Квазигеострофические уравнения

В то время как геострофическое движение относится к ветру, который возникает в результате точного баланса между силой Кориолиса и силами горизонтального градиента давления , Квазигеострофическое (QG) движение относится к потокам, в которых сила Кориолиса и силы градиента давления почти уравновешены, но при этом инерция также оказывает влияние.

Источник

Атмосферные и океанографические потоки происходят в горизонтальных масштабах длины, которые очень велики по сравнению с их вертикальными масштабами длины, поэтому их можно описать с помощью уравнений мелкой воды . Число Россби — безразмерное число , характеризующее силу инерции по сравнению с силой Кориолиса. Квазигеострофические уравнения являются аппроксимацией уравнений мелкой воды в пределе малых чисел Россби, так что силы инерции на порядок меньше сил Кориолиса и давления. Если число Россби равно нулю, то мы восстанавливаем геострофический поток.

Квазигеострофические уравнения были впервые сформулированы Жюлем Чарни .

Вывод однослойных уравнений КГ

В декартовых координатах компоненты геострофического ветра равны

${f_{0}}{v_{g}}={\partial \Phi \over \partial x}$ (1а)

${f_{0}}{u_{g}}=-{\partial \Phi \over \partial y}$ (1б)

где ${\Phi }$ это геопотенциал .

Геострофическая завихренность

${\zeta _{g}}={{\hat {\mathbf {k} }}\cdot \nabla \times \mathbf {V_{g}} }$

поэтому может быть выражено через геопотенциал как

${\zeta _{g}}={{\partial v_{g} \over \partial x}-{\partial u_{g} \over \partial y}={1 \over f_{0}}\left({{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}}\right)={1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}$ (2)

Уравнение (2) можно использовать, чтобы найти ${\zeta _{g}(x,y)}$ из известного поля ${\Phi (x,y)}$. Альтернативно, его также можно использовать для определения ${\Phi }$ из известного дистрибутива ${\zeta _{g}}$ путем обращения оператора Лапласа .

Уравнение квазигеострофической завихренности можно получить из уравнения ${x}$ и ${y}$ компоненты уравнения квазигеострофического импульса, которые затем можно вывести из уравнения горизонтального импульса

${D\mathbf {V} \over Dt}+f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} =-\nabla \Phi$ (3)

Материальная производная в (3) определяется выражением

${{D \over Dt}={\left({\partial \over \partial t}\right)_{p}}+{\left({\mathbf {V} \cdot \nabla }\right)_{p}}+{\omega {\partial \over \partial p}}}$ (4)

где ${\omega ={Dp \over Dt}}$ это изменение давления после движения.

Горизонтальная скорость ${\mathbf {V} }$ можно разделить на геострофические ${\mathbf {V_{g}} }$ и агеострофический ${\mathbf {V_{a}} }$ часть

${\mathbf {V} =\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} }$ (5)

Два важных предположения квазигеострофического приближения:

1. ${\mathbf {V_{g}} \gg \mathbf {V_{a}} }$, или, точнее ${|\mathbf {V_{a}} | \over |\mathbf {V_{g}} |}\sim O({\text{Rossby number}})$.

2. приближение бета-плоскости ${f=f_{0}+\beta y}$ с ${{\frac {\beta y}{f_{0}}}\sim O({\text{Rossby number}})}$

Второе предположение оправдывает сохранение постоянного значения параметра Кориолиса. ${f_{0}}$ в геострофическом приближении и аппроксимируя его изменение в члене силы Кориолиса выражением ${f_{0}+\beta y}$. Однако, поскольку следующее за движением ускорение, которое в (1) представлено как разность между силой Кориолиса и силой градиента давления, зависит от отклонения фактического ветра от геострофического ветра, недопустимо просто заменять скорость через ее геострофическую скорость в термине Кориолиса. Тогда ускорение в (3) можно переписать как

${f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} +\nabla \Phi }={(f_{0}+\beta y){\hat {\mathbf {k} }}\times (\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} )-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }={f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} +\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }$ (6)

Таким образом, приближенное уравнение горизонтального импульса имеет вид

${D_{g}\mathbf {V_{g}} \over Dt}={-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} -\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }$ (7)

Выразив уравнение (7) через его компоненты,

${{D_{g}u_{g} \over Dt}-{f_{0}v_{a}}-{\beta yv_{g}}=0}$ (8а)

${{D_{g}v_{g} \over Dt}+{f_{0}u_{a}}+{\beta yu_{g}}=0}$ (8б)

принимая ${{\partial (8b) \over \partial x}-{\partial (8a) \over \partial y}}$и учитывая, что геострофический ветер недивергентен (т.е. ${\nabla \cdot \mathbf {V} =0}$), уравнение завихренности имеет вид

${{D_{g}\zeta _{g} \over Dt}=-f_{0}\left({{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}}\right)-\beta v_{g}}$ (9)

Потому что ${f}$ зависит только от ${y}$ (т.е. ${{D_{g}f \over Dt}=\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla f=\beta v_{g}}$) и что дивергенцию агеострофического ветра можно записать через ${\omega }$ на основе уравнения неразрывности

${{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}$

поэтому уравнение (9) можно записать как

${{\partial \zeta _{g} \over \partial t}={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla ({\zeta _{g}+f})}-{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}$ (10)

То же тождество с использованием геопотенциала

Определение тенденции геопотенциала ${\chi ={\partial \Phi \over \partial t}}$ и учитывая, что частное дифференцирование можно обратить вспять, уравнение (10) можно переписать в терминах ${\chi }$ как

${{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla \left({{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }+f}\right)}+{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}$ (11)

Правая часть уравнения (11) зависит от переменных ${\Phi }$ и ${\omega }$. Аналогичное уравнение, зависящее от этих двух переменных, можно вывести из уравнения термодинамической энергии.

${{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)\left({-\partial \Phi \over \partial p}\right)}-\sigma \omega }={kJ \over p}}$ (12)

где ${\sigma ={-RT_{0} \over p}{d\log \Theta _{0} \over dp}}$ и ${\Theta _{0}}$ – потенциальная температура, соответствующая температуре основного состояния. В средней тропосфере, ${\sigma }$ ≈ ${2.5\times 10^{-6}\mathrm {m} {^{2}}\mathrm {Pa} ^{-2}\mathrm {s} ^{-2}}$.

Умножив (12) на ${f_{0} \over \sigma }$ и дифференцируя по ${p}$ и используя определение ${\chi }$ урожайность

${{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \chi \over \partial p}}\right)}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_{0}}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}$ (13)

Если для простоты ${J}$ были установлены на 0, исключая ${\omega }$ в уравнениях (11) и (13) дает

${{\left({\nabla ^{2}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi }}=-{{f_{0}}{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_{0}^{2} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}$ (14)

Уравнение (14) часто называют уравнением тенденции геопотенциала . Он связывает локальную тенденцию геопотенциала (термин A) с распределением адвекции завихренности (термин B) и адвекцией толщины (термин C).

То же самое с использованием квазигеострофического потенциального завихрения

Используя цепное правило дифференцирования, член C можно записать как

${-{{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}{\cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}}$ (15)

Но, исходя из соотношения теплового ветра ,

${{f_{0}{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}={{\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}}$.

Другими словами, ${\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}$ перпендикулярен ${\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}$ и второй член в уравнении (15) исчезает.

Первый член можно объединить с членом B в уравнении (14), который после деления на ${f_{0}}$ можно выразить в виде уравнения сохранения

${{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)q}={D_{g}q \over Dt}=0}$ (16)

где ${q}$ – квазигеострофическая потенциальная завихренность, определяемая формулой

${q={{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}$ (17)

Три члена уравнения (17) представляют собой (слева направо) геострофическую относительную завихренность, планетарную завихренность и растягивающую завихренность.

Подразумеваемое

Когда воздушный пакет движется в атмосфере, его относительная, планетарная и растягивающая завихренности могут меняться, но уравнение (17) показывает, что сумма трех этих завихрений должна сохраняться после геострофического движения.

Уравнение (17) можно использовать для нахождения ${q}$ из известного поля ${\Phi }$. В качестве альтернативы его также можно использовать для прогнозирования эволюции поля геопотенциала с учетом начального распределения ${\Phi }$ и подходящие граничные условия с помощью процесса инверсии.

Что еще более важно, квазигеострофическая система сводит примитивные уравнения с пятью переменными к системе с одним уравнением, в которой все переменные, такие как ${u_{g}}$, ${v_{g}}$ и ${T}$ можно получить из ${q}$ или высота ${\Phi }$.

Кроме того, потому что ${\zeta _{g}}$ и ${\mathbf {V_{g}} }$ оба определяются с точки зрения ${\Phi (x,y,p,t)}$уравнение завихренности можно использовать для диагностики вертикального движения при условии, что поля обоих ${\Phi }$ и ${\partial \Phi \over \partial t}$ известны.