Неавтономная система (математика)

В математике автономная система — это динамическое уравнение на гладком многообразии . — Неавтономная система это динамическое уравнение на гладком расслоении. $Q\to \mathbb {R}$ над $\mathbb {R}$ . Например, так обстоит дело с неавтономной механикой .

Дифференциальное уравнение r -порядка на расслоении $Q\to \mathbb {R}$ представляет собой замкнутое подрасслоение струйного расслоения $J^{r}Q$ из $Q\to \mathbb {R}$ . Динамическое уравнение на $Q\to \mathbb {R}$ представляет собой дифференциальное уравнение, которое решается алгебраически относительно производных более высокого порядка.

В частности, динамическое уравнение первого порядка на расслоении $Q\to \mathbb {R}$ является ядром ковариантного дифференциала некоторой связности $\Gamma$ на $Q\to \mathbb {R}$ . Данные координаты пакета $(t,q^{i})$ на $Q$ и адаптированные координаты $(t,q^{i},q_{t}^{i})$ на струйном коллекторе первого порядка $J^{1}Q$ , динамическое уравнение первого порядка имеет вид

q_{t}^{i}=\Gamma (t,q^{i}).

Например, это случай гамильтоновой неавтономной механики .

Динамическое уравнение второго порядка

q_{tt}^{i}=\xi ^{i}(t,q^{j},q_{t}^{j})

на $Q\to \mathbb {R}$ определяется как голономныйсвязь $\xi$ на реактивном самолете $J^{1}Q\to \mathbb {R}$ . Этотуравнение также представляется связностью на расслоении аффинных струй $J^{1}Q\to Q$ . В силу каноничностивстраивание $J^{1}Q\to TQ$ , оно эквивалентно уравнению геодезическихна касательном расслоении $TQ$ из $Q$ . Уравнение свободного движения в неавтономной механике является примером неавтономного динамического уравнения второго порядка.

См. также

Ссылки

Де Леон М., Родригес П. Методы дифференциальной геометрии в аналитической механике (Северная Голландия, 1989).
Джачетта Г., Манджаротти Л., Сарданашвили Г. Геометрическая формулировка классической и квантовой механики (World Scientific, 2010). ISBN 981-4313-72-6 ( arXiv : 0911.0411 ).