Нормально гиперболическое инвариантное многообразие

Нормально гиперболическое инвариантное многообразие ( NHIM ) является естественным обобщением гиперболической неподвижной точки и гиперболического множества . Эвристически разницу можно описать следующим образом: для многообразия $\Lambda$ быть обычно гиперболическим, нам разрешено предполагать, что динамика $\Lambda$ сама по себе нейтральна по сравнению с соседней динамикой, что недопустимо для гиперболического множества. NHIM были представлены Нилом Фенихелем в 1972 году. В этой и последующих статьях Фенихель доказывает, что NHIM обладают стабильными и нестабильными многообразиями и, что более важно, NHIM и их стабильные и нестабильные многообразия сохраняются при небольших возмущениях. Таким образом, в задачах теории возмущений существуют инвариантные многообразия с определенными свойствами гиперболичности, которые, в свою очередь, можно использовать для получения качественной информации о динамической системе.

Определение

Пусть M — компактное гладкое , f : M → M диффеоморфизм — и Df : TM → TM дифференциал — f . многообразие F если -инвариантное подмногообразие Λ в M называется нормально гиперболическим инвариантным многообразием, ограничение на Λ касательного расслоения к M допускает расщепление в сумму трех Df -инвариантных подрасслоений, одно из которых является касательным расслоением к M. $\Lambda$, остальные — стабильный расслоение и нестабильный расслоение и обозначаются E ^с и Е ^в , соответственно. По отношению к некоторой римановой метрике на M ограничение Df на E ^с должно быть сокращение и ограничение Df до E ^в должно быть расширением и должно быть относительно нейтральным по отношению к $T\Lambda$. Таким образом, существуют константы $0<\lambda <\mu ^{-1}<1$ и c > 0 такие, что

$T_{\Lambda }M=T\Lambda \oplus E^{s}\oplus E^{u}$

$(Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}{\text{ and }}(Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}{\text{ for all }}x\in \Lambda ,$

$\|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|{\text{ for all }}v\in E^{s}{\text{ and }}n>0,$

$\|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|{\text{ for all }}v\in E^{u}{\text{ and }}n>0,$

и

$\|Df^{n}v\|\leq c\mu ^{|n|}\|v\|{\text{ for all }}v\in T\Lambda {\text{ and }}n\in \mathbb {Z} .$

См. также

• Стабильный коллектор
• Центральный коллектор
• Гиперболическая фиксированная точка
• Гиперболический набор
• Гиперболические лагранжевы когерентные структуры

Ссылки

• М.В. Хирш, К.С. Пью и М. Шуб Инвариантные многообразия , Springer-Verlag (1977), ISBN   978-3540081487 дои : 10.1007/BFb0092042