Медленный коллектор

В математике медленное многообразие точки равновесия динамической системы является наиболее распространенным примером центрального многообразия . Одним из основных методов упрощения динамических систем является уменьшение размерности системы до размера медленного многообразия — теория центрального многообразия строго оправдывает моделирование. ^[1]^[2] Например, некоторые глобальные и региональные модели атмосферы или океанов разрешают так называемую квазигеострофическую динамику потоков на медленном многообразии динамики атмосферы/океана. ^[3]и поэтому имеет решающее значение для прогнозирования с помощью климатической модели .

В некоторых случаях медленное многообразие определяется как инвариантное многообразие, динамика которого медленная по сравнению с динамикой вне многообразия. Медленное многообразие в конкретной задаче будет подмногообразием стабильного, нестабильного или исключительно центрального многообразия, которое имеет ту же размерность и касается собственного пространства с соответствующим собственным значением (или парой собственных значений), которое имеет наименьшую действительную часть по величине. Это обобщает определение, приведенное в первом абзаце. Более того, можно определить медленное многообразие как касающееся более чем одного собственного пространства, выбрав точку отсечки в упорядочивании собственных значений реальной части по величине от наименьшего к наибольшему. На практике следует внимательно следить за тем, какое определение предлагается в литературе.

Определение

Рассмотрим динамическую систему

{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {f}}({\vec {x}})

для развивающегося вектора состояния ${\vec {x}}(t)$ и с точкой равновесия ${\vec {x}}^{*}$ . Тогда линеаризация системы в точке равновесия равна

{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=A{\vec {x}}\quad {\text{where }}A={\frac {d{\vec {f}}}{d{\vec {x}}}}({\vec {x}}^{*}).

Матрица $A$ определяет четыре инвариантных подпространства, характеризующихся собственными значениями $\lambda$ матрицы: как описано в записи о центральном многообразии, три подпространства представляют собой стабильное, нестабильное и центральное подпространства, соответствующие диапазону собственных векторов с собственными значениями. $\lambda$ которые имеют действительную часть отрицательную, положительную и нулевую соответственно; четвертое подпространство - это медленное подпространство, заданное диапазоном собственных векторов и обобщенными собственными векторами , соответствующими собственному значению $\lambda =0$ именно (в более общем плане ^[4] соответствующие всем собственным значениям с $|\lambda |\leq \alpha$ отделены пробелом от всех других собственных значений, тех, у которых $|\lambda |\geq \beta >r\alpha$ ). Медленное подпространство является подпространством центрального подпространства, либо идентично ему, либо, возможно, пусто.

Соответственно, нелинейная система имеет инвариантные многообразия , состоящие из траекторий нелинейной системы, соответствующие каждому из этих инвариантных подпространств. Существует инвариантное многообразие, касающееся медленного подпространства той же размерности; это многообразие является медленным многообразием .

Стохастические медленные многообразия также существуют для шумных динамических систем ( стохастическое дифференциальное уравнение ), а также стохастические центральные, устойчивые и неустойчивые многообразия. ^[5] Такие стохастические медленные многообразия также полезны при моделировании возникающей стохастической динамики, но предстоит решить множество интересных проблем, таких как интегралы шума, зависящие от истории и будущего. ^[6]^[7]

Примеры

Простой случай с двумя переменными

Связанная система с двумя переменными $x(t)$ и $y(t)$

{\frac {dx}{dt}}=-xy\quad {\text{ and }}\quad {\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}

имеет точное медленное многообразие $y=x^{2}$ на котором происходит эволюция $dx/dt=-x^{3}$ . Помимо экспоненциально затухающих переходных процессов, это медленное многообразие и его эволюция захватывают все решения, находящиеся вблизи начала координат. ^[8] Окрестность притяжения — это, грубо говоря, как минимум полупространство. $y>-1/2$ .

Медленная динамика среди быстрых волн

Эдвард Нортон Лоренц представил следующую динамическую систему пяти уравнений с пятью переменными, чтобы исследовать понятие медленного многообразия квазигеострофического потока. ^[9]

{\begin{aligned}{\frac {dU}{dt}}&=-VW+bVZ,\\[6pt]{\frac {dV}{dt}}&=UW-bUZ,\\[6pt]{\frac {dW}{dt}}&=-UV,\\[6pt]{\frac {dX}{dt}}&=-Z,\\[6pt]{\frac {dZ}{dt}}&=X+bUV.\end{aligned}}

Линеаризованное относительно начала координат нулевое собственное значение имеет кратность три, и существует комплексно-сопряженная пара собственных значений: $\pm i$ . Следовательно, существует трехмерное медленное многообразие (окруженное «быстрыми» волнами в $X$ и $Z$ переменные). Позже Лоренц утверждал, что медленного многообразия не существует! ^[10] Но нормальная форма ^[11] аргументы позволяют предположить, что существует динамическая система, экспоненциально близкая к системе Лоренца, для которой существует хорошее медленное многообразие.

Устранить бесконечность переменных

В моделировании мы стремимся значительно упростить. В этом примере используется медленное многообразие для упрощения «бесконечномерной» динамики уравнения в частных производных до модели одного обыкновенного дифференциального уравнения . Рассмотрим поле $u(x,t)$ подвергается нелинейной диффузии

{\frac {\partial u}{\partial t}}=u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\quad {\text{on the domain }}-1<x<1

с граничными условиями Робина

2bu\pm (1-b){\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad {\text{on }}x=\pm 1.

Параметризация граничных условий с помощью $b$ дает нам возможность рассмотреть изолирующих граничных условий Неймана. случай $b=0$ , граничных условий Дирихле случай $b=1$ , и все случаи между ними.

Теперь о чудесном приеме, который часто используется при изучении динамики с помощью теории бифуркаций . Поскольку параметр $b$ постоянна, присоединяются к тривиально истинному дифференциальному уравнению

{\frac {\partial b}{\partial t}}=0

Тогда в расширенном пространстве состояний развивающегося поля и параметра $(b,u(x))$ , существует бесконечное количество равновесий, а не только одно равновесие, причем $b=0$ (изоляционные) и $u=$ постоянный, скажем $u=a$ . Не вдаваясь в подробности, отметим, что в каждом равновесии линеаризованная диффузия имеет два нулевых собственных значения и для $a>0$ все остальные отрицательны (менее $-\pi ^{2}a/4$ ). Таким образом, двумерная динамика на медленных многообразиях возникает (см. возникновение ) из нелинейной диффузии, какими бы сложными ни были начальные условия.

Здесь можно непосредственно проверить, что медленное многообразие — это именно поле $u(x,t)=a(t)(1-bx^{2})$ где амплитуда $a$ развивается в соответствии с

{\frac {da}{dt}}=-2a^{2}b\quad {\text{and }}{\frac {db}{dt}}=0.

То есть после начальных переходных процессов, которые за счет диффузии сглаживают внутренние структуры, возникающее поведение представляет собой относительно медленное затухание амплитуды ( $a$ ) со скоростью, контролируемой типом граничного условия (постоянная $b$ ).

Обратите внимание, что эта модель медленного многообразия является глобальной в $a$ поскольку каждое равновесие обязательно находится в медленном подпространстве равновесий друг друга, но является только локальным по параметру $b$ . Мы пока не можем быть уверены, насколько велики $b$ можно принять, но теория уверяет нас, что результаты справедливы для некоторого конечного параметра $b$ .

Пожалуй, самое простое нетривиальное стохастическое медленное многообразие.

Стохастическое моделирование гораздо сложнее — этот пример иллюстрирует лишь одну такую сложность. Рассмотрим малый параметр $\epsilon$ две переменные динамики этой линейной системы, вызванные шумом случайного блуждания $W(t)$ :

dx=\varepsilon y\,dt\quad {\text{and}}\quad dy=-y\,dt+dW\,.

Можно было бы просто заметить, что процесс Орнштейна–Уленбека $y$ формально является интегралом истории

y=\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)

а затем утверждать, что $x(t)$ есть просто интеграл этого интеграла истории. Однако тогда это решение некорректно содержит быстрые интегралы по времени из-за $\exp(s-t)$ в подынтегральной функции, в предположительно долговременной модели.

Альтернативно, стохастическое преобразование координат позволяет получить надежную модель долгосрочной динамики. Измените переменные на $(X(t),Y(t))$ где

y=Y+\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)\quad {\text{and}}\quad x=X-\varepsilon Y-\varepsilon \int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)

тогда новые переменные развиваются в соответствии с простым

dX=\varepsilon \,dW\quad {\text{and}}\quad dY=-Y\,dt.

В этих новых координатах мы легко выводим $Y(t)\to 0$ экспоненциально быстро, оставляя $X(t)=\epsilon W(t)$ претерпевающее случайное блуждание , является долгосрочной моделью стохастической динамики на стохастическом медленном многообразии, полученной путем установки $Y=0$ .

Веб-сервис конструирует такие медленные многообразия конечных измерений, как детерминированные, так и стохастические. ^[12]

См. также

Квазигеострофические уравнения

Ссылки

^ Дж. Карр, Приложения теории центрального многообразия , Прикладная математика. наук. 35 лет , 1981, Шпрингер-Верлаг
^ Ю. А. Кузнецов, Элементы прикладной теории бифуркаций , Applied Mathematical Sciences 112 , 1995, Springer-Verlag
^ Р. Камасса, О геометрии атмосферного медленного многообразия, Physica D , 84 : 357–397, 1995.
^ Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .
^ Людвиг Арнольд, Случайные динамические системы , Монографии Springer по математике, 2003.
^ А. Дж. Робертс, Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые моды в стохастических динамических системах, Physica A 387 : 12–38, 2008.
^ Людвиг Арнольд и Питер Имкеллер, Нормальные формы для стохастических дифференциальных уравнений, Вероятность. Теория Отн. Филдс , 110 :559–588, 1998.
^ А. Дж. Робертс, Простые примеры вывода амплитудных уравнений для систем уравнений, обладающих бифуркациями, J. Austral. Математика. Соц. Б , 27 , 48–65, 1985.
^ Э. Н. Лоренц, О существовании медленного многообразия, Журнал атмосферных наук 43 : 1547–1557, 1986.
^ Э. Лоренц и Кришнамурти, О несуществовании медленного многообразия, J. Atmos. наук. 44 : 2940–2950, 1987.
^ Джеймс Мердок, Нормальные формы и развертки локальных динамических систем, Монографии Springer по математике, 2003, Springer
^ А. Дж. Робертс, Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений , http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html , 2009.

[1] Дж. Карр, Приложения теории центрального многообразия , Прикладная математика. наук. 35 лет , 1981, Шпрингер-Верлаг

[2] Ю. А. Кузнецов, Элементы прикладной теории бифуркаций , Applied Mathematical Sciences 112 , 1995, Springer-Verlag

[3] Р. Камасса, О геометрии атмосферного медленного многообразия, Physica D , 84 : 357–397, 1995.

[4] Аульбах, Б.; Ваннер, Т. (2000). «Теорема Хартмана–Гробмана для дифференциальных уравнений типа Каратеодори в банаховых пространствах». Нелинейный анализ . 40 (1–8): 91–104. дои : 10.1016/S0362-546X(00)85006-3 .

[5] Людвиг Арнольд, Случайные динамические системы , Монографии Springer по математике, 2003.

[6] А. Дж. Робертс, Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые моды в стохастических динамических системах, Physica A 387 : 12–38, 2008.

[7] Людвиг Арнольд и Питер Имкеллер, Нормальные формы для стохастических дифференциальных уравнений, Вероятность. Теория Отн. Филдс , 110 :559–588, 1998.

[8] А. Дж. Робертс, Простые примеры вывода амплитудных уравнений для систем уравнений, обладающих бифуркациями, J. Austral. Математика. Соц. Б , 27 , 48–65, 1985.

[9] Э. Н. Лоренц, О существовании медленного многообразия, Журнал атмосферных наук 43 : 1547–1557, 1986.

[10] Э. Лоренц и Кришнамурти, О несуществовании медленного многообразия, J. Atmos. наук. 44 : 2940–2950, 1987.

[11] Джеймс Мердок, Нормальные формы и развертки локальных динамических систем, Монографии Springer по математике, 2003, Springer

[12] А. Дж. Робертс, Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений , http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html , 2009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]