Теорема об устойчивом многообразии

В математике , особенно при изучении динамических систем и дифференциальных уравнений , теорема об устойчивом многообразии является важным результатом о структуре множества орбит, приближающихся к данной гиперболической неподвижной точке . Он грубо утверждает, что существование локального диффеоморфизма вблизи фиксированной точки подразумевает существование локального устойчивого центрального многообразия, содержащего эту неподвижную точку. Это многообразие имеет размерность, равную числу собственных значений матрицы Якоби неподвижной точки, меньших 1. ^[1]

Теорема устойчивом многообразии об

Позволять

f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}

— гладкое отображение с гиперболической неподвижной точкой в точке $p$ . Обозначим через $W^{s}(p)$ стабильный набор и $W^{u}(p)$ нестабильный набор $p$ .

Теорема ^[2]^[3]^[4] заявляет, что

$W^{s}(p)$ является гладким многообразием , и его касательное пространство имеет ту же размерность, что и стабильное пространство линеаризации многообразия . $f$ в $p$ .
$W^{u}(p)$ является гладким многообразием, и его касательное пространство имеет ту же размерность, что и неустойчивое пространство линеаризации многообразия. $f$ в $p$ .

Соответственно $W^{s}(p)$ является устойчивым многообразием и $W^{u}(p)$ является неустойчивым многообразием .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Шуб, Майкл (1987). Глобальная устойчивость динамических систем . Спрингер. стр. 65–66.
^ Песин, Я Б (1977). «Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория» . Российские математические обзоры . 32 (4): 55–114. Бибкод : 1977РуМаС..32...55П . дои : 10.1070/RM1977v032n04ABEH001639 . S2CID 250877457 . Проверено 10 марта 2007 г.
^ Рюэль, Дэвид (1979). «Эргодическая теория дифференцируемых динамических систем» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 50 : 27–58. дои : 10.1007/bf02684768 . S2CID 56389695 . Проверено 10 марта 2007 г.
^ Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

Ссылки [ править ]

Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 105–117. ISBN 0-387-95116-4 .
Шритаран, СС (1990). Теория инвариантных многообразий гидродинамического перехода . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-582-06781-2 .

Внешние ссылки [ править ]

Теорема о стабильном многообразии в PlanetMath .

[1] Шуб, Майкл (1987). Глобальная устойчивость динамических систем . Спрингер. стр. 65–66.

[2] Песин, Я Б (1977). «Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория» . Российские математические обзоры . 32 (4): 55–114. Бибкод : 1977РуМаС..32...55П . дои : 10.1070/RM1977v032n04ABEH001639 . S2CID 250877457 . Проверено 10 марта 2007 г.

[3] Рюэль, Дэвид (1979). «Эргодическая теория дифференцируемых динамических систем» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 50 : 27–58. дои : 10.1007/bf02684768 . S2CID 56389695 . Проверено 10 марта 2007 г.

[4] Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]