Стандартная карта

Продолжительность: 1 минута 24 секунды. 1:24

Фазовое пространство стандартного отображения с вариацией параметра $K$ от 0 до 5,19 ( $p_{n}$ по осям Y, $\theta _{n}$ по осям X). Обратите внимание на появление «пунктирной» зоны — признак хаотического поведения .

Орбиты стандартного отображения для K = 0,6.

Орбиты стандартного отображения для K = 0,971635.

Орбиты стандартного отображения для K = 1,2.

Орбиты стандартного отображения для K = 2,0. Большая зеленая область — это основная хаотичная область карты.

Одна орбита стандартной карты для K =2,0. Увеличенный крупный план с центром в $\theta =0.282$, p = 0,666, общей ширины/высоты 0,02. Обратите внимание на чрезвычайно равномерное распределение орбиты.

Стандартная карта (также известная как карта Чирикова – Тейлора или стандартная карта Чирикова ) представляет собой сохраняющую площадь хаотическую карту из квадрата со стороной $2\pi$ на себя. Он построен на основе поверхности Пуанкаре сечения толчкового ротатора и определяется следующим образом:

$p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})$

$\theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}$

где $p_{n}$ и $\theta _{n}$ берутся по модулю $2\pi$.

Свойства хаоса стандартного отображения были установлены Борисом Чириковым в 1969 году.

Физическая модель

Эта карта описывает поверхность сечения Пуанкаре движения простой механической системы, известной как вращающийся ротатор . Ударный ротатор состоит из палки, свободной от силы тяжести, которая может вращаться без трения в плоскости вокруг оси, расположенной на одном из ее кончиков, и которую периодически ударяют по другому кончику.

Стандартная карта представляет собой поверхность сечения, нанесенную стробоскопической проекцией на переменные вращающего устройства. Переменные $\theta _{n}$ и $p_{n}$ соответственно определить угловое положение палки и ее момент импульса после n -го удара ногой. Константа K измеряет интенсивность ударов по вращающему устройству.

Ударный ротатор аппроксимирует системы, изучаемые в области механики частиц, физики ускорителей , физики плазмы и физики твердого тела . Например, круговые ускорители частиц ускоряют частицы, применяя периодические удары, когда они циркулируют в лучевой трубе. Таким образом, структуру пучка можно аппроксимировать ударным ротором. Однако эта карта интересна с фундаментальной точки зрения в физике и математике, поскольку представляет собой очень простую модель консервативной системы, отображающую гамильтонов хаос . Поэтому полезно изучить развитие хаоса в такого рода системах.

Основные свойства

Для $K=0$ отображение линейно и только периодические и квазипериодические орбиты возможны . При построении графика в фазовом пространстве (плоскость θ– p ) периодические орбиты выглядят как замкнутые кривые, а квазипериодические орбиты — как ожерелья замкнутых кривых, центры которых лежат на другой, более крупной замкнутой кривой. Какой тип орбиты наблюдается, зависит от начальных условий карты.

Нелинейность карты увеличивается с ростом K , а вместе с ней и возможность наблюдать хаотическую динамику при соответствующих начальных условиях. Это проиллюстрировано на рисунке, на котором показан набор различных орбит, разрешенных стандартной картой для различных значений $K>0$. Все показанные орбиты являются периодическими или квазипериодическими, за исключением зеленой, которая хаотична и развивается в большой области фазового пространства как явно случайный набор точек. Особенно примечательна крайняя однородность распределения в хаотической области, хотя это может быть обманчивым: даже внутри хаотических областей существует бесконечное количество все более мелких островков, которые никогда не посещаются во время итерации, как показано на крупном плане.

Круговая карта

Стандартная карта связана с картой круга , которая имеет одно похожее повторяющееся уравнение:

$\theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -K\sin(\theta _{n})$

по сравнению с

$\theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})$

$p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}$

для стандартной карты уравнения переупорядочены, чтобы подчеркнуть сходство. По сути, карта круга приводит к постоянному импульсу.

См. также

• Теорема Ушики

Ссылки

• Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности . Препринт N 267, ИЯФ, Новосибирск (1969) [англ. Перевод, CERN Trans. 71–40, Женева, октябрь (1971), перевод А.Ц.Сандерса]. связь
• Чириков Б. В. Универсальная неустойчивость многомерных колебательных систем . Физ. Реп. т.52. с.263 (1979) Эльзевир, Амстердам.
• Лихтенберг, А.Дж. и Либерман, Массачусетс (1992). Регулярная и хаотическая динамика . Шпрингер, Берлин. ISBN  978-0-387-97745-4 . Спрингерская ссылка
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. ISBN  0-521-01084-5 .
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850840-9 .

Внешние ссылки

• Стандартная карта в MathWorld
• Стандартная карта Чирикова в Scholarpedia
• Сайт, посвященный Борису Чирикову
• Интерактивный Java-апплет, визуализирующий орбиты стандартной карты , автор Ахим Лун.
• Приложение Mac для стандартной карты , автор: Джеймс Мейсс
• Интерактивная стандартная карта Javascript-апплетов на сайте experience.math.cnrs.fr