Лагранжева когерентная структура

Отдельные траектории в модельном потоке обычно ведут себя совершенно иначе, чем траектории, начинающиеся с тех же начальных условий реального потока. Это происходит из-за неизбежного накопления ошибок и неопределенностей, а также чувствительной зависимости от начальных условий в любой реалистичной модели потока. Тем не менее, притягивающая ЛВП (такая как нестабильное многообразие седловой точки) чрезвычайно устойчива к ошибкам и неопределенностям моделирования. Таким образом, LCS являются идеальными инструментами для проверки моделей и сравнительного анализа.

Лагранжевы когерентные структуры ( ЛКС ) — это выделенные поверхности траекторий в динамической системе , которые оказывают большое влияние на близлежащие траектории в течение интересующего интервала времени. Тип этого влияния может быть разным, но оно неизменно создает последовательную модель траектории, для которой базовая LCS служит теоретическим центральным элементом. При наблюдении за закономерностями трассеров в природе легко выявить последовательные особенности, но зачастую интерес представляет основная структура, создающая эти особенности.

Как показано справа, отдельные траектории трассеров, образующие последовательные структуры, обычно чувствительны к изменениям их начальных условий и параметров системы. Напротив, LCS, создающие эти модели траекторий, оказываются надежными и обеспечивают упрощенный скелет общей динамики системы. Надежность этого скелета делает LCS идеальным инструментом для проверки моделей, сравнения моделей и сравнительного анализа. LCS также можно использовать для прогнозирования текущей ситуации и даже краткосрочного прогнозирования эволюции закономерностей в сложных динамических системах.

Физические явления, регулируемые LCS, включают плавающий мусор, разливы нефти, поверхностные дрифтеры и структуры хлорофилла в океане; облака вулканического пепла и споры в атмосфере; и последовательные модели толпы, сформированные людьми и животные.

Хотя LCS обычно существуют в любой динамической системе, их роль в создании когерентных структур, пожалуй, легче всего наблюдать в потоках жидкости.

Общие определения

Поверхности материала

Рисунок 1: Инвариантное многообразие в расширенном фазовом пространстве, образованное развивающейся материальной поверхностью.

В фазовом пространстве ${\mathcal {P}}$ и за промежуток времени ${\mathcal {I}}=[t_{0},t_{1}]$ , рассмотрим неавтономную динамическую систему, определенную через карту потока $F_{t_{0}}^{t}\colon x_{0}\mapsto x(t,t_{0},x_{0})$, отображая начальные условия $x_{0}\in {\mathcal {P}}$ в их положение $x(t,t_{0},x_{0})\in {\mathcal {P}}$ в любое время $t\in {\mathcal {I}}$. Если карта потока $F_{t_{0}}^{t}$ является диффеоморфизмом для любого выбора $t\in {\mathcal {I}}$, то для любого гладкого множества ${\mathcal {M}}(t_{0})$ начальных условий в ${\mathcal {P}}$, набор

$${\mathcal {M}}=\{(x,t)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}\,\colon [F_{t_{0}}^{t}]^{-1}(x)\in {\mathcal {M}}(t_{0})\}$$

является инвариантным многообразием в расширенном фазовом пространстве ${\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}$. Заимствуя терминологию из гидродинамики , мы имеем в виду развивающийся временной интервал. ${\mathcal {M}}(t)=F_{t_{0}}^{t}({\mathcal {M}}(t_{0}))$ многообразия ${\mathcal {M}}$ как поверхность материала (см. рис. 1). Поскольку любой выбор начального набора условий ${\mathcal {M}}(t_{0})$ дает инвариантное многообразие ${\mathcal {M}}\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}$, инвариантные многообразия и связанные с ними материальные поверхности многочисленны и обычно непримечательны в расширенном фазовом пространстве. Лишь немногие из них будут действовать как ядра последовательных траекторий.

LCS как исключительные поверхности материала

Рисунок 2a: Гиперболическая ЛСК (притягивающая – красным, отталкивающая – синим) и эллиптическая ЛСК (границы зеленых областей) в двумерном моделировании турбулентности. (Изображение: Мохаммад Фаразманд)

Чтобы создать целостный узор, поверхность материала ${\mathcal {M}}(t)$ должен оказывать устойчивое и последовательное воздействие на близлежащие траектории на протяжении всего временного интервала ${\mathcal {I}}$. Примерами такого действия являются притяжение, отталкивание или сдвиг. В принципе, подходит любое четко определенное математическое свойство, которое создает последовательные закономерности из случайно выбранных близлежащих начальных условий.

Большинство таких свойств можно выразить строгими неравенствами . Например, мы называем поверхность материала ${\mathcal {M}}(t)$ притягивая на интервале ${\mathcal {I}}$ если все достаточно малые начальные возмущения ${\mathcal {M}}(t_{0})$ переносятся потоком в еще меньшие конечные возмущения до ${\mathcal {M}}(t_{1})$. В классической динамических систем теории инвариантные многообразия , удовлетворяющие такому свойству притяжения в течение бесконечного времени, называются аттракторами . Они не только особые, но даже локально уникальные в фазовом пространстве: непрерывного семейства аттракторов не может существовать.

Напротив, в динамических системах, определенных на конечном интервале времени ${\mathcal {I}}$строгие неравенства не определяют исключительные (т. е. локально уникальные) материальные поверхности. Это следует из непрерывности карты потока $F_{t_{0}}^{t}$ над ${\mathcal {I}}$. Например, если поверхность материала ${\mathcal {M}}(t)$ притягивает все ближайшие траектории за интервал времени ${\mathcal {I}}$, то такой же будет и любая достаточно близкая другая материальная поверхность.

Таким образом, притягивающие, отталкивающие и сдвигающие поверхности материала обязательно накладываются друг на друга, т. е. происходят в непрерывных семействах. Это приводит к идее поиска ЛВС в динамических системах с конечным временем как исключительных материальных поверхностей, которые проявляют свойство, индуцирующее когерентность, сильнее, чем любая из соседних материальных поверхностей. Такие LCS, определяемые как экстремумы (или, в более общем смысле, стационарные поверхности) для свойства когерентности за конечное время, действительно будут служить наблюдаемыми центральными элементами моделей траекторий. Примеры притягивания, отталкивания и сдвига ЛКС при прямом численном моделировании двумерной турбулентности показаны на рис.2а.

ЛВП против классических инвариантных многообразий

Классические инвариантные многообразия — это инвариантные множества в фазовом пространстве. ${\mathcal {P}}$ автономной динамической системы. В отличие,LCS должны быть инвариантными только в расширенном фазовом пространстве. Это означает, что даже если лежащая в основе динамическая система автономна , LCS системы на интервале $I$ обычно будет зависеть от времени, действуя как развивающийся скелет наблюдаемых последовательных моделей траекторий. На рисунке 2б показано различие между притягивающим ЛВП и классическим неустойчивым многообразием седловой точки для времен эволюции в автономной динамической системе.

Рис. 2b: Притягивающая LCS — это локально наиболее притягивающая материальная линия (инвариантное многообразие в расширенном фазовом пространстве положения и времени), действующая как основная кривая деформирующих шаблонов трассировки в течение конечного интервала времени. Напротив, неустойчивое многообразие неподвижной точки седлового типа представляет собой инвариантную кривую в фазовом пространстве, выступающую в качестве асимптотической цели для трассирующих шаблонов на бесконечных интервалах времени. Изображение: Мохаммад Фаразманд.

Объективность LCS

Предположим, что фазовое пространство базовой динамической системы представляет собой материальное конфигурационное пространство континуума, такого как жидкость или деформируемое тело. Например, для динамической системы, порожденной нестационарным полем скоростей $$v=v(x,t),\qquad x\in U\subset \mathbb {R} ^{3},$$

открытый набор $U$ возможных положений частиц — это материальное конфигурационное пространство. В этом пространстве ЛСК представляют собой материальные поверхности, образованные траекториями. Содержится ли материальная траектория в ЛСК или нет, это свойство, которое не зависит от выбора координат и, следовательно, не может зависеть от наблюдателя. Как следствие, LCS подчиняются базовому требованию объективности (безразличие к материальной системе координат) механики сплошной среды. Объективность ЛВС требует, чтобы они были инвариантны относительно всех возможных изменений наблюдателя, т. е. линейных изменений координат вида $$x=Q(t)y+b(t),$$где $y\in \mathbb {R} ^{3}$ – вектор преобразованных координат; $Q(t)$ является произвольным $3\times 3$ правильная ортогональная матрица, представляющая зависящие от времени вращения; и $b(t)$ является произвольным $3$-мерный вектор, представляющий зависящие от времени переводы. Как следствие, любое самосогласованное определение или критерий LCS должно быть выражено в терминах величин, инвариантных относительно системы координат. Например, скорость деформации $S(x,t)$ и тензор спина $W(x,t)$ определяется как $$S(x,t)={\frac {1}{2}}\left(\nabla v(x,t)+(\nabla v(x,t))^{T}\right),\qquad W(x,t)={\frac {1}{2}}\left(\nabla v(x,t)-(\nabla v(x,t))^{T}\right),$$преобразуются при евклидовой замене системы отсчета в величины $${\tilde {S}}(y,t)=Q(t)^{T}S(x,t)Q(t),\qquad {\tilde {W}}(y,t)=Q(t)^{T}S(x,t)Q(t)-Q(t)^{T}{\dot {Q}}(t).$$

Таким образом, изменение евклидовой системы отсчета эквивалентно преобразованию подобия для $S(x,t)$и, следовательно, подход LCS, зависящий только от собственных значений и собственных векторов $S(x,t)$ автоматически инвариантен к кадру. Напротив, подход LCS, зависящий от собственных значений $W(x,t)$ обычно не является инвариантным относительно кадра.

Ряд зависящих от системы координат величин, таких как $\nabla v(x,t)$, ${W}(y,t)$, $\nabla F_{t_{0}}^{t}$, а также средние значения или собственные значения этих величин обычно используются при эвристическом обнаружении LCS. Хотя такие величины могут эффективно отмечать особенности поля мгновенной скорости $v(x,t)$, способность этих величин отражать смешивание, транспортировку и когерентность материалов ограничена и априори неизвестна в любой данной системе отсчета. В качестве примера рассмотрим линейное нестационарное движение частицы жидкости

$${\dot {x}}=v(x,t)={\begin{pmatrix}\sin {4t}&2+\cos {4t}\\-2+\cos {4t}&-\sin {4t}\end{pmatrix}}x,$$

которое является точным решением двумерных уравнений Навье–Стокса . Критерий Окубо-Вейсса (зависящий от системы координат) классифицирует всю область в этом потоке как эллиптическую (вихревую), поскольку $q={\frac {1}{2}}({\vert S\vert }^{2}-{\vert W\vert }^{2})<0$ держится, с $\vert \,\cdot \,\vert$ ссылаясь на норму евклидовой матрицы. Однако, как видно на рис. 3, траектории экспоненциально растут вдоль вращающейся линии и экспоненциально сжимаются вдоль другой вращающейся линии. Таким образом, в материальном плане течение в любой системе отсчета является гиперболическим (седлообразным).

Рисунок 3: Мгновенные линии тока и эволюция траекторий, начинающихся изнутри одной из них, в линейном решении уравнения Навье – Стокса. Эта динамическая система классифицируется как эллиптическая на основании ряда диагностик когерентности, зависящих от системы координат, таких как критерий Окубо – Вейсса. (Изображение: Франсиско Берон-Вера)

Поскольку хорошо известно, что уравнение Ньютона для движения частиц и уравнения Навье – Стокса для движения жидкости зависят от системы отсчета, на первый взгляд может показаться нелогичным требовать инвариантности от системы отсчета для LCS, которые состоят из решений этих уравнений, зависящих от системы отсчета. Напомним, однако, что уравнения Ньютона и Навье-Стокса представляют собой объективные физические принципы траекторий материальных частиц . При правильном преобразовании из одной системы отсчета в другую эти уравнения физически генерируют одни и те же материальные траектории в новой системе отсчета. Фактически мы решаем, как преобразовать уравнения движения из $x$-рамка для $y$-кадр через смену координат $x=Q(t)y+b(t)$ именно утверждая, что траектории отображаются в траектории, т. е. требуя $x(t)=Q(t)y(t)+b(t)$ держаться на все времена. Временное дифференцирование этого тождества и подстановка в исходное уравнение в $x$-frame затем дает преобразованное уравнение в $y$-рамка. Хотя этот процесс добавляет к уравнениям движения новые члены (силы инерции), эти инерционные члены возникают именно для обеспечения инвариантности материальных траекторий. Полностью состоящие из материальных траекторий, ЛСК остаются инвариантными в преобразованном уравнении движения, определенном в $y$-система отсчета. Следовательно, любое самосогласованное определение или метод обнаружения LCS также должно быть инвариантным к кадру.

Гиперболические ЛСК

Рис. 4. Притяжение и отталкивание ЛВС в расширенном фазовом пространстве двумерной динамической системы.

Исходя из вышеизложенного, самый простой способ определить притягивающую ЛВС — это потребовать, чтобы она была локально самой сильной притягивающей поверхностью материала в расширенном фазовом пространстве. ${\mathcal {P}}\times {\mathcal {I}}$ (см. рис. 4) . Аналогичным образом, отталкивающую LCS можно определить как локально самую сильную отталкивающую поверхность материала. Совместное притягивание и отталкивание ЛСК обычно называют гиперболическими ЛСК . поскольку они обеспечивают обобщение классической концепции нормально гиперболических инвариантных многообразий в динамических системах за конечное время .

Диагностический подход: гребни конечного показателя Ляпунова (FTLE)

Эвристически можно искать начальные позиции ${\mathcal {M}}(t_{0})$ отталкивания ЛСК как набора начальных условий, при которых происходят бесконечно малые возмущения траекторий, начинающихся из ${\mathcal {M}}(t_{0})$ растут локально с наибольшей скоростью относительно траекторий, начинающихся с ${\mathcal {M}}(t_{0})$. Эвристический элемент здесь заключается в том, что вместо создания сильно отталкивающей поверхности материала просто ищут точки разделения крупных частиц. Такое разделение вполне может быть связано с сильным сдвигом вдоль набора идентифицированных таким образом точек; этот набор вовсе не гарантирует нормального отталкивания на близлежащих траекториях.

Рост бесконечно малого возмущения ${\xi }(t)$ по траектории $x(t,t_{0},x_{0})$ управляется градиентом карты потока $\nabla F_{t_{0}}^{t}$. Позволять $\epsilon {\xi }(t_{0})$ быть небольшим возмущением начального состояния $x_{0}$, с $0<\epsilon \ll 1$, и с $\xi (t_{0})$ обозначающий произвольный единичный вектор в $\mathbb {R} ^{n}$. Это возмущение, вообще говоря, растет по траектории $x(t,t_{0},x_{0})$ в вектор возмущения ${\xi }_{\epsilon }(t_{1};x_{0})=\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\epsilon {\xi }(t_{0})$. Тогда максимальное относительное растяжение бесконечно малых возмущений в точке $x_{0}$ может быть вычислено как

$${\begin{aligned}\delta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})&=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}\left|\xi _{\epsilon }(t_{1};x_{0})\right|\\&=\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}{\sqrt {\left\langle \nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0}),\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0})\right\rangle }}\\&=\max _{\left|\xi (t_{0})\right|=1}{\sqrt {\left\langle \xi (t_{0}),C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\xi (t_{0})\right\rangle }}\\\end{aligned}}$$

где $C_{t_{0}}^{t_{1}}=\left[\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\right]^{T}\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}$ обозначает правый тензор деформации Коши–Грина . Затем делается вывод что максимальное относительное растяжение наблюдается на траектории, начиная с $x_{0}$ это просто $\delta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\sqrt {\lambda _{n}(x_{0})}}$. Поскольку это относительное растяжение имеет тенденцию к быстрому росту, удобнее работать с его показателем роста. $(\log {\delta _{t_{0}}^{t_{1}}})/(t_{1}-t_{0})$ за конечное время , что тогда в точности является показателем Ляпунова (FTLE)

$$\mathrm {FTLE} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\frac {1}{2(t_{1}-t_{0})}}\log \lambda _{n}(x_{0}).$$

Рисунок 5а. Притягивание (красный) и отталкивание (синий) LCS, извлеченные в виде гребней FTLE из двумерного эксперимента по турбулентности (Изображение: Маникандан Матур)

Следовательно, можно ожидать, что гиперболические ЛВП появятся как локальные максимизирующие поверхности (или гребни ) коразмерности один поля FTLE. В большинстве случаев это ожидание оказывается оправданным: время $t_{0}$ положения отталкивающих ЛКС отмечены гребнями $\mathrm {FTLE} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})$. Применяя тот же аргумент в обратном времени,мы получаем это время $t_{1}$ положения притягивающих ЛКС отмечены гребнями обратного поля FTLE $\mathrm {FTLE} _{t_{1}}^{t_{0}}$.

Классический способ вычисления показателей Ляпунова — это решение линейного дифференциального уравнения для линеаризованного отображения потока. $\nabla F_{t_{0}}^{t}(x_{0})$. Более целесообразный подход состоит в вычислении поля FTLE на основе простой конечно-разностной аппроксимации градиента деформации. Например, в трехмерном потоке запускаем траекторию $x(t;t_{0},x_{0})$ из любого элемента $x_{0}$ сетки начальных условий. Использование координатного представления $x=(x^{1},x^{2},x^{3})$ по развивающейся траектории $x(t;t_{0},x_{0})$, мы аппроксимируем градиент карты потока как $$\nabla F_{t_{0}}^{t}(x_{0})\approx {\begin{pmatrix}{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{1}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{1}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\\{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{2}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{2}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\\{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{1})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{1})}{\left|2\delta _{1}\right|}}&{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{2})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{2})}{\left|2\delta _{2}\right|}}&{\frac {x^{3}(t;t_{0},x_{0}+\delta _{3})-x^{3}(t;t_{0},x_{0}-\delta _{3})}{\left|2\delta _{3}\right|}}\end{pmatrix}},$$

Рисунок 5б. Притягивающие (синий) и отталкивающий (красный) LCS, извлеченные в виде гребней FTLE из двумерного моделирования вихревой улицы фон Кармана (Изображение: Йенс Кастен)

с небольшим вектором $\delta _{i}$ указывая на $x^{i}$ координатное направление. Для двумерных потоков только первый $2\times 2$ второстепенная матрица вышеуказанной матрицы актуальна.

Рисунок 6. Хребты FTLE выделяют как гиперболические линии LCS, так и линии сдвига материала, такие как границы русла реки в 3D-модели залива Нью-Ривер, Онслоу, Северная Каролина (Изображение: Аллен Сандерсон).

Проблемы с выводом гиперболических LCS из гребней FTLE

Гребни FTLE оказались простым и эффективным инструментом для визуализации гиперболических ЛСК в ряде физических задач, позволяя получить интригующие изображения начальных положений гиперболических ЛСК в различных приложениях (см., например, рис. 5а-б). Однако гребни FTLE, полученные в скользящих временных окнах $[t_{0}+T,t_{1}+T]$ не образуют материальных поверхностей. Таким образом, гребни $\mathrm {FTLE} _{t_{0}+T}^{t_{1}+T}(x_{0})$ в зависимости от $T$ не может использоваться для определения лагранжевых объектов, таких как гиперболические ЛСК. Действительно, поверхность локально сильного отталкивающего материала над $[t_{0},t_{1}]$ как правило, не будет играть ту же роль в течение $[t_{0}+T,t_{1}+T]$ и, следовательно, его развивающееся положение во времени $t_{0}+T$ не будет хребтом для $\mathrm {FTLE} _{t_{0}+T}^{t_{1}+T}$. Тем не менее, развивающиеся гребни FTLE второй производной вычисляется по скользящим интервалам вида $[t_{0}+T,t_{1}+T]$ некоторые авторы отождествляли их с LCS. В поддержку этой идентификации также часто утверждают, что поток материала над такими гребнями FTLE со скользящим окном обязательно должен быть небольшим.

Идентификация «FTLE ridge=LCS», однако страдает от следующих концептуальных и математических проблем:

• Гребни FTLE второй производной обязательно представляют собой прямые линии и, следовательно, не существуют в физических задачах.
• Гребни FTLE, рассчитанные по скользящим временным окнам $[t_{0}+T,t_{1}+T]$ с различной $T$ обычно не лагранжевы, и поток через них, как правило, не мал.
• В частности, широко используемая формула потока материала для гребней FTLE неверно , даже для прямых гребней FTLE
• Гребни FTLE отмечают гиперболические положения LCS, но также выделяют поверхности с высоким сдвигом. В приложениях часто возникает извилистая смесь обоих типов поверхностей (см. пример на рис. 6).
• Помимо гиперболических LCS, выделенных гребнями FTLE, существует несколько других типов LCS (эллиптические и параболические).

Локальный вариационный подход: сжатие и растяжение поверхностей

Локальная вариационная теория гиперболических LCS основывается на их первоначальном определении как сильнейшего отталкивания или отталкивания поверхностей материала в потоке на интервале времени. $[t_{0},t_{1}]$. В начальной точке $x_{0}$ , позволять $n_{0}$обозначают единицу измерения, нормальную к исходной поверхности материала ${\mathcal {M}}(t_{0})$ (см. рис. 6). В силу неизменности материальных линий касательное пространство $T_{x_{0}}{\mathcal {M}}(t_{0})$ отображается в пространство касательное $T_{x_{1}}{\mathcal {M}}(t_{1})$по линеаризованной карте потока $\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})$. В то же время образ нормальный $n_{0}$ нормально под $\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})$ как правило, не остается нормальным для ${\mathcal {M}}(t_{1})$.Следовательно, помимо нормальной составляющей длины $\rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0,}n_{0})$адвектируемая нормаль также имеет тангенциальную составляющую длины $\sigma _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})$ (см. рис. 7).

Рисунок 7. Линеаризованная геометрия потока вдоль развивающейся поверхности материала.

Если $\rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})>1$, то развивающаяся поверхность материала ${\mathcal {M}}(t)$ строго отталкивает ближайшие траектории к концу временного интервала $[t_{0},t_{1}]$. Сходным образом, $\rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})<1$сигнализирует о том, что ${\mathcal {M}}(t)$ строго притягивает близлежащие траектории вдоль своих нормальных направлений. Отталкивающая (притягивающая) ЛВС на интервале $[t_{0},t_{1}]$ можно определить как поверхность материала ${\mathcal {M}}(t)$ чьё чистое отвращение $\rho _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0},n_{0})$ является поточечно максимальным (минимальным) относительно возмущенийисходного нормального векторного поля $n_{0}$. Как и ранее, мы называем отталкивание и притяжение ЛВП в совокупности гиперболическими ЛВП .

Решение этих принципов локального экстремума для гиперболических ЛВП в двух и трех измерениях дает единичные нормальные векторные поля, к которым гиперболические ЛВП должны всюду касаться. Существование таких нормальных поверхностей также требует условия интегрируемости типа Фробениуса в трехмерном случае. Все эти результаты можно резюмировать следующим образом:

Гиперболические условия ЛВП из локальной вариационной теории в размерностях n=2 и n=3

ЛКС	Нормальное векторное поле ${\mathcal {M}}(t_{0})$ для $n=2,3$	ОДА для ${\mathcal {M}}(t_{0})$ для n=2	ПДЭ типа Фробениуса для ${\mathcal {M}}(t_{0})$ для n=3
Привлечение	$\xi _{1}(x_{0})$	$x_{0}^{\prime }=\xi _{2}(x_{0})$ ( растягивающиеся линии )	$\left\langle \nabla \times \xi _{1}(x_{0}),\xi _{1}(x_{0})\right\rangle =0$ ( растягивающиеся поверхности )
Отталкивание	$\xi _{n}(x_{0})$	$x_{0}^{\prime }=\xi _{1}(x_{0})$ ( сократить линии )	$\left\langle \nabla \times \xi _{3}(x_{0}),\xi _{3}(x_{0})\right\rangle =0$ ( усадочные поверхности )

Отталкивающие ЛКС получаются как большинство отталкивающих линий усадки, начиная с локальных максимумов $\lambda _{2}(x_{0})$. Притягивающие ЛВС получаются как наиболее притягивающие растянутые линии, начиная с локальных минимумов $\lambda _{1}(x_{0})$. Этими отправными точками служат начальные положения исключительных траекторий седлового типа в потоке. Пример локального вариационного расчета отталкивающей ЛВС показан на фиг. 8. Вычислительный алгоритм доступен в LCS Tool.

Рисунок 8. Отталкивающая ЛВС, визуализированная как гребень FTLE (слева) и рассчитанная точно как линия сокращения (справа), т.е. решение ОДУ $x_{0}^{\prime }=\xi _{1}(x_{0})$ начиная с глобального максимума $\lambda _{2}(x_{0})$. (Изображение: Мохаммад Фаразманд)

В трехмерных потоках вместо решения УЧП Фробениуса (см. таблицу выше) для гиперболических ЛСК более простой подход состоит в том, чтобы построить пересечения гиперболических ЛСК с выбранными двумерными плоскостями и численно подогнать поверхность к большому количеству таких кривых пересечения. Обозначим единичную нормаль двумерной плоскости $\Pi$ к $n_{\Pi }$. Кривая пересечения двумерной отталкивающей поверхности LCS с плоскостью $\Pi$ это нормально для обоих $n_{\Pi }$ и к агрегату нормально $\xi _{3}(x_{0})$ ЛКС. Как следствие, кривая пересечения $x_{0}(s)$ удовлетворяет ОДУ

$$x_{0}^{\prime }=\xi _{3}(x_{0})\times n_{\Pi },$$

чьи траектории мы называем приведенными линиями сжатия . (Строго говоря, это уравнение не является обыкновенным дифференциальным уравнением, поскольку его правая часть представляет собой не векторное поле, а поле направлений, которое, вообще говоря, не является глобально ориентируемым). Пересечения гиперболических ЛСК с $\Pi$ являются наиболее быстро сжимающимися линиями с уменьшенной усадкой. Определение таких линий усадки в гладком семействе соседних $\Pi$ плоскости, а затем подгонка поверхности к полученному таким образом семейству кривых дает численную аппроксимацию двумерной отталкивающей LCS.

Глобальный вариационный подход: линии сжатия и растяжения как нуль-геодезические

Обычная поверхность материала испытывает сдвиг и деформацию при деформации, оба из которых постоянно зависят от начальных условий благодаря непрерывности карты. $F_{t_{0}}^{t}$.Усредненные деформация и сдвиг в полосе ${\mathcal {O}}(\epsilon )$-поэтому близкие линии материала обычно показывают ${\mathcal {O}}(\epsilon )$ вариация внутри такой полосы.Двумерная геодезическая теория LCS ищет исключительно согласованные места, где эта общая тенденция не работает, что приводит к на порядок меньшей изменчивости сдвига или деформации, чем обычно ожидается в пределах ${\mathcal {O}}(\epsilon )$ полоска. В частности, геодезическая теория ищет ЛСК как особые материальные линии, вокруг которых ${\mathcal {O}}(\epsilon )$ полоски материала показывают нет ${\mathcal {O}}(\epsilon )$ изменчивость либо в материальной линииусредненный сдвиг ( Shearless LCS ) или усредненная деформация по линии материала ( Stainless или Elliptic LCS ). Такие ЛВС оказываются нуль-геодезическими соответствующих метрических тензоров, определяемых полем деформаций — отсюда и название этой теории.

Бессдвиговые ЛСК оказались нуль-геодезическими лоренцева метрического тензора. $D_{t_{0}}^{t_{1}}$ определяется как

$$D_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})={\frac {1}{2}}\left[C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\Omega -\Omega C_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})\right],\qquad \Omega ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}.$$

Можно доказать, что такие нуль-геодезические являются тензорными линиями тензора деформации Коши – Грина, т. е. касаются поля направлений, образованного полями собственных векторов деформации. $\xi _{i}(x_{0})$. В частности, отталкивающие LCS — это траектории $x_{0}^{\prime }=\xi _{1}(x_{0})$ начиная с локальных максимумов $\lambda _{2}(x_{0})$ поле собственных значений. Аналогично, притягивающие ЛВС – это траектории $x_{0}^{\prime }=\xi _{2}(x_{0})$ начиная с локальных минимумов $\lambda _{1}(x_{0})$ поле собственных значений. Это согласуется с выводом локальной вариационной теории ЛВС. Однако геодезический подход также проливает больше света на надежность гиперболических ЛСК: гиперболические ЛСК преобладают только как стационарные кривые усредненного функционала сдвига при вариациях, которые оставляют их конечные точки фиксированными. Это следует противопоставить параболическим ЛСК (см. ниже), которые также являются ЛСК без сдвига, но преобладают в виде стационарных кривых функционала сдвига даже при произвольных изменениях. Как следствие, отдельные траектории объективны, и утверждения о связных структурах, которые они образуют, также должны быть объективными.

Пример применения показан на рис. 9, где внезапное появление гиперболического ядра (самой сильной притягивающей части линии растяжения) внутри разлива нефти вызвало Тигрового хвоста» заметную нестабильность формы разлива нефти по типу « .

Эллиптические ЛСК

Эллиптические LCS представляют собой закрытые и вложенные друг в друга материальные поверхности, которые действуют как строительные блоки лагранжевых эквивалентов вихрей, т.е. области траекторий с преобладанием вращения, которые обычно пересекают фазовое пространство без существенного растяжения или складывания. Они имитируют поведение торов Колмогорова–Арнольда–Мозера (КАМ) , которые образуют эллиптические области в гамильтоновых системах . К когерентности можно приблизиться либо через их однородное вращение материала, либо через их однородные свойства растяжения.

Вращательная когерентность от угла полярного вращения (PRA)

В качестве простейшего подхода к вращательной когерентности можно определить эллиптическую LCS как трубчатую поверхность материала, вдоль которой небольшие объемы материала совершают одно и то же чистое вращение за интервал времени. $[t_{0},t_{1}]$ интереса. Проблема в том, что в каждом элементе объема материала все отдельные волокна материала (касательные векторы к траекториям) совершают разные вращения.

Чтобы получить четко определенное объемное вращение для каждого элемента материала, можно использовать уникальные левые и правые полярные разложения градиента потока в виде

$$\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}=R_{t_{0}}^{t_{1}}U_{t_{0}}^{t_{1}}=V_{t_{0}}^{t_{1}}R_{t_{0}}^{t_{1}},$$где собственный ортогональный тензор $R_{t_{0}}^{t_{1}}$ называется тензором вращения , а симметричными положительно определенными тензорами. $U_{t_{0}}^{t_{1}},V_{t_{0}}^{t_{1}}$ называются левым тензором растяжения и правым тензором растяжения соответственно.

Поскольку тензор деформации Коши – Грина можно записать как $$C_{t_{0}}^{t_{1}}=[\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}]^{T}\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}=U_{t_{0}}^{t_{1}}U_{t_{0}}^{t_{1}}=V_{t_{0}}^{t_{1}}V_{t_{0}}^{t_{1}},$$локальная деформация материала, описываемая собственными значениями и собственными векторами $C_{t_{0}}^{t_{1}}$ полностью охвачены сингулярными значениями и сингулярными векторами тензоров растяжения. Оставшийся фактор градиента деформации представлен выражением $R_{t_{0}}^{t_{1}}$, интерпретируемый как объемная твердотельная составляющая вращения объемных элементов. В плоских движениях это вращение определяется относительно нормали плоскости. В трех измерениях вращение определяется относительно оси, определяемой собственным вектором $R_{t_{0}}^{t_{1}}$ соответствующий его единичному собственному значению. В потоках более высокой размерности тензор вращения нельзя рассматривать как вращение вокруг одной оси.

Рисунок 10а. Эллиптические ЛКС, выявленные замкнутыми кривыми уровня распределения PRA при двумерном моделировании турбулентности. (Изображение: Мохаммад Фаразманд)

Рисунок 10б. Эллиптические ЛКС, выявленные по замкнутым кривым уровня распределения ПРА в установившемся потоке АВС . (Изображение: Мохаммад Фаразманд)

Следовательно, в двух и трех измерениях существует полярный угол вращения (PRA). $\theta _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})$ характеризующее вращение материала, создаваемое $R_{t_{0}}^{t_{1}}$ для элемента объема с центром в начальном состоянии $x_{0}$. Этот PRA четко определен до значений, кратных $2\pi$. Для двумерных потоков PRA можно вычислить из инвариантов $C_{t_{0}}^{t_{1}}$ используя формулы

$${\begin{aligned}\cos \theta _{t_{0}}^{t_{1}}&={\frac {\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\rangle }{\sqrt {\lambda _{i}}}},\quad i=1\,\,or\,\,\,2,\\\sin \theta _{t_{0}}^{t_{1}}&=\left(-1\right)^{j}{\frac {\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{j}\rangle }{\sqrt {\lambda _{j}}}},\qquad (i,j)=(1,2)\,\,or\,\,(2,1),\\\end{aligned}}$$

которые дают четырехквадрантную версию PRA по формуле

$$\theta _{t_{0}}^{t}=\left[1-{\rm {sign\,}}\left(\sin \theta _{t_{0}}^{t}\right)\right]\pi +{\rm {sign\,}}\left(\sin \theta _{t_{0}}^{t}\right)\cos ^{-1}\left(\cos \theta _{t_{0}}^{t}\right).$$

Для трехмерных потоков PRA снова можно вычислить из инвариантов $C_{t_{0}}^{t_{1}}$ из формул

$${\begin{aligned}\cos \theta _{t_{0}}^{t}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{3}{\frac {\left\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\right\rangle }{\sqrt {\lambda _{i}}}}-1\right),\\\sin \theta _{t_{0}}^{t}&={\frac {\left\langle \xi _{i},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{j}\right\rangle -\left\langle \xi _{j},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{i}\right\rangle }{2\epsilon _{ijk}e_{k}}},\qquad i\neq j,\end{aligned}}$$где $\epsilon _{ijk}$ это символ Леви-Чивита , $\mathbf {e} =\left\{e_{k}\right\}$ — собственный вектор, соответствующий единичному собственному вектору матрицы $\left[K_{t_{0}}^{t}\right]_{jk}=\left\langle \xi _{j},\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}\xi _{k}\right\rangle /{\sqrt {\lambda _{k}}}$.

Время $t_{0}$ положения эллиптических ЛКС визуализируются как трубчатые наборы уровней распределения PRA $\theta _{t_{0}}^{t}$. Таким образом, в двумерном измерении (полярные) эллиптические LCS представляют собой просто замкнутые кривые уровня PRA, которые оказываются объективными. В трех измерениях (полярные) эллиптические LCS представляют собой тороидальные или цилиндрические поверхности уровня PRA, которые, однако, не являются объективными и, следовательно, обычно изменяются во вращающихся системах отсчета. Границы когерентных лагранжевых вихрей можно представить как крайние члены вложенных семейств эллиптических ЛСК. Двумерные и трехмерные примеры эллиптических ЛКС, выявленных трубчатыми поверхностями уровня ПРА, показаны на рис. 10а-б.

Вращательная когерентность по лагранжевому отклонению завихренности (LAVD)

Наборы уровней PRA объективны в двух измерениях, но не в трех измерениях. Дополнительным недостатком тензора вращения полюсов является его динамическая несогласованность: вращения полюсов, вычисленные на соседних подинтервалах общей деформации, не суммируются с вращением, вычисленным для полного интервала той же деформации. Поэтому, пока $R_{t_{0}}^{t_{1}}$ является ближайшим тензором вращения к $\nabla F_{t_{0}}^{t_{1}}$ в $L^{2}$ норма за фиксированный интервал времени $[t_{0},t_{1}]$, эти кусочные наилучшие аппроксимации не образуют семейство вращений твердого тела, поскольку $t_{0}$ и $t_{1}$ разнообразны. По этой причине вращения, предсказанные тензором полярного вращения в различных интервалах времени, отклоняются от экспериментально наблюдаемого среднего вращения материала жидких элементов.

Рисунок 11a: Вращательно-когерентные мезомасштабные границы вихрей в океане в момент времени t0 = 11 ноября 2006 г., определенные на основе спутниковых данных о скорости поверхности с использованием времени интегрирования t1-t0=90 дней. Границы идентифицируются как крайние замкнутые контуры ЛАВД с небольшим недостатком выпуклости. На заднем плане также показан контурный график поля LAVD для справки. (Изображение: Алиреза Хаджигасем)

Рисунок 11b: Материально адвектируемые вращательно-когерентные мезомасштабные границы вихрей и центры вихрей в океане, а также репрезентативные траектории инерционных частиц, инициализированные на границах вихрей. Центры вихрей получаются как локальные максимумы поля LAVD. Как можно доказать математически, тяжелые частицы (циан) сходятся к центрам антициклонических (по часовой стрелке) вихрей. Легкие частицы (черные) сходятся к центрам циклонических (по часовой стрелке) вихрей. (Фильм: Алиреза Хаджигасем)

Альтернатива классической полярной декомпозиции обеспечивает решение как проблемы необъективности, так и проблемы динамической несогласованности. В частности, динамическое полярное разложение (DPD). градиента деформации также имеет вид

$$\nabla F_{t_{0}}^{t}=O_{t_{0}}^{t}M_{t_{0}}^{t}=N_{t_{0}}^{t}O_{t_{0}}^{t},$$

где собственный ортогональный тензор $O_{t_{0}}^{t}$ — тензор динамического вращения и неособые тензоры $M_{t_{0}}^{t},N_{t_{0}}^{t}$ — левый тензор динамического растяжения и правый тензор динамического растяжения соответственно. Как и классическое полярное разложение, ДПД действителен в любом конечном измерении. Однако в отличие от классического полярного разложения тензоры динамического вращения и растяжения получаются в результате решения линейных дифференциальных уравнений, а не в результате манипуляций с матрицами. В частности, $O_{t_{0}}^{t}=\nabla _{a_{0}}a(t)$ - градиент деформации чисто вращательного потока

$${\dot {a}}=W\left(x(t;x_{0}),t\right)a,$$

и $M_{t_{0}}^{t}=\nabla _{b_{0}}b(t)$ – градиент деформации чисто деформирующего течения

$${\dot {b}}=O_{t}^{t_{0}}S\left(x(t;x_{0}),t\right)O_{t_{0}}^{t}b.$$.

Тензор динамического вращения $O_{t_{0}}^{t}$ Далее можно разложить на два градиента деформации: один для пространственно однородного (твердотельного) вращения, а другой, который отклоняется от этого равномерного вращения:

$$O_{t_{0}}^{t}=\Phi _{t_{0}}^{t}\Theta _{t_{0}}^{t}.$$

Как пространственно независимое вращение твердого тела, собственный тензор ортогонального относительного вращения $\Phi _{t_{0}}^{t}=\partial _{\alpha _{0}}\alpha (t)$ динамически согласован и служит градиентом деформации потока относительного вращения.

$${\dot {\alpha }}=\left[W\left(x(t;x_{0}),t\right)-{\bar {W}}\left(t\right)\right]\alpha .$$

Напротив, собственный тензор ортогонального среднего вращения $\Theta _{t_{0}}^{t}=D_{\beta _{0}}\beta (t)$ – градиент деформации потока среднего вращения

$${\dot {\beta }}=\Phi _{t}^{t_{0}}{\bar {W}}\left(t\right)\Phi _{t_{0}}^{t}\beta .$$Динамическая согласованность $\Phi _{t_{0}}^{t}$ подразумевает, что общий угол, охватываемый $\Phi _{t_{0}}^{t}$ вращение вокруг своей оси динамически согласовано. Этот собственный угол поворота $\psi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ также объективно и оказывается равным половине отклонения завихренности, усредненного по Лагранжу ( LAVD ). LAVD определяется как усредненная по траектории величина отклонения завихренности от ее пространственного среднего значения. С завихренностью $\omega (x,t)=\nabla \times v(x,t)$ и его пространственное среднее $${\bar {\omega }}(t)={\frac {\int _{U(t)}\omega (x,t)\,dV}{\mathrm {vol} \,(U(t))}},$$LAVD за определенный интервал времени $[t_{0},t_{1}]$ поэтому принимает форму $$\mathrm {LAVD} _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0}):=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left|\omega (x(s;x_{0}),s)-{\bar {\omega }}(s)\right|\,ds,$$

с $U(t)$ обозначающий (возможно, изменяющуюся во времени) область определения поля скорости $v(x,t)$. Этот результат применим как в двух-, так и в трех измерениях и позволяет вычислить четко определенный, объективный и динамически согласованный угол вращения материала по любой траектории.

Рисунок 11c: Вращательно-когерентный мезомасштабный вихрь (желтый) в модели океана оценки состояния Южного океана (SOSE) в момент t0 = 15 мая 2006 г., рассчитанный как трубчатая поверхность уровня LAVD в течение t1-t0 = 120 дней. Также показаны близлежащие поверхности уровня LAVD, чтобы проиллюстрировать некогерентность вращения вне вихря. (Изображение: Алиреза Хаджигасем)

Крайние сложные трубчатые кривые уровня LAVD определяют начальные положения вращательно-когерентных границ материальных вихрей в двумерных нестационарных потоках (см. рис. 11а). По конструкции эти границы могут иметь поперечную нить, но любая развивающаяся нить продолжает вращаться вместе с границей без глобального поперечного отклонения от материального вихря. (Исключением являются невязкие течения, где возможен такой глобальный отрыв поверхностей уровня LAVD от вихря, поскольку жидкие элементы всегда сохраняют скорость своего материального вращения. ). Примечательно, что центры вращательно-когерентных вихрей (определяемых локальными максимумами поля LAVD) могут оказаться наблюдаемыми центрами притяжения или отталкивания для движения частиц конечного размера (инерционного) в геофизических потоках (см. Рис. 11b). В трехмерных потоках трубчатые поверхности уровня LAVD определяют начальные положения двумерных вихревых граничных поверхностей (см. рис. 11c), которые остаются вращательно-когерентными в течение времени intcenter|erval $[t_{0},t_{1}]$ (см. рис. 11г).

Рис. 11c Адвекция материала вращательно-когерентного лагранжева вихря и его ядра в наборе данных 3D-модели SOSE. (Анимация: Алиреза Хаджигасем)

Когерентность на основе растяжения на основе локального вариационного подхода: поверхности сдвига

Локальная вариационная теория эллиптических LCS нацелена на поверхности материала, которые локально максимизируют сдвиг материала в течение конечного интервала времени. $[t_{0},t_{1}]$ интереса. Это означает, что в начальной точке каждая точка $x_{0}\in {\mathcal {M}}(t_{0})$ эллиптической ЛВП ${\mathcal {M}}(t)$, касательное пространство $T_{x_{0}}{\mathcal {M}}(t_{0})$ — плоскость, вдоль которой происходит локальный лагранжев сдвиг $\sigma _{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})$ является максимальным (см. рис. 7).

Вводя двумерное векторное поле сдвига $$\eta ^{\pm }(x_{0}):={\sqrt {\frac {\lambda _{2}(x_{0})-1}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {1-\lambda _{1}(x_{0})}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{2}(x_{0}),$$и трехмерное сдвиговое нормальное векторное поле $$n_{\pm }(x_{0})={\sqrt {\frac {\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}{{\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}+{\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}{{\sqrt {\lambda _{1}(x_{0})}}+{\sqrt {\lambda _{3}(x_{0})}}}}}\xi _{3}(x_{0}),$$

критерии для двух- и трехмерных эллиптических ЛСК можно резюмировать следующим образом:

Эллипитные условия ЛВП из локальной вариационной теории в размерностях n=2 и n=3

ЛКС	Нормальное векторное поле ${\mathcal {M}}(t_{0})$ для n=3	ОДА для ${\mathcal {M}}(t_{0})$ для n=2	ПДЭ типа Фробениуса для ${\mathcal {M}}(t_{0})$ для n=3
Эллиптический	$n_{\pm }(x_{0})$	$x_{0}^{\prime }=\eta ^{\pm }(x_{0})$ ( линии сдвига )	$\langle \nabla \times n_{\pm }(x_{0}),n_{\pm }(x_{0})\rangle =0$ ( поверхности сдвига )

Для трехмерных потоков, как и в случае гиперболических ЛВС, можно избежать решения УЧП Фробениуса. Вместо этого можно построить пересечения трубчатой ​​эллиптической ЛСК с выбранными двумерными плоскостями и численно подогнать поверхность под большое количество этих кривых пересечения. Что касается гиперболических ЛВС, описанных выше, обозначим единичную нормаль двумерной плоскости $\Pi$ к $n_{\Pi }$. И снова кривые пересечения эллиптических ЛВП с плоскостью $\Pi$ для обоих это нормально $n_{\Pi }$ и к агрегату нормально $n_{\pm }(x_{0})$ ЛКС. Как следствие, кривая пересечения $x_{0}(s)$ удовлетворяет ОДУ уменьшенного сдвига $$x_{0}^{\prime }=n_{\pm }(x_{0})\times n_{\Pi },$$траектории которых мы называем приведенными линиями сдвига . (Строго говоря, приведенное сдвиговое ОДУ не является обыкновенным дифференциальным уравнением, поскольку его правая часть представляет собой не векторное поле, а поле направлений, которое, как правило, не является глобально ориентируемым). Пересечения трубчатых эллиптических ЛСК с $\Pi$ — предельные циклы приведенной сдвиговой ОДУ. Определение таких предельных циклов в гладком семействе близких $\Pi$ плоскостях, затем подгонка поверхности к семейству предельных циклов дает численную аппроксимацию двумерной поверхности сдвига. Трехмерный пример этого локального вариационного расчета эллиптической ЛСК показан на рис. 11.

Рисунок 11: Эллиптическая лагранжева когерентная структура (или LCS, зеленая, слева) и ее адвектируемое положение под картой потока (справа) хаотически вынужденного потока ABC. Зеленым цветом также показан круг начальных условий, расположенный вокруг ЛСК (слева), адвектируемый за то же время (справа). Изображение: Дэниел Блазевски.

Когерентность на основе растяжения из глобального вариационного подхода: лямбда-линии

Рис. 13. Вложенное семейство эллиптических ЛСК, полученных как $\lambda$-линии, образующие транспортные барьеры вокруг Большого Красного Пятна (GRS) Юпитера. Эти LCS были идентифицированы в двумерном нестационарном поле скоростей, восстановленном по видеозаписи Юпитера. Цветом обозначены соответствующие значения параметра. $\lambda$. Также показан совершенно когерентный ( $\lambda =1$-линия), ограничивающая ядро ​​GRS, а также крайнюю эллиптическую LCS, служащую лагранжевой вихревой границей GRS. Изображение: Алиреза Хаджигасем.

Как отмечалось выше в отношении гиперболических LCS, глобальный вариационный подход был разработан в двух измерениях для отражения эллиптических LCS как замкнутых стационарных кривых лагранжевого функционала деформации, усредненного по материальной линии. Такие кривые оказываются замкнутыми нуль-геодезическими обобщенного семейства тензоров деформаций Грина–Лагранжа. ${\frac {1}{2}}(C_{t_{0}}^{t_{1}}-\lambda I)$, где $\lambda >0$ – положительный параметр (множитель Лагранжа). Можно показать, что замкнутые нуль-геодезические совпадают с предельными циклами семейства полей направлений

$$\eta _{\lambda }^{\pm }(x_{0}):={\sqrt {\frac {\lambda _{2}(x_{0})-\lambda ^{2}}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{1}(x_{0})\pm {\sqrt {\frac {\lambda ^{2}-\lambda _{1}(x_{0})}{\lambda _{2}(x_{0})-\lambda _{1}(x_{0})}}}\xi _{2}(x_{0}),$$

Обратите внимание, что для $\lambda =1$, поле направления $\eta _{\lambda }^{\pm }(x_{0}$ совпадает с полем направлений $\eta ^{\pm }(x_{0}$ для линий сдвига, полученных выше из локальной вариационной теории ЛВС.

Траектории $\eta _{\lambda }^{\pm }$ называются $\lambda$-линии. Примечательно, что это начальные положения материальных линий, которые бесконечно равномерно растягиваются под картой потока. $F_{t_{0}}^{t_{1}}$. В частности, любое подмножество $\lambda$-линия растянута в раз $\lambda$ между временами $t_{0}$ и $t_{1}$. В качестве примера на рис. 13 показаны эллиптические ЛСК, идентифицированные как замкнутые. $\lambda$-линии внутри Большого Красного Пятна Юпитера.

Параболические LCS

Параболические ЛСК представляют собой поверхности материала без сдвига, которые очерчивают ядра наборов траекторий струйного типа. Такие ЛКС характеризуются как малым растяжением (поскольку они находятся внутри нерастягивающейся структуры), так и малым сдвигом (поскольку сдвиг материала в активных зонах струи минимален).

Диагностический подход: траншеи показателей Ляпунова конечного времени (FTLE)

Поскольку как сдвиг, так и растяжение вдоль параболической ЛСК максимально малы, можно искать начальные положения таких материальных поверхностей как траншеи поля FTLE. $FTLE_{t_{0}}^{t_{1}}(x_{0})$. Геофизический пример параболического LCS (обобщенного ядра струи), выявленного в виде желоба поля FTLE, показан на рис. 14а.

Глобальный вариационный подход: гетероклинические цепи нуль-геодезических

В двух измерениях параболические ЛВП также являются решениями глобального вариационного принципа без сдвига, описанного выше для гиперболических ЛВП. По существу, параболические ЛСК состоят из линий сокращения и линий растяжения, которые представляют собой геодезические лоренцева метрического тензора. $D_{t_{0}}^{t_{1}}$. Однако, в отличие от гиперболических ЛСК, параболические ЛСК удовлетворяют более надежным граничным условиям: они остаются стационарными кривыми функционала сдвига, усредненного по материальной линии, даже при изменении их конечных точек. Этим объясняется высокая степень устойчивости и наблюдаемости, которую проявляют ядра струй при перемешивании. Этому следует противопоставить высокочувствительный и затухающий след гиперболических LCS вдали от сильно гиперболических областей в диффузных трассерных узорах.

При переменных конечных граничных условиях начальные положения параболических ЛСК оказываются чередующимися цепочками линий сжатия и линий растяжения, соединяющих особенности этих линейных полей. Эти особенности возникают в точках, где $\lambda _{1}(x_{0})=\lambda _{2}(x_{0})$, и, следовательно, между двумя моментами времени не происходит никакой бесконечно малой деформации $t_{0}$ и $t_{1}$. На рис. 14б показан пример параболических ЛТС в атмосфере Юпитера, локализованных с помощью вариационной теории. Формы шевронного типа, образующиеся из круглых сгустков материала, расположенных вдоль ядра струи, характерны для трассерной деформации вблизи параболических ЛТС.

Рисунок 14b: Параболические LCS, очерчивающие нестационарные ядра лагранжевых джетов в атмосфере Юпитера. Также показана эволюция эллиптической LCS, обозначающей границу Большого Красного Пятна. Видео: Алиреза Хаджигасем.

Пакеты программного обеспечения для вычислений LCS

Адвекция частиц и расчет показателя Ляпунова за конечное время :

• МонГен ( исходный код )
• Комплект LCS MATLAB ( исходный код )
• ФлоуВК ( исходный код )
• cuda_ftle ( исходный код )
• ОТПУСТИ СИТУАЦИЮ
• Ньюман ( исходный код )
• ФлоуТК ( исходный код )

См. также

• Турбулентность
• Теория хаоса
• Теория динамических систем
• Спектральное подмногообразие
• Эйлерова когерентная структура
• Когерентная турбулентная структура

Дальнейшее чтение

• Салман, Х.; Хестхейвен, Дж. С.; Уорбертон, Т.; Халлер, Г. (2006). «Прогнозирование транспорта лагранжевыми когерентными структурами методом высокого порядка» . Теоретическая и вычислительная гидродинамика . 21 (1): 39–58. Бибкод : 2007ThCFD..21...39S . дои : 10.1007/s00162-006-0031-0 . S2CID   11159109 .
• Грин, Массачусетс; Роули, CW; Халлер, Г. (2007). «Обнаружение лагранжевых когерентных структур в трехмерной турбулентности». Журнал механики жидкости . 572 : 111–120. Бибкод : 2007JFM...572..111G . CiteSeerX   10.1.1.506.7756 . дои : 10.1017/S0022112006003648 . S2CID   1074531 .