Карта Хенона

Аттрактор Энона для $a = 1,4$ и $b = 0,3$

В математике отображение Энона , иногда называемое аттрактором/картой Энона–Помо , ^{[ 1 ]} представляет собой с дискретным временем динамическую систему . Это один из наиболее изученных примеров динамических систем, демонстрирующих хаотическое поведение . Карта Энона берет точку $(x n, y n)$ на плоскости и отображает ее в новую точку.

{\begin{cases}x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+y_{n}\\y_{n+1}=bx_{n}.\end{cases}}

Карта зависит от двух параметров, $a$ и $b$ , которые для классического отображения Энона имеют значения $a = 1,4$ и $b = 0,3$ . Для классических значений отображение Энона хаотично. Для других значений $a$ и $b$ отображение может быть хаотичным , прерывистым или сходиться к периодической орбите . Обзор типа поведения карты при различных значениях параметров можно получить из ее орбитальной диаграммы .

Карта была представлена Мишелем Эноном как упрощенная модель сечения Пуанкаре Лоренца модели . Для классического отображения начальная точка плоскости либо приближается к набору точек, известному как странный аттрактор Энона , либо расходится к бесконечности. Аттрактор Энона представляет собой фрактал , гладкий в одну сторону и канторово множество в другую. Численные оценки дают корреляционную размерность 1,21 ± 0,01 или 1,25 ± 0,02. ^{[ 2 ]} (в зависимости от размера пространства встраивания) и размерность подсчета ящиков 1,261 ± 0,003. ^{[ 3 ]} для аттрактора классического отображения.

Аттрактор

Карта Энона отображает две точки сами в себя: это инвариантные точки. Для классических значений a и b отображения Энона одна из этих точек находится на аттракторе:

x={\frac {{\sqrt {609}}-7}{28}}\approx 0.631354477,

y={\frac {3\left({\sqrt {609}}-7\right)}{280}}\approx 0.189406343.

Эта точка нестабильна. Точки, близкие к этой фиксированной точке и вдоль наклона 1,924, будут приближаться к фиксированной точке, а точки вдоль наклона -0,156 будут удаляться от фиксированной точки. Эти наклоны возникают в результате линеаризации устойчивого многообразия и неустойчивого многообразия неподвижной точки. Неустойчивое многообразие неподвижной точки аттрактора содержится в странном аттракторе отображения Энона.

Отображение Энона не имеет странного аттрактора для всех значений параметров a и b . Например, если оставить b фиксированным на уровне 0,3, бифуркационная диаграмма показывает, что для a = 1,25 отображение Энона имеет устойчивую периодическую орбиту в качестве аттрактора.

Цвитанович и др. показали, как структуру странного аттрактора Энона можно понять с точки зрения нестабильных периодических орбит внутри аттрактора.

Связь с бифуркационной диаграммой

Если построено несколько карт Энона, для каждой карты варьируется значение b , а затем складываются все карты вместе, бифуркационная диаграмма получается . Бифуркационная диаграмма, сложенная как тако. Отсюда и его форма бумеранга, если смотреть в 2D сверху.

Разложение

Отображение Энона можно разложить на композицию трех функций, действующих в области одна за другой.

1) изгиб, сохраняющий площадь:

(x_{1},y_{1})=(x,1-ax^{2}+y)\,

,

2) сокращение в направлении х :

(x_{2},y_{2})=(bx_{1},y_{1})\,

,

3) отражение в линии y = x :

(x_{3},y_{3})=(y_{2},x_{2})\,

.

Одномерное разложение

Карта Энона также может быть деконструирована в одномерную карту, определенную аналогично последовательности Фибоначчи .

x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}+bx_{n-1}

Четырехмерное расширение

Карта Энона в 4D. Диапазон для b составляет от -1,5 до 0,5, а для a - от -2,3 до 1,0. Все плоские сечения, которые на каждом изображении видео пусты, указывают на то, что для этих сечений точки расходились до бесконечности и не были нанесены на график.

Хотя карту Энона можно построить по осям x и y , варьируя a и b , мы получаем два дополнительных измерения для построения. Таким образом, карту Энона можно построить в четырехмерном пространстве . Мы можем визуализировать такой график, рассматривая одну гиперплоскость (т.е. один куб пространства) одновременно, представляющую три оси, а затем перемещаясь по четвертой оси с течением времени.

В примере с видео справа три оси для каждого изображения в видео — это x , y и b . С течением времени перемещается . ось

Особые случаи и орбиты малого периода

Если решить одномерное отображение Энона для особого случая:

X=x_{n-1}=x_{n}=x_{n+1}

Приходим к простому квадратику:

X=1-aX^{2}+bX

Или

0=-aX^{2}+(b-1)X+1

Квадратичная формула дает:

X={b-1\pm {\sqrt {b^{2}-2b+1+4a}} \over 2a}

В частном случае b=1 это упрощается до

X={\pm {\sqrt {a}} \over a}

Если, кроме того, a имеет вид ${1 \over c^{n}}$ формула дополнительно упрощается до

X=\pm c^{n/2}

На практике начальная точка (X,X) будет следовать по четырехточечной петле в двух измерениях, проходящей через все квадранты.

(X,X)=(X,-X)

(X,-X)=(-X,-X)

(-X,-X)=(-X,X)

(-X,X)=(X,X)

История

В 1976 году во Франции аттрактор Лоренца анализируется физиком Ивом Помо , который выполняет серию численных расчетов вместе с Ж. Л. Ибанезом. ^{[ 4 ]} Анализ представляет собой своего рода дополнение к работе Рюэля (и Лэнфорда), представленной в 1975 году. Их интересует аттрактор Лоренца, то есть тот, который соответствует исходным дифференциальным уравнениям, и его геометрическая структура. Помо и Ибанез объединяют свои численные расчеты с результатами математического анализа, основанного на использовании сечений Пуанкаре. Растяжение, сворачивание, чувствительность к начальным условиям естественно приводятся в этом контексте в связи с аттрактором Лоренца. Если анализ в конечном счете носит чисто математический характер, Помо и Ибаньес в некотором смысле следуют физикскому подходу, численно экспериментируя с системой Лоренца.

Эти переживания приносят два открытия. Они позволяют выделить своеобразное поведение системы Лоренца: происходит переход, характеризующийся критическим значением параметров системы, при котором система переключается от положения странного аттрактора к конфигурации в предельном цикле. Важность будет раскрыта самим Помо (и его соавтором Полом Манневилем) через «сценарий» прерывистости , предложенный в 1979 году.

Второй путь, предложенный Помо и Ибаньесом, — это идея реализации динамических систем, даже более простых, чем у Лоренца, но обладающих сходными характеристиками и позволяющих яснее доказывать «доказательства», выявляемые численными расчетами. Поскольку рассуждения основаны на разделе Пуанкаре, он предлагает создать приложение плоскости самой по себе, а не дифференциальное уравнение, имитирующее поведение Лоренца и ее странного аттрактора. Он строит его в специальной манере, что позволяет ему лучше обосновать свои рассуждения.

В январе 1976 года Помо представил свою работу во время семинара, проведенного в обсерватории Лазурного берега, на котором присутствовал Мишель Энон. Мишель Энон использует предложение Помо, чтобы получить простую систему со странным аттрактором. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Торговая мода

В динамической системе оператор Купмана является естественным линейным оператором в пространстве скалярных полей. Для общих нелинейных систем собственные функции этого оператора не могут быть выражены в какой-либо удобной форме. Вместо этого нужно вычислить их численно. Эти режимы могут дать представление о символической динамике хаотических карт, таких как карта Энона. ^{[ 7 ]} В представленном режиме устойчивое многообразие странного аттрактора отчетливо видно .

Обобщения

Трехмерное обобщение карты Энона было предложено Хитцем и Зеле. ^{[ 8 ]} Это дано

$\mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)+1\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}$ .

Для $\alpha =1.07$ и $\beta =0.3$ можно показать, что почти все начальные условия внутри единичной сферы генерируют хаотические сигналы с наибольшим показателем Ляпунова. $0.23$ . ^{[ 8 ]}

В литературе было предложено множество других обобщений. Например, можно генерировать с ограниченной полосой частот, хаотические сигналы используя цифровые фильтры в контуре обратной связи системы. ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

См. также

Примечания

^ Раздел 13.3.2; Сюй, Цзе Су. Межклеточное картирование: метод глобального анализа нелинейных систем . Том. 64. Springer Science & Business Media, 2013.
^ П. Грассбергер; И. Прокачча (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Физика . 9Д (1–2): 189–208. Бибкод : 1983PhyD....9..189G . дои : 10.1016/0167-2789(83)90298-1 .
^ Д.А. Рассел; Джей Ди Хэнсон; Э. Отт (1980). «Размерность странных аттракторов». Письма о физических отзывах . 45 (14): 1175. Бибкод : 1980PhRvL..45.1175R . дои : 10.1103/PhysRevLett.45.1175 .
^ "Помо_Ибанез 1976" .
^ «Аттрактор Энона» .
^ «Два французских примера: Ив Помо и Мишель Энон» .
^ Цун Чжан; Хайпэн Ли; Юээн Лан (2022). «Разделение фазового пространства с анализом Купмана». Хаос . 32 (6): 063132. дои : 10.1063/5.0079812 . ПМИД 35778118 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хитцль, Дональд Л.; Зеле, Франк (март 1985 г.). «Исследование квадратичного отображения Энона» . Физика D: Нелинейные явления . 14 (3): 305–326. дои : 10.1016/0167-2789(85)90092-2 .
^ Борхес, Винисиус С.; Эйзенкрафт, Марсио (декабрь 2022 г.). «Отфильтрованная карта Энона» . Хаос, солитоны и фракталы . 165 112865.arXiv : : 2211.16964 . дои : 10.1016/j.chaos.2022.112865 . S2CID 254095983 .
^ Борхес, Винисиус С.; Сильва, Магно ТМ; Эйзенкрафт, Марсио (01 апреля 2024 г.). «Хаотические свойства карты Энона с КИХ-фильтром» . Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 131 : 107845. arXiv : 2401.10281 . дои : 10.1016/j.cnsns.2024.107845 . ISSN 1007-5704 .

Ссылки

М. Энон (1976). «Двумерное отображение со странным аттрактором» . Связь в математической физике . 50 (1): 69–77. Бибкод : 1976CMaPh..50...69H . дои : 10.1007/BF01608556 . S2CID 12772992 .
Предраг Цвитанович; Гемуну Гунаратне; Итамар Прокачча (1988). «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Энона». Физический обзор А. 38 (3): 1503–1520. Бибкод : 1988PhRvA..38.1503C . дои : 10.1103/PhysRevA.38.1503 . ПМИД 9900529 .
Карлес Симо (1979). «Об аттракторе Энона-Помо». Журнал статистической физики . 21 (4): 465–494. дои : 10.1007/BF01009612 . S2CID 122545201 .
Мишель Энон и Ив Помо (1976). «Два странных аттрактора простой структуры». Турбулентность и уравнения Навье-Стокса . Спрингер: 29–68.
М. Мишелич; О. Э. Рёсслер (1989). «Новая особенность на карте Энона» . Компьютеры и графика . 13 (2): 263–265. дои : 10.1016/0097-8493(89)90070-8 . . Перепечатано в: Хаос и фракталы, Компьютерное графическое путешествие: десятилетний сборник перспективных исследований (под ред. CA Pickover). Амстердам, Нидерланды: Elsevier, стр. 69–71, 1998 г.
Кузнецов, Николай; Райтманн, Волкер (2020). Оценки размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления . Чам: Спрингер.

Внешние ссылки

Интерактивная карта Хеннона и аттрактор Хеннона в Chaotic Maps
Еще одна интерактивная версия Карты Хеннона А. Луна.
Диаграмма орбиты карты Энона, составленная К. Пеллисером-Лостао и Р. Лопесом-Руисом после работы Эда Пегга-младшего, Демонстрационный проект Вольфрама .
Код Matlab для карты Энона М.Сюзена
Моделирование карты Энона в javascript (experiences.math.cnrs.fr), автор Марк Монтичелли.

[1] Раздел 13.3.2; Сюй, Цзе Су. Межклеточное картирование: метод глобального анализа нелинейных систем . Том. 64. Springer Science & Business Media, 2013.

[Grassberger_1983-2] П. Грассбергер; И. Прокачча (1983). «Измерение странности странных аттракторов». Физика . 9Д (1–2): 189–208. Бибкод : 1983PhyD....9..189G . дои : 10.1016/0167-2789(83)90298-1 .

[Russell_1980-3] Д.А. Рассел; Джей Ди Хэнсон; Э. Отт (1980). «Размерность странных аттракторов». Письма о физических отзывах . 45 (14): 1175. Бибкод : 1980PhRvL..45.1175R . дои : 10.1103/PhysRevLett.45.1175 .

[4] "Помо_Ибанез 1976" .

[5] «Аттрактор Энона» .

[6] «Два французских примера: Ив Помо и Мишель Энон» .

[7] Цун Чжан; Хайпэн Ли; Юээн Лан (2022). «Разделение фазового пространства с анализом Купмана». Хаос . 32 (6): 063132. дои : 10.1063/5.0079812 . ПМИД 35778118 .

[:1-8] Перейти обратно: ^а ^б Хитцль, Дональд Л.; Зеле, Франк (март 1985 г.). «Исследование квадратичного отображения Энона» . Физика D: Нелинейные явления . 14 (3): 305–326. дои : 10.1016/0167-2789(85)90092-2 .

[9] Борхес, Винисиус С.; Эйзенкрафт, Марсио (декабрь 2022 г.). «Отфильтрованная карта Энона» . Хаос, солитоны и фракталы . 165 112865.arXiv : : 2211.16964 . дои : 10.1016/j.chaos.2022.112865 . S2CID 254095983 .

[10] Борхес, Винисиус С.; Сильва, Магно ТМ; Эйзенкрафт, Марсио (01 апреля 2024 г.). «Хаотические свойства карты Энона с КИХ-фильтром» . Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 131 : 107845. arXiv : 2401.10281 . дои : 10.1016/j.cnsns.2024.107845 . ISSN 1007-5704 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]