Инерционный коллектор

В математике инерционные многообразия связаны с долгосрочным поведением решений диссипативных динамических систем . Инерционные многообразия — это конечномерные, гладкие, инвариантные многообразия , которые содержат глобальный аттрактор быстро притягивают все решения и экспоненциально . Поскольку инерционное многообразие конечномерно, даже если исходная система бесконечномерна, и поскольку большая часть динамики системы происходит на инерциальном многообразии, изучение динамики на инерциальном многообразии приводит к значительному упрощению изучения инерционного многообразия. динамика исходной системы.

Во многих физических приложениях инерционные многообразия выражают закон взаимодействия между структурами с малой и большой длиной волны. Некоторые говорят, что малые длины волн порабощены большими (например, синергетика ). Инерционные многообразия могут также выглядеть как медленные многообразия, распространенные в метеорологии, или как центральные многообразия в любой бифуркации . В вычислительном отношении численные схемы для уравнений в частных производных стремятся отразить долгосрочную динамику, поэтому такие численные схемы образуют приближенное инерционное многообразие.

Вводный пример

Рассмотрим динамическую систему всего с двумя переменными. $p(t)$ и $q(t)$ и с параметром $a$:

${\frac {dp}{dt}}=ap-pq\,,\qquad {\frac {dq}{dt}}=-q+p^{2}-2q^{2}.$

• Он обладает одномерным инерционным многообразием ${\mathcal {M}}$ из $q=p^{2}/(1+2a)$ (параболический).
• Это многообразие инвариантно относительно динамики, поскольку на многообразии ${\mathcal {M}}$

 ${\frac {dq}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {p^{2}}{1+2a}}={\frac {2p{\frac {dp}{dt}}}{1+2a}}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}$ что то же самое, что

 $-q+p^{2}-2q^{2}=-{\frac {p^{2}}{1+2a}}+p^{2}-2\left({\frac {p^{2}}{1+2a}}\right)^{2}={\frac {2ap^{2}}{1+2a}}-{\frac {2p^{4}}{(1+2a)^{2}}}.$

• Многообразие ${\mathcal {M}}$ притягивает все траектории в некоторой конечной области вокруг начала координат, потому что вблизи начала координат ${\frac {dq}{dt}}\approx -q$ (хотя строгое определение, приведенное ниже, требует привлечения всех начальных условий).

Следовательно, долгосрочное поведение исходной двумерной динамической системы определяется «более простой» одномерной динамикой на инерциальном многообразии. ${\mathcal {M}}$, а именно ${\frac {dp}{dt}}=ap-{\frac {1}{1+2a}}p^{3}$.

Определение

Позволять $u(t)$ обозначают решение динамической системы. Решение $u(t)$ может быть развивающимся вектором в $H=\mathbb {R} ^{n}$ или может быть развивающейся функцией в бесконечномерном банаховом пространстве  $H$.

Во многих случаях, представляющих интерес, эволюция $u(t)$ определяется как решение дифференциального уравнения в $H$, сказать ${du}/{dt}=F(u(t))$ с начальной стоимостью $u(0)=u_{0}$.В любом случае мы предполагаем, что решение динамической системы может быть записано в терминах полугруппового оператора или матрицы перехода состояний , $S:H\to H$ такой, что $u(t)=S(t)u_{0}$ на все времена $t\geq 0$ и все начальные значения $u_{0}$.В некоторых ситуациях мы можем рассматривать только дискретные значения времени, как в динамике карты.

Инерционное многообразие для динамической полугруппы $S(t)$ представляет собой гладкое многообразие  ${\mathcal {M}}$ такой, что

1. ${\mathcal {M}}$ имеет конечную размерность,
2. $S(t){\mathcal {M}}\subset {\mathcal {M}}$ на все времена $t\geq 0$,
3. ${\mathcal {M}}$ привлекает все решения экспоненциально быстро, то есть для каждого начального значения $u_{0}\in H$ существуют константы $c_{j}>0$ такой, что ${\text{dist}}(S(t)u_{0},{\mathcal {M}})\leq c_{1}e^{-c_{2}t}$.

Ограничение дифференциального уравнения $du/dt=F(u)$ к инерционному многообразию ${\mathcal {M}}$ поэтому является вполне определенной конечномерной системой, называемой инерциальной системой . На тонком уровне существует разница между привлекательностью многообразия и привлекательностью решений на многообразии.Тем не менее при соответствующих условиях инерциальная система обладает так называемой асимптотической полнотой : то есть каждое решение дифференциального уравнения имеет сопутствующее решение, лежащее в ${\mathcal {M}}$ и воспроизводить одно и то же поведение в течение длительного времени; по математике для всех $u_{0}$ существует $v_{0}\in {\mathcal {M}}$ и возможно сдвиг во времени $\tau \geq 0$ такой, что ${\text{dist}}(S(t)u_{0},S(t+\tau )v_{0})\to 0$ как $t\to \infty$.

Исследователи 2000-х годов обобщили такие инерционные многообразия на зависящие от времени (неавтономные) и/или стохастические динамические системы (например, )

Существование

Доказанные результаты существования относятся к инерционным многообразиям, которые выражаются в виде графа. Основное дифференциальное уравнение переписывается более конкретно в виде $du/dt+Au+f(u)=0$ для неограниченного самосопряженного закрытого оператора $A$ с доменом $D(A)\subset H$и нелинейный оператор $f:D(A)\to H$.Обычно элементарная спектральная теория дает ортонормированный базис $H$ состоящий из собственных векторов $v_{j}$: $Av_{j}=\lambda _{j}v_{j}$, $j=1,2,\ldots$, для упорядоченных собственных значений $0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots$.

Для некоторого заданного числа $m$ режимов, $P$ обозначает проекцию $H$ на пространство, охватываемое $v_{1},\ldots ,v_{m}$, и $Q=I-P$ обозначает ортогональную проекцию на пространство, натянутое на $v_{m+1},v_{m+2},\ldots$.Мы ищем инерционное многообразие, выраженное в виде графика $\Phi :PH\to QH$.Для существования этого графа наиболее строгим требованием является условие спектрального разрыва.  $\lambda _{m+1}-\lambda _{m}\geq c({\sqrt {\lambda _{m+1}}}+{\sqrt {\lambda _{m}}})$ где константа $c$ зависит от системы.Это условие спектральной щели требует, чтобы спектр $A$ должны содержать большие пробелы, чтобы гарантировать свое существование.

Приближенные инерционные многообразия

Предлагается несколько методов построения приближений кинерционные коллекторы, включаятак называемые внутренние многообразия малой размерности .

Самый популярный способ аппроксимации следует изсуществование графика.Определите $m$ медленные переменные  $p(t)=Pu(t)$и «бесконечное» быстрые переменные  $q(t)=Qu(t)$.Затем спроецируем дифференциальное уравнение $du/dt+Au+f(u)=0$ на обоих $PH$и $QH$ чтобы получить связанную систему $dp/dt+Ap+Pf(p+q)=0$ и $dq/dt+Aq+Qf(p+q)=0$.

Для траекторий на графике инерциальноймногообразие $M$, быстрыйпеременная $q(t)=\Phi (p(t))$.Дифференцирование и использование формы связанной системы даетдифференциальное уравнение для графика:

$-{\frac {d\Phi }{dp}}\left[Ap+Pf(p+\Phi (p))\right]+A\Phi (p)+Qf(p+\Phi (p))=0.$

Это дифференциальное уравнение обычно решается приблизительнов асимптотическом разложении по «малым» $p$ кдать модель инвариантного многообразия, или нелинейный метод Галеркина, оба из которых используют глобальную основу, тогда как так называемый целостная дискретизация использует локальную основу. Такие подходы к аппроксимации инерциальных многообразийочень тесно связано с аппроксимацией центральных многообразий для которого существует веб-сервис для построения аппроксимацийдля систем ввода черезпользователь.

См. также

• Блуждающий набор