по направлению набегающего потока. По сути, система осей корпуса поворачивается вокруг оси корпуса Y на угол атаки дифферента , а затем «прикрепляется повторно» к корпусу самолета: ^[1]

Ось устойчивости X ориентирована по направлению набегающего воздуха в устойчивом полете. скольжении он проецируется в плоскость, образованную осями тела X и Z (При боковом ).
Ось стабильности Y аналогична оси Y, закрепленной на теле.
Ось устойчивости Z перпендикулярна плоскости, образованной осью устойчивости X и тела Y. осью

Названия сил, моментов и скоростей.

Силы и скорости вдоль каждой из осей

Силы, действующие на транспортное средство вдоль осей тела, называются «силами по оси тела»:

X или F _X используется для обозначения сил, действующих на транспортное средство вдоль оси X.
Y или F _Y используется для обозначения сил, действующих на транспортное средство вдоль оси Y.
Z или F _Z используется для обозначения сил, действующих на транспортное средство вдоль оси Z.
u (строчный регистр) используется для скорости набегающего потока вдоль оси тела X.
v (строчный регистр) используется для скорости набегающего потока вдоль оси тела Y.
w (строчный регистр) используется для скорости набегающего потока вдоль оси тела Z.

Полезно думать об этих скоростях как о проекциях относительного вектора ветра на три оси тела, а не как о поступательном движении транспортного средства относительно жидкости. Когда тело вращается относительно направления относительного ветра , эти компоненты изменяются, даже если нет чистого изменения скорости .

Моменты и угловые скорости вокруг каждой из осей

L используется для обозначения « момента качения », который находится вокруг оси X. Находится ли он вокруг оси тела X или оси стабильности X, зависит от контекста (например, нижнего индекса).
M используется для обозначения «момента тангажа », который находится вокруг оси Y.
N используется для обозначения « момента отклонения от курса », который находится вокруг оси Z. Находится ли он вокруг оси тела Z или оси стабильности Z, зависит от контекста (например, нижнего индекса).
«P» или «p» используется для обозначения угловой скорости вокруг оси X («Скорость крена вокруг оси крена»). Находится ли он вокруг оси тела X или оси стабильности X, зависит от контекста (например, нижнего индекса).
«Q» или «q» используется для обозначения угловой скорости вокруг оси Y («Скорость шага вокруг оси шага»).
«R» или «r» используются для обозначения угловой скорости вокруг оси Z («Скорость рыскания вокруг оси рыскания»). Находится ли он вокруг оси тела Z или оси стабильности Z, зависит от контекста (например, нижнего индекса).

Уравнения движения

Использование производных устойчивости удобнее всего демонстрировать на конфигурациях ракет или ракет, поскольку они обладают большей симметрией, чем самолеты, и уравнения движения, соответственно, проще. Если предполагается, что транспортное средство управляется по крену, движения по тангажу и рысканию можно рассматривать изолированно. Обычно рассматривают плоскость отклонения от курса, поэтому необходимо учитывать только 2D-движение. Кроме того, предполагается, что тяга равна сопротивлению, и уравнением продольного движения можно пренебречь.

Тело ориентировано под углом $\psi$ (psi) относительно инерционных осей. Тело ориентировано под углом $\beta$ (бета) относительно вектора скорости, так что компоненты скорости по осям тела равны:

u=U\cos \beta

v=U\sin \beta

где $U$ это скорость.

Аэродинамические силы создаются относительно осей тела, которое не является инерциальной системой отсчета. Для расчета движения силы необходимо отнести к осям инерции. Для этого необходимо, чтобы компоненты скорости тела определялись через угол курса. $(\beta )$ в инерциальные оси.

Разрешение в фиксированных (инерциальных) осях:

u_{f}=U\cos(\beta )\cos(\psi )-U\sin(\beta )\sin(\psi )=U\cos(\beta +\psi )

v_{f}=U\sin(\beta )\cos(\psi )+U\cos(\beta )\sin(\psi )=U\sin(\beta +\psi )

Ускорение относительно инерционных осей находится путем дифференцирования этих составляющих скорости по времени:

{\frac {du_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\cos(\beta +\psi )-U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta +\psi )

{\frac {dv_{f}}{dt}}={\frac {dU}{dt}}\sin(\beta +\psi )+U{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta +\psi )

Согласно Второму закону Ньютона , это равно действующей силе, деленной на массу . Теперь силы возникают из-за распределения давления по телу и, следовательно, генерируются в осях тела, а не в осях инерции, поэтому силы тела должны быть разложены по осям инерции , поскольку Второй закон Ньютона в своей простейшей форме не применим к ускоряющемуся телу. система отсчета.

Разрешение объемных сил:

X_{f}=X\cos(\psi )-Y\sin(\psi )

Y_{f}=Y\cos(\psi )+X\sin(\psi )

Второй закон Ньютона, предполагающий постоянную массу:

X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}

Y_{f}=m{\frac {dv_{f}}{dt}}

где m - масса.Приравнивая инерционные значения ускорения и силы и возвращая их к осям тела, получаем уравнения движения:

X=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\beta )-mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\sin(\beta )

Y=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\beta )+mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}\cos(\beta )

Боковое скольжение, $\beta$ , является небольшой величиной, поэтому малых возмущений уравнения движения принимают вид:

X=m{\frac {dU}{dt}}

Y=mU{\frac {d(\beta +\psi )}{dt}}

Первое напоминает обычное выражение Второго закона Ньютона, тогда как второе по существу представляет собой центробежное ускорение .Уравнение движения, управляющее вращением тела, выводится из производной по времени углового момента :

N=C{\frac {d^{2}\psi }{dt^{2}}}

где C — момент инерции относительно оси рыскания.Предполагая постоянную скорость, существует только две переменные состояния; $\beta$ и ${\frac {d\psi }{dt}}$ , что более компактно будет записано как скорость рыскания r.Существует одна сила и один момент, каждая из которых для данного условия полета будет функцией $\beta$ , r и их производные по времени. Для типичных конфигураций ракет силы и моменты в краткосрочной перспективе зависят от $\beta$ и р. Силы могут быть выражены в виде:

Y=Y_{0}+{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}\beta +{\frac {\partial Y}{\partial r}}r

где $Y_{0}$ — сила, соответствующая состоянию равновесия (обычно называемому тримом ), устойчивость которого исследуется.Обычной практикой является использование сокращений:

{\frac {\partial Y}{\partial \beta }}=Y_{\beta }

Частная производная ${\frac {\partial Y}{\partial \beta }}$ и все подобные члены, характеризующие приращения сил и моментов за счет приращения переменных состояния, называются производными устойчивости. Обычно ${\frac {\partial Y}{\partial r}}$ для конфигураций ракет несущественна, поэтому уравнения движения сводятся к:

{\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r

{\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r

Вклад производной стабильности

Каждая производная устойчивости определяется положением, размером, формой и ориентацией компонентов ракеты. В самолетах путевая устойчивость определяет такие характеристики, как двугранность основных плоскостей, размер киля и площадь хвостового оперения , но большое количество важных производных устойчивости исключает подробное обсуждение в этой статье. Ракета характеризуется только тремя вариантами устойчивости и, следовательно, представляет собой полезное введение в более сложную динамику самолета.

На этой диаграмме *подъемная сила* показана перпендикулярно продольной оси тела. В большинстве технических случаев подъемная сила перпендикулярна набегающему потоку. То есть перпендикулярно оси продольной *устойчивости* .

Сначала рассмотрим $Y_{\beta }$ , тело под углом атаки $\beta$ создает подъемную силу, направленную в направлении, противоположном движению тела. По этой причине $Y_{\beta }$ всегда отрицателен.

На малых углах атаки подъемная сила создается в основном крыльями, плавниками и носовой частью корпуса. Суммарная подъемная сила действует на расстоянии $x_{cp}$ впереди центра тяжести (на рисунке он имеет отрицательное значение), это, на ракетном языке, и есть центр давления. Если подъемная сила действует впереди центра тяжести, момент рыскания будет отрицательным и будет иметь тенденцию к увеличению угла атаки, еще больше увеличивая как подъемную силу, так и момент. Отсюда следует, что для обеспечения статической устойчивости центр давления должен находиться позади центра тяжести. $x_{cp}$ является статическим запасом и должен быть отрицательным для продольной статической устойчивости . Альтернативно, положительный угол атаки должен создавать положительный момент рыскания статически устойчивой ракеты, т.е. $N_{\beta }$ должен быть положительным. Обычной практикой является проектирование маневренных ракет с близким к нулю статическим запасом (т.е. нейтральной статической устойчивостью).

Потребность в позитиве $N_{\beta }$ объясняет, почему стрелы и дротики имеют полет, а неуправляемые ракеты — плавники.

Эффект угловой скорости заключается в основном в уменьшении подъемной силы носа и увеличении подъемной силы хвоста, причем оба этих фактора в некотором смысле противодействуют вращению. $N_{r}$ поэтому всегда отрицательна. Вклад крыла есть, но поскольку ракеты, как правило, имеют небольшой статический запас (обычно меньше калибра ), он обычно невелик. Кроме того, вклад плавника больше, чем вклад носа, поэтому существует чистая сила. $Y_{r}$ , но это обычно незначительно по сравнению с $Y_{\beta }$ и обычно игнорируется.

Ответ

Манипулирование уравнениями движения дает однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка по углу атаки. $\beta$ :

{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}-\left({\frac {Y_{\beta }}{mU}}+{\frac {N_{r}}{C}}\right){\frac {d\beta }{dt}}+\left({\frac {N_{\beta }}{C}}+{\frac {Y_{\beta }}{mU}}{\frac {N_{r}}{C}}\right)\beta =0

Качественное поведение этого уравнения рассмотрено в статье о курсовой устойчивости . С $Y_{\beta }$ и $N_{r}$ оба отрицательные, затухание положительное. Жесткость зависит не только от статической устойчивости. $N_{\beta }$ , он также содержит член, который эффективно определяет угол атаки из-за вращения тела. Расстояние центра подъемной силы, включая этот термин, впереди центра тяжести, называется запасом маневра . Для стабильности оно должно быть отрицательным.

Это затухающее колебание угла атаки и скорости рыскания, вызванное возмущением, называется режимом «флюгера», в честь тенденции флюгера направлять против ветра.

Переменными состояния были выбраны углы атаки. $\beta$ и скорость рыскания r, и опустили возмущение скорости u вместе с соответствующими производными, например $Y_{u}$ . Это может показаться произвольным. Однако, поскольку временной масштаб изменения скорости намного больше, чем временной масштаб изменения угла атаки, его влияние незначительно с точки зрения курсовой устойчивости транспортного средства. Аналогичным образом, влияние крена на движение рыскания также игнорировалось, поскольку ракеты обычно имеют конфигурации с малым удлинением , а инерция крена намного меньше, чем инерция рыскания, следовательно, ожидается, что петля крена будет намного быстрее, чем реакция рыскания, и игнорируется. Эти упрощения проблемы, основанные на априорных знаниях, представляют собой инженерный подход. Математики предпочитают сохранять проблему как можно более общей и упрощать ее только в конце анализа, если вообще упрощают.

Динамика самолета более сложна, чем динамика ракет, главным образом потому, что упрощения, такие как разделение быстрых и медленных режимов и сходство между движениями по тангажу и рысканию, не очевидны из уравнений движения и, следовательно, отложены до поздней стадии разработки. анализ. Дозвуковые транспортные самолеты имеют конфигурацию с большим удлинением, поэтому рыскание и крен нельзя рассматривать как отдельные. Однако это всего лишь вопрос степени; основные идеи, необходимые для понимания динамики самолета, рассматриваются в этом более простом анализе движения ракеты.

Управляющие производные

Отклонение поверхностей управления изменяет распределение давления по транспортному средству, и с этим борются путем включения возмущений в силах и моментах, вызванных отклонением органов управления. Отклонение плавника обычно обозначается $\zeta$ (дзета). С учетом этих членов уравнения движения принимают вид:

{\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta -r+{\frac {Y_{\zeta }}{mU}}\zeta

{\frac {dr}{dt}}={\frac {N_{\beta }}{C}}\beta +{\frac {N_{r}}{C}}r+{\frac {N_{\zeta }}{C}}\zeta

Включение производных управления позволяет изучить реакцию транспортного средства и уравнения движения, используемые для проектирования автопилота.

Примеры

К _{Л _$\beta$}, называемый двугранным эффектом , представляет собой производную устойчивости, которая измеряет изменения момента качения при изменении угла бокового скольжения . Буква «L» обозначает момент качения , а $\beta$ указывает угол бокового скольжения.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Роскам, Ян (1979). «4». Динамика полета самолета и автоматическое управление полетом . Том. 1. Оттава, Канзас: Roskam Aviation and Engineering Corporation. п. 113. Номер карточки каталога Библиотеки Конгресса: 78-31382.

Бабистер А.В.: Динамическая устойчивость и реакция самолета . Еще 1980, ISBN 0-08-024768-7
Фридланд Б.: Проектирование системы управления . Книжная компания МакГроу-Хилл, 1987. ISBN 0-07-100420-3
Роскам Ян: Динамика полета самолета и автоматическое управление полетом . Roskam Aviation and Engineering Corporation, 1979. Второе издание, 1982. Номер карточки в каталоге Библиотеки Конгресса: 78-31382.

[Roskam_ch4-1] Перейти обратно: ^а ^б Роскам, Ян (1979). «4». Динамика полета самолета и автоматическое управление полетом . Том. 1. Оттава, Канзас: Roskam Aviation and Engineering Corporation. п. 113. Номер карточки каталога Библиотеки Конгресса: 78-31382.

[1]