Инвариантное многообразие

В динамических системах , разделе математики , инвариантное многообразие — это топологическое многообразие , инвариантное относительно действия динамической системы. Примеры включают медленное многообразие , центральное многообразие , стабильное многообразие , нестабильное многообразие , субцентральное многообразие и инерционное многообразие .

Обычно, хотя далеко не всегда, инвариантные многообразия строятся как «возмущение» инвариантного подпространства относительно состояния равновесия.В диссипативных системах инвариантное многообразие, основанное на самых серьезных и продолжительных модах, образует эффективную низкоразмерную сокращенную модель динамики.

Определение

Рассмотрим дифференциальное уравнение $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$с потоком $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ являющееся решением дифференциального уравнения с $x(0)=x_{0}$. Набор $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ называется инвариантным множеством дифференциального уравнения, если для каждого $x_{0}\in S$, решение $t\mapsto \phi _{t}(x_{0})$, определенный на своем максимальном интервале существования, имеет свой образ в $S$. Альтернативно, орбитапроходя через каждый $x_{0}\in S$ лежит в $S$. Кроме того, $S$ называется инвариантным многообразием, если $S$ является многообразием .

Примеры

Простая 2D-динамическая система

Для любого фиксированного параметра $a$, рассмотрим переменные $x(t),y(t)$ описывается парой связанных дифференциальных уравнений

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=ax-xy\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-y+x^{2}-2y^{2}.$

Началом является равновесие. Эта система имеет два интересных инвариантных многообразия через начало координат.

• Вертикальная линия $x=0$ инвариантен, как если бы $x=0$ тот $x$-уравнение становится ${\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=0$ что обеспечивает $x$ остается нулевым. Это инвариантное многообразие, $x=0$, является устойчивым многообразием начала координат (когда $a\geq 0$) как все начальные условия $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ приводят к решениям, асимптотически приближающимся к началу координат.
• Парабола $y=x^{2}/(1+2a)$ инвариантен для всех параметров $a$. Эту инвариантность можно увидеть, рассматривая производную по времени ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(y-{\tfrac {x^{2}}{1+2a}}\right)$ и обнаружив, что он равен нулю $y={\tfrac {x^{2}}{1+2a}}$ как и требуется для инвариантного многообразия. Для $a>0$ эта парабола является неустойчивым многообразием начала координат. Для $a=0$ эта парабола является центральным многообразием , точнее медленным многообразием начала координат.
• Для $a<0$ существует только инвариантное устойчивое многообразие относительно начала координат, устойчивое многообразие, включающее все $(x,y),\ y>-1/2$.

в неавтономных динамических

Дифференциальное уравнение

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,t),\ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ,$

представляет собой неавтономную динамическую систему , решения которой имеют вид $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ с $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$. В расширенном фазовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ такой системы любая начальная поверхность $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ порождает инвариантное многообразие

${\mathcal {M}}=\cup _{t\in \mathbb {R} }\phi _{t_{0}}^{t}(M_{0}).$

Тогда фундаментальный вопрос заключается в том, как найти из этого большого семейства инвариантных многообразий те, которые оказывают наибольшее влияние на общую динамику системы. Эти наиболее влиятельные инвариантные многообразия в расширенном фазовом пространстве неавтономных динамических систем известны как лагранжевы когерентные структуры .

См. также

• Гиперболический набор
• Лагранжева когерентная структура
• Спектральное подмногообразие