Спектральное подмногообразие

Схематическая иллюстрация спектрального подмногообразия ${\mathcal {W}}(E)$ исходящий из спектрального подпространства $E$. Траектория $p(t)$ в приведенных координатах отображается в фазовое пространство посредством параметризации многообразия $W(p)$.

В динамических системах спектральное подмногообразие (ССМ) — это единственное самое гладкое инвариантное многообразие, служащее нелинейным расширением спектрального подпространства линейной динамической системы при добавлении нелинейностей. Теория SSM обеспечивает условия, когда инвариантные свойства собственных пространств линейной динамической системы могут быть распространены на нелинейную систему, и, следовательно, мотивирует использование SSM при нелинейном уменьшении размерности .

Определение

Рассмотрим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение вида

${\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},$

с постоянной матрицей $\ A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ и нелинейности, содержащиеся в гладкой функции $f_{0}={\mathcal {O}}(|x|^{2})$.

Предположим, что ${\text{Re}}\lambda _{j}<0$ для всех собственных значений $\lambda _{j},\ j=1,\ldots ,n$ из $A$, то есть начало координат является асимптотически устойчивой фиксированной точкой. Теперь выберите диапазон $E={\text{span}}\,\{v_{1}^{E},\ldots v_{m}^{E}\}$ из $m$ собственные векторы $v_{i}^{E}$ из $A$. Тогда собственное пространство $E$ является инвариантным подпространством линеаризованной системы

${\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.$

С учетом нелинейности $f_{0}$ к линейной системе, $E$ вообще возмущается в бесконечном числе инвариантных многообразий. Среди этих инвариантных многообразий единственное самое гладкое называется спектральным подмногообразием.

Эквивалентный результат для нестабильных SSM справедлив для ${\text{Re}}\lambda _{j}>0$.

Существование

Спектральное подмногообразие, касательное к $E$ в начале координат гарантированно существует при условии, что собственные значения удовлетворяют определенным условиям нерезонанса $\lambda _{i}^{E}$ в спектре $E$. В частности, не может быть линейной комбинации $\lambda _{i}^{E}$ равно одному из собственных значений $A$ вне спектрального подпространства. Если такой внешний резонанс существует, то можно включить резонансную моду в $E$ и расширить анализ до многомерного SSM, относящегося к расширенному спектральному подпространству.

Неавтономное расширение

Теория спектральных подмногообразий распространяется на нелинейные неавтономные системы вида

${\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x,\Omega t),\quad \Omega \in \mathbb {T} ^{k},\ 0\leq \epsilon \ll 1,$

с $f_{1}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{k}\to \mathbb {R} ^{n}$ квазипериодический вынуждающий член .

Значение

Спектральные подмногообразия полезны для строгого нелинейного уменьшения размерности в динамических системах. Сведение многомерного фазового пространства к многообразию меньшей размерности может привести к серьезным упрощениям, позволяя точно описать основное асимптотическое поведение системы. Для известной динамической системы SSM можно рассчитать аналитически путем решения уравнений инвариантности, а сокращенные модели SSM можно использовать для прогнозирования реакции на воздействие.

Кроме того, эти многообразия также можно извлечь непосредственно из данных о траекториях динамической системы с использованием алгоритмов машинного обучения.

См. также

• Инвариантное многообразие
• Нелинейное уменьшение размерности
• Лагранжева когерентная структура

Внешние ссылки

• Инструмент для автоматического расчета SSM