Стабильный коллектор

В математике , и в частности при изучении динамических систем , идея стабильных и неустойчивых множеств или стабильных и неустойчивых многообразий дает формальное математическое определение общим понятиям, воплощенным в идее аттрактора или отталкивателя . В случае гиперболической динамики соответствующим понятием является понятие гиперболического множества .

Физический пример

Гравитационные приливные силы , действующие на кольца Сатурна, представляют собой простой для визуализации физический пример. Приливные силы сплющивают кольцо в экваториальной плоскости и растягивают его в радиальном направлении. Если представить кольца как частицы песка или гравия («пыль») на орбите вокруг Сатурна, приливные силы таковы, что любые возмущения, которые толкают частицы выше или ниже экваториальной плоскости, приводят к тому, что эта частица ощущает восстанавливающую силу, толкающую ее обратно в орбиту Сатурна. самолет. Частицы эффективно колеблются в гармонической яме, затухая за счет столкновений. Устойчивое направление перпендикулярно кольцу. Нестабильное направление — вдоль любого радиуса, где силы растягивают и раздвигают частицы. Две частицы, которые начинаются очень близко друг к другу в фазовом пространстве, будут испытывать радиальные силы, заставляющие их расходиться в радиальном направлении. Эти силы имеют положительный показатель Ляпунова ; траектории лежат на гиперболическом многообразии, а движение частиц по сути хаотично , блуждая по кольцам. Центральное многообразие расположено по касательной к кольцам, при этом частицы не испытывают ни сжатия, ни растяжения. Это позволяет гравитационным силам второго порядка доминировать, и поэтому частицы могут увлекаться спутниками или лунными спутниками в кольца, синхронизируясь с ними по фазе. Гравитационные силы лун эффективно обеспечивают регулярно повторяющийся небольшой толчок, каждый раз вокруг орбиты, похожий на толчок ротора , например, в системе фазовой автоподстройки частоты .

Движение частиц в кольце в дискретное время можно аппроксимировать отображением Пуанкаре . Карта эффективно обеспечивает матрицу передачи системы. Собственный вектор, связанный с наибольшим собственным значением матрицы, представляет собой собственный вектор Фробениуса – Перрона , который также является инвариантной мерой , т. е. фактической плотностью частиц в кольце. Все остальные собственные векторы матрицы переноса имеют меньшие собственные значения и соответствуют затухающим модам.

Определение

Ниже приводится определение случая системы, которая является либо повторяющейся функцией , либо имеет динамику дискретного времени. Аналогичные понятия применимы к системам, эволюция которых во времени задается потоком .

Позволять $X$ быть топологическим пространством и $f\colon X\to X$ гомеоморфизм . Если $p$ является фиксированной точкой для $f$ , стабильный набор $p$ определяется

W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}

и нестабильный набор $p$ определяется

W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.

Здесь, $f^{-1}$ обозначает обратную функцию $f$ , то есть $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}$ , где $id_{X}$ это карта идентичности на $X$ .

Если $p$ является периодической точкой наименьшего периода $k$ , то это фиксированная точка $f^{k}$ , а также устойчивые и неустойчивые наборы $p$ определяются

W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)

и

W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).

Учитывая район $U$ из $p$ , локальные устойчивые и неустойчивые множества $p$ определяются

W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ for each }}n\geq 0\}

и

W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).

Если $X$ метризуемо помощью , мы можем определить стабильные и нестабильные множества для любой точки с

W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \}

и

W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),

где $d$ является показателем для $X$ . Это определение явно совпадает с предыдущим, когда $p$ является периодической точкой.

Предположим теперь, что $X$ — компактное гладкое многообразие и $f$ это ${\mathcal {C}}^{k}$ диффеоморфизм , $k\geq 1$ . Если $p$ является гиперболической периодической точкой, теорема об устойчивом многообразии гарантирует, что для некоторой окрестности $U$ из $p$ , локальные стабильные и нестабильные множества ${\mathcal {C}}^{k}$ встроенные диски, касательные пространства которых при $p$ являются $E^{s}$ и $E^{u}$ (стабильные и неустойчивые пространства $Df(p)$ ), соответственно; более того, они непрерывно изменяются (в определенном смысле) в окрестности $f$ в ${\mathcal {C}}^{k}$ топология $\mathrm {Diff} ^{k}(X)$ (пространство всего ${\mathcal {C}}^{k}$ диффеоморфизмы из $X$ самому себе). Наконец, стабильные и нестабильные множества: ${\mathcal {C}}^{k}$ инъекционно погруженные диски. Вот почему их обычно называют стабильными и неустойчивыми многообразиями . Этот результат справедлив и для непериодических точек, если они лежат в некотором гиперболическом множестве (теорема об устойчивом многообразии для гиперболических множеств).

Примечание

Если $X$ является (конечномерным) векторным пространством и $f$ изоморфизм, его стабильное и нестабильное множества называются соответственно стабильным и нестабильным пространством.

См. также

Ссылки

Авраам, Ральф; Марсден, Джеррольд Э. (1978). Основы механики . Чтение Массы: Бенджамин/Каммингс. ISBN 0-8053-0102-Х .
Ирвин, Майкл С. (2001). «Стабильные многообразия» . Гладкие динамические системы . Всемирная научная. стр. 143–160. ISBN 981-02-4599-8 .
Шритаран, СС (1990). Теория инвариантных многообразий гидродинамического перехода . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-582-06781-2 .

В эту статью включены материалы из сборника Stable на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .