Ударный ротатор

Фазовые портреты (p против x) классического ударного ротора при различной силе удара. В верхнем ряду слева направо показаны K = 0,5, 0,971635, 1,3. В нижнем ряду слева направо показано К = 2,1, 5,0, 10,0. Фазовый портрет на хаотической границе представляет собой верхний средний график с K _C = 0,971635. При K _C и выше появляются области однородных, зернистых, квазислучайных траекторий, которые в конечном итоге поглощают весь график, указывая на хаос.

, Ударный ротатор также называемый ударным ротором , является парадигматической моделью как гамильтонового хаоса (изучение хаоса в гамильтоновых системах ), так и квантового хаоса . Он описывает свободно вращающуюся палку (с моментом инерции $I$) в неоднородном «гравитационноподобном» поле, периодически включающемся короткими импульсами. Модель описывается гамильтонианом

${\mathcal {H}}(\theta ,p_{\theta },t)={\frac {p_{\theta }^{2}}{2I}}+K\cos \theta \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)$,

где $\theta \in [0,2\pi ]$ - угловое положение джойстика ( $\theta =\pi$ соответствует положению ротатора в состоянии покоя), $p_{\theta }$ представляет собой сопряженный импульс $\theta$, $\textstyle K$ это сила удара, $T$ это период удара и $\textstyle \delta$ – дельта-функция Дирака .

Классические свойства

Стробоскопическая динамика

Уравнения движения толчкового ротатора запишут $${\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {p}{I}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta }}=K\sin \theta \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)$$Эти уравнения показывают, что между двумя последовательными ударами ротатор просто движется свободно: импульс $p$ сохраняется, а угловое положение растет линейно во времени. С другой стороны, при каждом ударе импульс резко подскакивает на величину $KT\sin \theta$, где $\theta$ угловое положение вблизи удара. Таким образом, динамику выброшенного ротатора можно описать дискретным отображением $$p_{n+1}=p_{n}+KT\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+{\frac {T}{I}}p_{n+1}$$где $\theta _{n}$ и $p_{n}$ являются каноническими координатами во времени $t=nT^{-}$, незадолго до $n$-й удар. Обычно удобнее ввести безразмерный импульс ${\textstyle p\rightarrow p/{\frac {I}{T}}}$, время ${\textstyle t\rightarrow t/T}$ и сила удара ${\textstyle K\rightarrow K/{\frac {I}{T^{2}}}}$ свести динамику к однопараметрической карте $$p_{n+1}=p_{n}+K\sin \theta _{n}\quad {\text{and}}\quad \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}$$известная как стандартная карта Чирикова , с оговоркой, что $p_{n}$не является периодическим, как в стандартной карте. Однако можно непосредственно видеть, что два ротатора с одинаковым начальным угловым положением $\theta _{0}$ но сдвинутый безразмерный импульс $p_{0}$ и ${\textstyle p_{0}+2\pi l}$ (с $l$ произвольное целое число) будет иметь ту же стробоскопическую динамику, но с безразмерным импульсом, сдвинутым в любой момент на ${\textstyle 2\pi l}$ (поэтому стробоскопические фазовые портреты выброшенного ротатора обычно отображаются в одной импульсной ячейке ${\textstyle p\in [-\pi ,\pi ]}$).

Переход от интегрируемости к хаосу

Ударный ротатор — это модель-прототип, иллюстрирующая переход от интегрируемости к хаосу в гамильтоновых системах и, в частности, теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера . В пределе $K=0$, система описывает свободное движение ротатора, импульс сохраняется (система интегрируема ) и соответствующие траектории являются прямыми в $(\theta ,p)$ плоскость (фазовое пространство), то есть торы. Для малого, но неисчезающего возмущения $K$, начинает развиваться нестабильность и хаос. Только квазипериодические орбиты (представленные инвариантными торами в фазовом пространстве) остаются стабильными, тогда как другие орбиты становятся нестабильными. Для большего $K$, инвариантные торы в конечном итоге разрушаются в результате возмущения. По цене $K=K_{c}\approx 0.971635\dots$, последний инвариантный тор, соединяющий $\theta =-\pi$ и $\theta =\pi$ в фазовом пространстве разрушается.

Продолжительность: 33 секунды. 0:33

Портретная анимация фазы кикер-ротора

Диффузия в направлении импульса

Для $K>K_{c}$хаотические нестабильные орбиты больше не ограничиваются инвариантными торами в направлении импульса и могут исследовать полное фазовое пространство. Для $K\gg K_{c}$, частица после каждого удара обычно перемещалась на большое расстояние, что сильно меняет амплитуду и знак следующего удара. Таким образом, в течение достаточно долгого времени частица подвергалась серии ударов с квазислучайными амплитудами. Это квазислучайное блуждание отвечает за процесс диффузии в направлении импульса. $\langle (\Delta p_{n})^{2}\rangle =2D_{\text{cl}}n$ (где среднее значение учитывает различные начальные условия).

Точнее, после $n$ удары, импульс $p_{n}$ частицы с начальным импульсом $p_{0}$ пишет ${\textstyle p_{n}=p_{0}+K\sum _{i=0}^{n-1}\sin \theta _{i}}$ (получено итерацией $n$ раз больше стандартной карты). Предполагая, что удары являются случайными и некоррелированными во времени, распространение распределения импульса запишет $$\left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle =\left\langle {(p_{n}-p_{0})}^{2}\right\rangle =K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle +K^{2}\sum _{i\neq j}^{}\left\langle \sin \theta _{i}\sin \theta _{j}\right\rangle \approx K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}\theta _{i}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n$$Тогда классический коэффициент диффузии в направлении импульса в первом приближении определяется выражением ${\textstyle D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}}$. Поправки, возникающие из-за пренебрежения корреляционными членами, действительно могут быть приняты во внимание, что приводит к улучшенному выражению $$D_{\text{cl}}={\frac {K^{2}}{4}}[1-2J_{2}(K)+2J_{2}^{2}(K)]$$где ${\textstyle J_{2}}$ – функция Бесселя первого рода.

Квантовый ударный ротатор

Стробоскопическая динамика

Динамика квантового ударного ротатора (с волновой функцией $|\psi (t)\rangle$) определяется зависящим от времени уравнением Шредингера

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\left[{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2I}}+K\cos {\hat {\theta }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta \left({\frac {t}{T}}-n\right)\right]|\psi (t)\rangle$

с $[{\hat {\theta }},{\hat {p}}]=i\hbar$ (или эквивалентно ${\textstyle \langle \theta |{\hat {p}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}}$).

Что касается классической динамики, стробоскопическую точку зрения можно принять, введя пропагатор времени в течение периода удара. ${\hat {U}}$ (это оператор Флоке ), так что $|\psi (t+T)\rangle ={\hat {U}}|\psi (t)\rangle$. После тщательного интегрирования зависящего от времени уравнения Шредингера обнаруживается, что ${\hat {U}}$ можно записать как произведение двух операторов $${\hat {U}}=\exp \left[-i{\frac {{\hat {p}}^{2}T}{2I\hbar }}\right]\exp \left[-i{\frac {KT}{\hbar }}\cos {\hat {\theta }}\right]$$Возвращаемся к классической интерпретации: динамика квантового ударного ротора между двумя ударами представляет собой последовательность свободного распространения во времени $T$ за которым следует короткий удар ногой. Это простое выражение оператора Флоке ${\hat {U}}$ (произведение двух операторов, одна диагональ в базисе импульса, другая диагональ в базисе углового положения) позволяет легко численно решать эволюцию заданной волновой функции с использованием метода расщепленных шагов .

Из-за периодических граничных условий при $\theta =\pm \pi$, любая волновая функция $|\psi \rangle$ может быть расширен в дискретном импульсном базисе ${\textstyle |l\rangle }$ (с $p=l\hbar$, $l$ целое число) см. теорему Блоха ), так что

$\langle \theta |\psi \rangle =\sum _{l=-\infty }^{\infty }\langle l|\psi \rangle \mathrm {e} ^{il\theta }\Leftrightarrow \langle l|\psi \rangle =\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}\langle \theta |\psi \rangle \mathrm {e} ^{-il\theta }$

Используя это соотношение с приведенным выше выражением ${\hat {U}}$, находим рекурсивное соотношение $$\langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-i)^{m-l}J_{m-l}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\langle m|\psi (t)\rangle$$где $\textstyle {J}_{n}$ является функцией Бесселя первого рода.

показывать

Демонстрация

Indeed, we have$$\langle l|\psi (t+T)\rangle =\langle l|{\hat {U}}|\psi (t)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\langle l|\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)|\psi (t)\rangle$$$$\langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\exp \left(-i{\frac {KT\cos {\hat {\theta }}}{\hbar }}\right)\langle \theta |\psi (t)\rangle$$$$\langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{-il\theta }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\mathrm {e} ^{-in\theta }\sum _{m=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{im\theta }\langle m|\psi (t)\rangle$$$$\langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right)\left[\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}\mathrm {e} ^{i(m-l-n)\theta }\right]\langle m|\psi (t)\rangle$$$$\langle l|\psi (t+T)\rangle =\exp \left(-i{\frac {l^{2}\hbar T}{2I}}\right)\sum _{n,m=-\infty }^{\infty }(-i)^{n}J_{n}\left({\frac {KT}{\hbar }}\right){\frac {\sin([m-l-n])\pi }{(m-l-n)\pi }}\langle m|\psi (t)\rangle$$So that we recover the result, keeping only non vanishing terms $m-l-n=0$ in the double sum.

Динамическая локализация

Было обнаружено что классическая диффузия подавлена ​​в квантовом ротаторе. Позже это поняли что это проявление эффекта квантовой динамической локализации , параллельного локализации Андерсона . Есть общий аргумент что приводит к следующей оценке времени обрыва диффузионного поведения

$t^{*}\ \approx \ D_{cl}/\hbar ^{2}$

Где $D_{cl}$ – классический коэффициент диффузии. Следовательно, соответствующий масштаб локализации по импульсу равен $\textstyle {\sqrt {D_{cl}t^{*}}}$.

Связь с моделью жесткой привязки Андерсона

Квантовый импульсный ротор на самом деле формально может быть связан с моделью сильной связи Андерсона, знаменитым гамильтонианом, который описывает электроны в неупорядоченной решетке с узловым состоянием решетки. $|n\rangle$, где имеет место локализация Андерсона (в одном измерении) $${\hat {H}}=\sum _{n}\varepsilon _{n}|n\rangle \langle n|+\sum _{n\neq m}t_{n-m}|n\rangle \langle m|$$где $\varepsilon _{n}$ являются случайными энергиями на месте, а $t_{n-m}$ амплитуды надежды между сайтами $n$ и $m$.

В квантовом ротаторе можно показать: что плоская волна $|p\rangle$ с квантованным импульсом $p=n\hbar$ играют роль состояний узлов решетки. Полное отображение модели сильной связи Андерсона выглядит следующим образом (для заданных собственных состояний оператора Флоке с квазиэнергией $\omega$) $$t_{n}=-\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}\tan[K\cos(x)/2]\mathrm {e} ^{-ixn}\quad {\text{and}}\quad \varepsilon _{n}=\tan(\omega /2-n^{2}/4)$$Динамическая локализация в квантовом ротаторе фактически имеет место в базисе импульса.

Эффект шума и рассеивания

Если в систему добавляется шум, динамическая локализация разрушается и индуцируется диффузия. Это чем-то похоже на прыжковую проводимость. Для правильного анализа необходимо выяснить, как уменьшаются динамические корреляции, ответственные за эффект локализации.

Напомним, что коэффициент диффузии равен $D_{cl}\approx K^{2}/2$, потому что изменение $(p(t)-p(0))$ в импульсе есть сумма квазислучайных ударов $K\sin(x(n))$. Точное выражение для $D_{cl}$ получается путем вычисления «площади» корреляционной функции $C(n)=\langle \sin(x(n))\sin(x(0))\rangle$, а именно сумма $D=K^{2}\sum C(n)$. Обратите внимание, что $C(0)=1/2$. Тот же рецепт расчета справедлив и в квантовомеханическом случае, а также при добавлении шума.

В квантовом случае, без шума, площадь под $C(n)$ равно нулю (из-за длинных отрицательных хвостов), тогда как с учетом шума практическое приближение равно $C(n)\mapsto C(n)e^{-t/t_{c}}$ где время когерентности $t_{c}$ обратно пропорциональна интенсивности шума. Следовательно, коэффициент диффузии, вызванный шумом, равен

$D\approx D_{cl}t^{*}/t_{c}\quad [{\text{assuming }}t_{c}\gg t^{*}]$

Также рассмотрена задача квантового ротатора с диссипацией (из-за связи с тепловой ванной). Здесь возникает проблема, как ввести взаимодействие, которое учитывает угловую периодичность позиции. $x$ координаты и остается пространственно однородным. В первых работах предполагалось взаимодействие квантово-оптического типа, включающее связь, зависящую от импульса. Позже был найден способ сформулировать чисто позиционно-зависимую связь, как в модели Кальдерии-Леггетта, которую можно рассматривать как более раннюю версию модели DLD .

Экспериментальная реализация с холодными атомами

Первые экспериментальные реализации квантового ротатора были достигнуты Марка Г. Райзена. группой в 1995 году, позже последовала группа из Окленда, и стимулировали возобновление интереса к теоретическому анализу. В экспериментах такого типа образец холодных атомов, помещенный в магнитооптическую ловушку, взаимодействует с импульсной стоячей волной света. Поскольку свет отстроен относительно атомных переходов, на атомы действует пространственно-периодическая консервативная сила . Таким образом, в экспериментальном подходе угловая зависимость заменяется зависимостью от положения. Охлаждение субмиллиКельвина необходимо для получения квантовых эффектов: из-за принципа неопределенности Гейзенберга длина волны де Бройля, то есть атомная длина волны, может стать сравнимой с длиной волны света. Дополнительную информацию см. Благодаря этой методике исследовано несколько явлений, в том числе заметные:

• квантовые трещотки;
• переход Андерсона в 3D.

См. также

• Круговая карта

Внешние ссылки

• Запись в стипендии