Бенуа Мандельброт

Смотрите также: множество Мандельброта

Бенуа Мандельброт
Мандельброт на конференции TED в 2010 году
Рожденный	( 1924-11-20 ) 20 ноября 1924 г. Варшава , Польша
Умер	14 октября 2010 г. (14 октября 2010 г.) (85 лет) Кембридж, Массачусетс , США
Национальность	Французский Американский Польский
Альма-матер	Политехнический университет Калифорнийский технологический институт Парижский университет
Известный	Набор Мандельброта Теория хаоса Фракталы Закон Ципфа – Мандельброта
Супруг (а)	Алиетт Каган (м. 1955–2010; его смерть)
Награды	Почетный легион ( Рыцарь 1990 · Офицер 2006) 2003 г. Премия Японии 1993 года Премия Вольфа 1989 года Премия Харви 1986 года Медаль Франклина 1985 года Медаль Барнарда
Научная карьера
Поля	Математика Аэродинамика
Учреждения	Йельский университет ИБМ Тихоокеанская северо-западная национальная лаборатория
Докторантура	Поль Леви
Докторанты	ЛЕ. Он лысый Юджин Фама Кен Масгрейв Мурад Такку

Бенуа Б. Мандельброт польского происхождения, (20 ноября 1924 - 14 октября 2010) был французско-американским математиком и эрудитом имевшим широкие интересы в практических науках, особенно в отношении того, что он называл «искусством грубости » физических явлений и «неконтролируемым элементом в жизни». ". Он называл себя «фракталистом». и получил признание за свой вклад в область фрактальной геометрии , который включал в себя создание слова «фрактал», а также разработку теории «шероховатости и самоподобия » в природе.

В 1936 году, в возрасте 11 лет, Мандельброт и его семья эмигрировали из Варшавы (Польша) во Францию. После окончания Второй мировой войны Мандельброт изучал математику, окончив университеты Парижа и США и получив степень магистра аэронавтики в Калифорнийском технологическом институте . Большую часть своей карьеры он провел в США и Франции, имея двойное французское и американское гражданство. В 1958 году он начал 35-летнюю карьеру в IBM , где стал научным сотрудником IBM , и периодически брал отпуск, чтобы преподавать в Гарвардском университете . В Гарварде, после публикации исследования товарных рынков США в отношении хлопковых фьючерсов, он преподавал экономику и прикладные науки.

Благодаря доступу к компьютерам IBM Мандельброт был одним из первых, кто использовал компьютерную графику для создания и отображения фрактальных геометрических изображений, что привело к открытию им множества Мандельброта в 1980 году. Он показал, как визуальная сложность может быть создана с помощью простых правил. Он сказал, что вещи, которые обычно считаются «грубыми», «беспорядками» или «хаотичными», такие как облака или береговая линия, на самом деле имеют «степень порядка». Его исследования, ориентированные на математику и геометрию, включали вклад в такие области, как статистическая физика , метеорология , гидрология , геоморфология , анатомия , таксономия , неврология , лингвистика , информационные технологии , компьютерная графика , экономика , геология , медицина , физическая космология , инженерия , теория хаоса . , эконофизика , металлургия и социальные науки .

К концу своей карьеры он был полноценным профессором математических наук в Йельском университете , где он был старейшим профессором в истории Йельского университета, получившим должность. Мандельброт также занимал должности в Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории , Университете Лилль-Норд-де-Франс , Институте перспективных исследований и Национальном центре научных исследований . За свою карьеру он получил более 15 почетных докторских степеней и работал во многих научных журналах, а также получил множество наград. Его автобиография « Фракталист: Мемуары научного индивидуалиста» была опубликована посмертно в 2012 году.

Ранние годы

Внешние видео
Семейное происхождение и раннее образование , (4:11) Интервью Бенуа Мандельброта, Часть 1 из 144, Web of Stories

Бенедикт Мандельброт родился в литовской еврейской семье, в Варшаве во времена Второй Польской республики . Его отец зарабатывал на жизнь торговлей одеждой; его мать была хирургом-стоматологом. В течение первых двух школьных лет его частным репетитором был дядя, который презирал механическое заучивание : «Большую часть времени я проводил за игрой в шахматы, чтением карт и обучением тому, как открыть глаза на все вокруг». В 1936 году, когда ему было 11 лет, семья эмигрировала из Польши во Францию. Переезд, Вторая мировая война и влияние брата его отца, математика Солема Мандельбройта (переехавшего в Париж около 1920 года), еще больше помешали получить стандартное образование. «Тот факт, что мои родители, будучи экономическими и политическими беженцами, присоединились к Солему во Франции, спас нам жизнь», - пишет он.

Мандельброт посещал лицей Роллена (ныне Колледж-лицей Жака-Декура ) в Париже до начала Второй мировой войны , когда его семья переехала в Тюль , Франция. ему помог раввин Давид Фойерверкер , раввин Брив-ла-Гайард . В продолжении учебы Большая часть Франции в то время была оккупирована нацистами, и Мандельброт вспоминает этот период:

Мы постоянно боялись, что достаточно решительный враг может донести на нас властям и нас отправят на смерть. Это случилось с близкой подругой из Парижа Зиной Морханж , врачом из соседнего окружного центра. Просто чтобы исключить конкуренцию, на нее донес другой врач... Мы избежали этой участи. Кто знает почему?

В 1944 году Мандельброт вернулся в Париж, учился в Lycée du Parc в Лионе , а в 1945–1947 годах посещал Политехническую школу , где учился у Гастона Жюли и Поля Леви . С 1947 по 1949 год он учился в Калифорнийском технологическом институте, где получил степень магистра воздухоплавания. Вернувшись во Францию, он получил степень доктора математических наук в Парижском университете в 1952 году.

Научная карьера

С 1949 по 1958 год Мандельброт был сотрудником Национального центра научных исследований . За это время он провел год в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси , где его спонсировал Джон фон Нейман . В 1955 году он женился на Алиетт Каган и переехал в Женеву, Швейцария (чтобы сотрудничать с Жаном Пиаже в Международном центре генетической эпистемологии), а затем в Университете Лилль Норд де Франс . В 1958 году пара переехала в Соединенные Штаты, где Мандельброт присоединился к исследовательскому персоналу в Исследовательском центре IBM Томаса Дж. Уотсона в Йорктаун-Хайтс, штат Нью-Йорк . Он проработал в IBM 35 лет, став членом IBM, а затем почетным научным сотрудником .

Начиная с 1951 года, Мандельброт работал над проблемами и публиковал статьи не только по математике, но и в прикладных областях, таких как теория информации , экономика и гидродинамика .

финансовых

Мандельброт рассматривал финансовые рынки как пример «дикой случайности», характеризующейся концентрацией и долгосрочной зависимостью. Он разработал несколько оригинальных подходов к моделированию финансовых колебаний. В своих ранних работах он обнаружил, что изменения цен на финансовых рынках следуют не распределению Гаусса , а скорее Леви стабильному распределению , имеющему бесконечную дисперсию . Он обнаружил, например, что цены на хлопок подчиняются устойчивому распределению Леви с параметром α , равным 1,7, а не 2, как в распределении Гаусса. «Стабильные» распределения обладают тем свойством, что сумма многих экземпляров случайной величины следует тому же распределению, но с более крупным масштабным параметром . Последняя работа начала 60-х годов была выполнена с использованием ежедневных данных о ценах на хлопок с 1900 года, задолго до того, как он ввел слово «фрактал». В последующие годы, после того как концепция фракталов созрела, изучение финансовых рынков в контексте фракталов стало возможным только после появления высокочастотных данных в области финансов. В конце 1980-х годов Мандельброт использовал внутридневные тиковые данные, предоставленные компанией Olsen & Associates в Цюрихе. применить теорию фракталов к микроструктуре рынка. Это сотрудничество привело к публикации первых всеобъемлющих статей по закону масштабирования в финансах. Этот закон демонстрирует схожие свойства в разных временных масштабах, подтверждая понимание Мандельбротом фрактальной природы микроструктуры рынка. Собственные исследования Мандельброта в этой области представлены в его книгах «Фракталы и масштабирование в финансах». и (Неправильное) поведение рынков .

Мандельброта

Будучи приглашенным профессором Гарвардского университета , Мандельброт начал изучать математические объекты, называемые множествами Жюлиа , которые были инвариантны относительно определенных преобразований комплексной плоскости . Опираясь на предыдущие работы Гастона Джулии и Пьера Фату , Мандельброт использовал компьютер для построения изображений множеств Джулии. Исследуя топологию этих множеств Жюлиа, он изучил множество Мандельброта , введенное им в 1979 году.

Мандельброт говорит о наборе Мандельброта во время своей речи на вручении Ордена Почетного легиона в 2006 году.

В 1975 году Мандельброт ввёл термин «фрактал» для описания этих структур и впервые опубликовал свои идеи во французской книге Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension , позже переведенной в 1977 году как « Фракталы: форма, случайность и размерность» . По словам ученого-компьютерщика и физика Стивена Вольфрама , книга стала «прорывом» для Мандельброта, который до этого обычно «применял довольно простую математику... к областям, которые раньше едва видели свет серьезной математики». Вольфрам добавляет, что в результате этого нового исследования он больше не был «странствующим учёным», а позже назвал его «отцом фракталов»:

Мандельброт в конечном итоге проделал большую научную работу и выявил гораздо более сильную и фундаментальную идею — проще говоря, что существуют некоторые геометрические фигуры, которые он назвал «фракталами», которые одинаково «грубы» во всех масштабах. Независимо от того, насколько близко вы смотрите, они никогда не становятся проще, так же как участок скалистого побережья, который вы видите у своих ног, выглядит таким же неровным, как и участок, который вы можете увидеть из космоса.

Вольфрам кратко описывает фракталы как форму геометрического повторения, «при котором все меньшие и меньшие копии узора последовательно вложены друг в друга, так что одни и те же замысловатые формы появляются независимо от того, насколько сильно вы приближаете целое. Листья папоротника и романский стиль брокколи — два примера из природы». Он делает неожиданный вывод:

Можно было подумать, что такая простая и фундаментальная форма закономерности будет изучаться сотни, если не тысячи лет. Но это не так. Фактически, она приобрела известность только за последние 30 лет или около того — почти полностью благодаря усилиям одного человека, математика Бенуа Мандельброта.

Мандельброт использовал термин «фрактал», происходящий от латинского слова «fractus», обозначающего разбитое или разбитое стекло. Используя недавно разработанные компьютеры IBM, имевшиеся в его распоряжении, Мандельброт смог создавать фрактальные изображения с помощью графического компьютерного кода, изображения, которые интервьюер описал как «безумное изобилие психоделического искусства 1960-х годов с формами, навязчиво напоминающими природу и человеческое тело». . Он также считал себя «потенциальным Кеплером» в честь ученого 17-го века Иоганна Кеплера , который рассчитал и описал орбиты планет.

Множество Мандельброта

Однако Мандельброт никогда не чувствовал, что изобретает новую идею. Он описал свои чувства в документальном фильме с научным писателем Артуром Кларком:

Исследуя этот набор, у меня определенно никогда не возникало чувства изобретательности. У меня никогда не было ощущения, что мое воображение достаточно богато, чтобы изобрести все эти необыкновенные вещи, обнаружив их. Они были там, хотя раньше их никто не видел. Это чудесно, очень простая формула объясняет все эти очень сложные вещи. Итак, цель науки — начать с беспорядка и объяснить его простой формулой, своего рода мечтой науки.

По словам Кларка, « множество Мандельброта действительно является одним из самых поразительных открытий во всей истории математики. Кто мог подумать, что такое невероятно простое уравнение сможет генерировать изображения буквально бесконечной сложности?» Кларк также отмечает «странное совпадение»:

имя Мандельброт и слово « мандала » — для религиозного символа — что, я уверен, является чистым совпадением, но действительно набор Мандельброта, кажется, действительно содержит огромное количество мандал.

В 1982 году Мандельброт расширил и обновил свои идеи в книге «Фрактальная геометрия природы» . Эта влиятельная работа вывела фракталы в мейнстрим профессиональной и популярной математики, а также заставила замолчать критиков, которые считали фракталы « программными артефактами ».

Мандельброт покинул IBM в 1987 году, спустя 35 лет и 12 дней, когда IBM решила положить конец чистым исследованиям в его подразделении. Он поступил на факультет математики Йельского университета и получил свою первую постоянную должность в 1999 году, в возрасте 75 лет. На момент выхода на пенсию в 2005 году он был полноценным профессором математических наук.

Фракталы и «теория шероховатостей»

Мандельброт создал первую в мире «теорию шероховатости» и увидел «шероховатость» в формах гор, береговых линий и речных бассейнов ; структуры растений, кровеносных сосудов и легких ; скопление галактик . Его личным стремлением было создать некую математическую формулу для измерения общей «шероховатости» таких объектов в природе. Он начал с того, что задал себе различные вопросы, связанные с природой:

Может ли геометрия дать то, что, казалось, обещал греческий корень ее названия [гео-] — правдивые измерения не только возделываемых полей вдоль реки Нил, но и необузданной Земли?

В своей статье « Какова длина побережья Британии? Статистическая самоподобность и дробная размерность », опубликованной в журнале Science в 1967 году, Мандельброт обсуждает самоподобные кривые, имеющие хаусдорфову размерность , которые являются примерами фракталов , хотя Мандельброт не использует этот термин. в статье, поскольку он придумал ее только в 1975 году. Эта статья является одной из первых публикаций Мандельброта на тему фракталов.

Мандельброт подчеркивал использование фракталов как реалистичных и полезных моделей для описания многих «грубых» явлений реального мира. Он пришел к выводу, что «настоящая шероховатость часто фрактальна и ее можно измерить». Хотя Мандельброт ввел термин «фрактал», некоторые математические объекты, которые он представил в « Фрактальной геометрии природы», ранее были описаны другими математиками. Однако до Мандельброта их считали изолированными диковинками с неестественными и неинтуитивными свойствами. Мандельброт впервые собрал эти объекты вместе и превратил их в важные инструменты для давно зашедшей в тупик попытки расширить сферу науки до объяснения негладких, «грубых» объектов в реальном мире. Его методы исследования были как старыми, так и новыми:

Форма геометрии, которую я все больше предпочитаю, является самой старой, самой конкретной и самой всеобъемлющей, особенно наделенной силой глаза и помогаемой рукой, а сегодня также и компьютером... приносящей элемент единства в миры знания и чувство... и, невольно, как бонус, с целью создания красоты.

Фракталы также встречаются в человеческих занятиях, таких как музыка, живопись, архитектура и цены на фондовом рынке . Мандельброт считал, что фракталы не только не являются неестественными, но во многих отношениях более интуитивны и естественны, чем искусственно гладкие объекты традиционной евклидовой геометрии :

Облака — не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не круги, кора — не гладкая, а молния не движется по прямой.
— Мандельброт во введении к «Фрактальной геометрии природы».

Раздел множества Мандельброта

Мандельброта называли художником и провидцем. и индивидуалист. Его неформальный и страстный стиль письма, а также акцент на визуальной и геометрической интуиции (подкрепленный включением многочисленных иллюстраций) сделали «Фрактальную геометрию природы» доступной для неспециалистов. Книга вызвала широкий общественный интерес к фракталам и внесла свой вклад в теорию хаоса и другие области науки и математики.

Мандельброт также применил свои идеи в космологии. В 1974 году он предложил новое объяснение парадокса Ольберса (загадка «темного ночного неба»), продемонстрировав следствия теории фракталов как достаточного, но не необходимого решения парадокса. Он постулировал, что если бы звезды во Вселенной были фрактально распределены (например, как канторова пыль не было бы необходимости полагаться на теорию Большого взрыва ), то для объяснения парадокса . Его модель не исключала бы Большого взрыва, но допускала бы темное небо, даже если бы Большого взрыва не произошло.

Награды и почести

Награды Мандельброта включают премию Вольфа по физике в 1993 году, премию Льюиса Фрая Ричардсона Европейского геофизического общества в 2000 году, премию Японии в 2003 году. и лекция Эйнштейна Американского математического общества в 2006 году.

небольшой астероид 27500 Мандельброт В его честь был назван Франции . В ноябре 1990 года ему было присвоено звание кавалера ордена Почётного легиона . В декабре 2005 года Мандельброт был назначен на должность научного сотрудника Баттелла в Тихоокеанской северо-западной национальной лаборатории . В январе 2006 года Мандельброту было присвоено звание кавалера Почётного легиона. Почетная степень Университета Джона Хопкинса была вручена Мандельброту на вступительных экзаменах в мае 2010 года.

Неполный список наград, полученных Мандельбротом:

• Премия 2004 года за лучшую бизнес-книгу года
• Лекция AMS Эйнштейна
• Медаль Барнарда
• Служба Калифорнийского технологического института
• Казимира Функа в области естественных наук Премия
• Чарльза Протея Штейнмеца Медаль
• Орфографическая пчела средней школы (1940)
• Член Американского геофизического союза
• Член Американской статистической ассоциации
• Член Американского физического общества (1987).
• Медаль Франклина
• Премия Харви (1989)
• Приз Хонды
• Премия Гумбольдта
• Стипендия IBM
• Премия Японии (2003 г.)
• Премия Джона Скотта
• легион Почетный ​
• Медаль Льюиса Фрая Ричардсона
• Медаль Президента Итальянской Республики.
• Позолоченная медаль города Парижа
• Премия Невады
• Член Норвежской академии наук и литературы .
• Член Американского философского общества (2004).
• Наука для искусства
• Премия Свена Берггрена
• Медаль Вацлава Серпинского Польского математического общества (2005 г.)
• Премия Владислава Орлича
• Премия Фонда Вольфа по физике (1993)

Смерть и наследие

Мандельброт умер от рака поджелудочной железы в возрасте 85 лет в хосписе в Кембридже, штат Массачусетс , 14 октября 2010 года. Реагируя на известие о его смерти, математик Хайнц-Отто Пейтген сказал: «[Если] мы говорим о влиянии на математику и ее приложениях в науке, он является одной из самых важных фигур за последние пятьдесят лет».

Крис Андерсон , куратор конференции TED , охарактеризовал Мандельброта как «икону, которая изменила то, как мы видим мир». Николя Саркози , президент Франции на момент смерти Мандельброта, сказал, что Мандельброт обладал «мощным, оригинальным умом, который никогда не уклонялся от инноваций и разрушения предвзятых представлений [... его] работа, разработанная полностью за пределами основных исследований, привела к современным теория информации». В некрологе Мандельброта в The Economist указывается на его славу как «знаменитости за пределами академии» и восхваляется как «отец фрактальной геометрии».

Автор бестселлеров и эссе Нассим Николас Талеб отметил, что книга Мандельброта «(Неправильное) поведение рынков», по его мнению, является «самой глубокой и самой реалистичной книгой о финансах, когда-либо опубликованной».

Библиография

На английском языке

• Фракталы: форма, случайность и измерение , 1977, 2020
• Фрактальная геометрия природы , 1982 г.
• Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы . Сан-Франциско: WH Freeman. ISBN  978-0-7167-1186-5 .
• Мандельброт, Б. (1959) Стохастические переменные и процессы Парето-Леви, а также распределение дохода. Труды Парижской академии наук, 249, 613–615.
• Мандельброт, Б. (1960) Закон Парето-Леви и распределение дохода. Международное экономическое обозрение, 1, 79–106.
• Мандельброт, Б. (1961) Стабильные паретианские случайные функции и мультипликативное изменение дохода. Эконометрика, 29, 517–543.
• Мандельброт, Б. (1964) Случайные блуждания, величина ущерба от пожара и другие явления паретианского риска. Исследование операций, 12, 582–585.
• Фракталы и масштабирование в финансах: разрыв, концентрация, риск. Selecta Volume E , 1997, Бенуа Б. Мандельброт и Р.Э. Гомори
• Мандельброт, Бенуа Б. (1997) Фракталы и масштабирование в финансах: разрывы, концентрация, риск , Спрингер.
• Фракталы, случайность и финансы , 1959–1997, 1 ноября 1998 г.
• Мультифракталы и шум 1/ƒ: дикая самосродство в физике (1963–1976) (Selecta; VN) 18 января 1999 г., Дж. М. Бергер и Бенуа Б. Мандельброт
• Мандельброт, Бенуа (февраль 1999 г.). «Мультифрактальная прогулка по Уолл-стрит». Научный американец . 280 (2): 70. Бибкод : 1999SciAm.280b..70M . doi : 10.1038/scientificamerican0299-70 .
• Гауссово самосродство и фракталы: глобальность, Земля, шум 1/f и R/S (Избранные работы Бенуа Б. Мандельброта) 14 декабря 2001 г., Бенуа Мандельброт и Ф. Дж. Дамерау
• Мандельброт, Бенуа Б., Гауссово самосродство и фракталы , Springer: 2002.
• Фракталы и хаос: множество Мандельброта и за его пределами , 9 января 2004 г.
• Неправильное поведение рынков: фрактальный взгляд на финансовую турбулентность , 2006, Бенуа Мандельброт и Ричард Л. Хадсон
• Мандельброт, Бенуа Б. (2010). Фракталист, Мемуары ученого-индивидуалиста. Нью-Йорк: Винтажные книги , отдел Random House. ISBN   978-0-307-38991-6
• Фракталист: Мемуары научного индивидуалиста , 2014 г.
• Хадсон, Ричард Л.; Мандельброт, Бенуа Б. (2004). (Неправильное)поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение . Нью-Йорк: Основные книги. ISBN  978-0-465-04355-2 .
• Хайнц-Отто Пейтген , Хартмут Юргенс , Дитмар Саупе и Корнелия Зальтен: Фракталы: анимированная дискуссия (63-минутный видеофильм, интервью с Бенуа Мандельбротом и Эдвардом Лоренцем, компьютерная анимация), WH Freeman and Company, 1990. ISBN   0-7167-2213-5 (переиздан Films for the Humanities & Sciences, ISBN   978-0-7365-0520-8 )
• Мандельброт, Бенуа; Талеб, Нассим (23 марта 2006 г.). «Акцент на исключениях, подтверждающих правило» . Файнэншл Таймс . Архивировано из оригинала 23 октября 2010 года . Проверено 17 октября 2010 г.
• «Охота на скрытое измерение: загадочно красивые фракталы потрясают мир математики и углубляют наше понимание природы» , NOVA , Образовательный фонд WGBH, Бостон, для PBS, первый эфир 28 октября 2008 года.

См. также

• Шум 1/f - сигнал с одинаковой энергией на октаву.
• Фрактальное измерение - соотношение, обеспечивающее статистический индекс изменения сложности в зависимости от масштаба.
• Дробное броуновское движение - концепция теории вероятностей
• Какова длина побережья Британии? – Противоречивое наблюдение о том, что береговая линия суши не имеет четко определенной длины. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Экспонента Херста - мера долгосрочной зависимости временного ряда.
• Риск эксцесса - термин в теории принятия решений
• Лакунарность - термин в геометрии и фрактальном анализе.
• Список поляков
• Луи Башелье – французский пионер математической экономики (1870–1946).
• Конкурс Мандельброта - школьный конкурс по математике.
• Мультифрактальная система - Система с несколькими фрактальными измерениями.
• Самоподобие - весь объект математически подобен части самого себя.
• Семь состояний случайности – Расширение концепции случайности
• Риск асимметрии - термин финансового моделирования
• Закон Ципфа – Мандельброта – Дискретное распределение вероятностей

Источники

• Фрейм, Майкл; Коэн, Натан (2015). Бенуа Мандельброт: Жизнь во многих измерениях . Сингапур: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4366-06-9 .

Внешние ссылки

• Бенуа Мандельброт в проекте «Математическая генеалогия»
• Страница Мандельброта в Йельском университете
• «Бенуа Мандельброт: Фракталы и искусство шероховатости». Архивировано 17 февраля 2014 года в Wayback Machine (адрес TED).
• Фракталы в науке, технике и финансах (лекция).
• Интервью FT.com на тему финансовых рынков, которое включает его критику гипотезы «эффективного рынка».
• Тейлор, Ричард (2011). «Некрологи: Бенуа Мандельброт» . Физика сегодня . 64 (6): 63. Бибкод : 2011PhT....64f..63T . дои : 10.1063/1.3603925 .
• Мандельброт рассказывает историю своей жизни ( «Сеть историй »).
• Интервью (1 января 1981 года, Итака, штат Нью-Йорк), проведенное Юджина Дынкина Сборником математических интервью , Библиотека Корнелльского университета .
• Видеоанимация множества Мандельброта , коэффициент масштабирования 10. ³⁴² .
• Видеоанимация Мандельбульба на YouTube , трехмерная проекция набора Мандельброта.
• Видео полета по анимированному миру лампочки на YouTube на YouTube
• Бенуа Мандельброт на IMDb
• Бенуа Мандельброт на TED
• Майкл Фрейм, «Бенуа Б. Мандельброт», Биографические мемуары Национальной академии наук (2014)