Треуголка (математика)

Треуголка, созданная на компьютере в Kalles Fraktaler .

Треугольник, приближение к мини-трекорну

Мультикорны со степенью от 1 до 5

В математике треугольник определяемый , иногда называемый множеством Мандельбара , представляет собой фрактал, аналогично множеству Мандельброта , но с использованием отображения $z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c$ вместо $z\mapsto z^{2}+c$ используется для множества Мандельброта. Его представили У. Д. Кроу, Р. Хассон, П. Дж. Риппон и ПЕД Стрейн-Кларк. Джон Милнор обнаружил множества, похожие на треуголку, как прототип конфигурации в пространстве параметров действительных кубических многочленов и в различных других семействах рациональных карт.

Характерная трехугольная форма, созданная этим фракталом, повторяется с вариациями в разных масштабах, демонстрируя тот же вид самоподобия, что и множество Мандельброта. Помимо меньших треугольников, во фрактале треугольника также содержатся меньшие версии множества Мандельброта.

Формальное определение

Треуголка $T$ определяется семейством квадратичных антиголоморфных многочленов

$f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

данный

$f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{2}+c,$

где $c$ является сложным параметром. Для каждого $c$, смотрим на переднюю орбиту

$(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$

критической точки $0$ антиголоморфного многочлена $p_{c}$. По аналогии с множеством Мандельброта , треуголка определяется как совокупность всех параметров $c$ для которого прямая орбита критической точки ограничена. Это эквивалентно тому, что треугольник является локусом связности семейства квадратичных антиголоморфных полиномов; т.е. набор всех параметров $c$ для чего набор Юлии $J(f_{c})$ подключен.

Аналоги треуголка высшей степени известны как мультикорны. Это локусы связности семейства антиголоморфных полиномов. $f_{c}:z\mapsto {\bar {z}}^{d}+c$.

Основные свойства

• Треуголка компактна и связна . Фактически, Накане модифицировал доказательство Дуади и Хаббарда связности множества Мандельброта , чтобы построить динамически определенный вещественно-аналитический диффеоморфизм из внешности треуголки во внешнюю сторону замкнутого единичного круга в комплексной плоскости . можно определить Лучи внешних параметров треугольника как прообразы радиальных прямых при этом диффеоморфизме.
• Каждая гиперболическая компонента треугольника односвязна .
• Граница каждой гиперболической компоненты нечетного периода треугольника содержит вещественно-аналитические дуги, состоящие из квазиконформно эквивалентных, но конформно различных параболических параметров. Такая дуга называется параболической дугой треугольника. Это резко контрастирует с соответствующей ситуацией для множества Мандельброта, где известно, что параболические параметры данного периода изолированы.
• Граница каждой гиперболической компоненты нечетного периода состоит только из параболических параметров. Точнее, граница каждой гиперболической компоненты нечетного периода треугольника представляет собой простую замкнутую кривую, состоящую ровно из трех параболических точек возврата, а также трех параболических дуг, каждая из которых соединяет два параболических точки возврата.
• Каждая параболическая дуга периода k имеет на обоих концах интервал положительной длины, на котором происходит бифуркация от гиперболической компоненты нечетного периода k к гиперболической составляющей периода 2k.

Галерея изображений с различными масштабами

Подобно множеству Мандельброта , треугол имеет множество сложных и замысловатых конструкций. Из-за своей схожести они имеют много общих черт. Однако у треуголка такие особенности кажутся сжатыми и растянутыми по его границам.

Следующие изображения представляют собой прогрессивное увеличение выбранного $c$ значение где $c=0.48+0.58i$. Изображения не растягиваются и не видоизменяются, именно так они выглядят при увеличении.

• 
  Запуск масштабирования. Трикорн в целом.
• 
  6-кратный исходный зум. Множество «выступов» или «морских коньков» вдоль верхней «головы» сходятся на «шее». Точно названная «Долина конвергенции морских коньков».
• 
  20-кратный исходный зум. Посмотрите поближе на одну сторону «долины». «Морские коньки» начинают обретать форму, они выглядят искаженными по сравнению с первоначальными «морскими коньками» вдоль границы Мандельброта.
• 
  40-кратный исходный зум. «Морского конька» теперь можно увидеть полностью.

Реализация

В приведенной ниже реализации псевдокода жестко закодированы сложные операции для Z. Рассмотрите возможность реализации операций с комплексными числами , чтобы обеспечить более динамичный и многократно используемый код.

For each pixel (x, y) on the screen, do:
{
    x = scaled x coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot X scale (-2.5, 1))
    y = scaled y coordinate of pixel (scaled to lie in the Mandelbrot Y scale (-1, 1))
       
    
    zx = x; // zx represents the real part of z
    zy = y; // zy represents the imaginary part of z

  
    iteration = 0
    max_iteration = 1000
  
    while (zx*zx + zy*zy < 4  AND  iteration < max_iteration) 
    {
        xtemp = zx*zx - zy*zy + x
        zy = -2*zx*zy + y
        zx = xtemp

        iteration = iteration + 1
    }

    if (iteration == max_iteration) //Belongs to the set
        return insideColor;

    return iteration * color;
}

топологические

Треуголка не связана с путями. Хаббард и Шлейхер показали, что существуют гиперболические компоненты нечетного периода треугольника, которые невозможно соединить с гиперболической компонентой первого периода путями. Более сильное утверждение о том, что никакие две (невещественные) гиперболические компоненты треугольника с нечетным периодом не могут быть соединены путем, было доказано Иноу и Мукерджи.

Хорошо известно, что каждый луч рационального параметра множества Мандельброта попадает в один параметр. С другой стороны, лучи рациональных параметров в нечетно-периодических (кроме периода один) углах треугольника накапливаются на дугах положительной длины, состоящих из параболических параметров. Более того, в отличие от множества Мандельброта, динамически естественная карта выпрямления от маленького треуголка к исходному треуголку разрывна при бесконечном числе параметров.